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BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 10 – 25/03/
Professora: Gisele Cristina Ducati [email protected] Home: http://gducati.googlepages.com http://fuv1tri2008.googlepages.com
Estudo da Variação de Funções
Teorema doValor Médio (TVM)
Se f for contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existirá pelo menos um c ∈a ,b tal que f b− f a b−a = f ' c (^) ou f b− f a = f ' cb−a
- a reta que passa por a e b é paralela a reta tangente de c
- função contínua, mas não é derivável por ter “bico” Lembrete: f é CRESCENTE em A se ∀^ x 1 ,^ x 2 ∈^ A^ , x 1 x 2 ⇒ f x 1 f x 2 e f é DECRESCENTE em A se ∀^ x 1 ,^ x 2 ∈^ A^ , x 1 x 2 ⇒ f x 1 f x 2 f é ESTRITAMENTE CRESCENTE em A, se ∀^ x 1 ,^ x 2 ∈^ A^ ,
x 1 x 2 ⇒ f x 1 f x 2 f é ESTRITAMENTE DECRESCENTE em A, se ∀^ x 1 ,^ x 2 ∈^ A^ , x 1 x 2 ⇒ f x 1 f x 2
Intervalo de crescimento e decrescimento de um função
Teorema: Seja f contínua em I. (a) Se f '(x) > 0 para qualquer x no interior de I (x não é nenhum dos pontos das extremidades do intervalo), então f será ESTRITAMENTE CRESCENTE em I. (b) Se f '(x) < 0 para qualquer x no intervalo aberto I, então f será estritamente descrescente em I.
Esboço de Demonstração
(a) x 1 ,^ x 2 f contínua e derivável x 1 x 2 ⇒ f x 1 f x 2 TVM, ∃c tal que f x 2 − f x 1 = (^) f ' c 0 x 2 − x 1 0 f x 2 − f x 1 0 f x 2 f x 1 (b) x 1 ,^ x 2 f contínua e derivável x 1 x 2 ⇒ f x 1 f x 2 TVM, ∃c^ tal que f x 2 − f x 1 = (^) f ' c 0 x 2 −x 1 0 f x 2 − f x 1 0 f x 2 f x 1 Exemplo: Seja f^ ^ x^ =x^
x Estude a função em relação ao crescimento e decrescimento e esboce o gráfico de f.
a) (^) f x =e x−x 0 f ' x=e x − 1 f ' 0 = 0 f é estritamente crescente no intervalo (0, +∞). Logo, para (^) x 0 , e xx b) g x=e x − x 2 2 g ' x =e x −x
- ver resolução anterior. Do item (a) , g'(x) > 0 quando x 0. Logo, g(x) é estritamente crescente em [0, +∞). Como g 0 = 1 , (^) segue para todo x 0 , e x − x 2 2 0 ou e x x 2 2 c) Do item (b) e x x 2 2 x 0 e x x
x 2 ou x 2
e x x lim x∞ x 2
Como lim x ∞ x 2 =∞ , (^) podemos dizer que lim x ∞ e x x
d) Mostre que lim x ∞ e x x
=∞^ ∀^ ∈ℝ^ ,^0
lim x∞ e x x
=^ xlim ∞ [
e x
x ]
u= x lim u ∞ e u u
lim u ∞
^
lim u ∞ e u
u
lim x ∞ e x x
Concavidade e Ponto de Inflexão
Seja f derivável no intervalo aberto I e p ∈ I. A equação da reta tangente em (p, f (p)) ao gráfico f é y− f p= f ' p x − p. Assim, a reta tangente em (p, f (p)) é o gráfico da função T^ ^ x=^ f^ ^ p^ f^ '^ ^ p^ x^ −^ p^. Definição 1: Dizemos que f tem CONCAVIDADE PARA CIMA em I se f x T x , ∀ x , p∈ I , (^) com x≠ p. Definição 2: Dizemos que f tem CONCAVIDADE PARA BAIXO em I se f x T x , ∀ x , p∈ I , (^) com x≠ p. Definição 3: Seja f uma função e p^ ∈D^ f com f contínua em p. Dizemos que p é um PONTO DE INFLEXÃO de f se existem números reais a e b, com p^ ∈a^ ,b⊂^ D^ f tal que f tenha concavidades contrárias em (a, p) e (p, b). Ex.:
f ' x=e − x 2 (^2) ' =e − x 2 (^2) −^ x 2 2 ' =−x e − x 2 2 f ' x=e − x 2 (^2) ' ' =x e − x 2 (^2) '
=−x
' e − x 2 (^2) −x e−^ x^2 (^2) ' =e − x 2
2 x^2 − 1
lim x ∞ e − x 2 (^2) = 0 lim x −∞ e − x 2 (^2) = 0 f x =e − x 2 2 f − 1 =
e^ f 0 = 1 f^ ^1 =^
e
