Baixe Estática de Estruturas: Hiperestaticidade, Indeterminação Interna e Deslocamentos e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil Disciplina: Análise Matricial de Estruturas Professor: Antônio Macário Cartaxo de Melo
Aula 04
MÉTODO DAS FORÇAS
Classi…cação das estruturas quanto ao seu equilíbrio estático
² Isostática:
- Vínculos externos e/ou internos em número estritamente necessário para manter o equilíbrio estático;
- Estaticamente determinada.
² Hiperestática ou estaticamente indeterminada:
- Exemplo Fig. 2.
- Vínculos externos e/ou internos superiores ao necessário para manter o equilíbrio estático;
- Esforços superabundantes = hiperestáticos ou redundantes estáticas;
- Número de hiperestáticos = grau de indeterminação estática ou grau de hiperestaticidade; ¤ GIE exterior: reações de apoio superabundantes para manter o equi- líbrio estático do modelo estrutural como um todo. ; ¤ GIE interior: esforços seccionais superabundantes para impedir deslo- camentos de corpo rígido de cada parte do modelo em relação às de- mais partes. A indeterminação interna se refere ao cálculo de tensões resultantes dentro da estrutura, considerando que todas as reações têm sido calculadas previamente.
- Sistema principal ou estática fundamental: ¤ Usado para determinação dos hiperestáticos no método das forças; ¤ Modelo estrutural obtido, a partir do modelo hiperestático, eliminando- se os hiperestáticos selecionados; ¤ É uma estrutura isostática.
- Identi…cação do grau de indeterminação hiperestática: ¤ Vigas e pórticos; ¤ Treliças: ¢ Exemplo treliça Eliseu.
¢ Exemplo treliça Fig. 1-9 do G&W.
² Hipostática, cadeia cinemática ou mecanismo:
- Os deslocamentos de corpo rígido não são totalmente impedidos.
- Modelo misto: modelos com partes hipostáticas, isostáticas e hiperestáti- cas.
- Pórtico plano (Fig. 2.2)
- Treliça plana.
- Exemplo Fig. 1-13c do G&W.
² Determinação dos hiperestáticos:
- Método das forças ou método da ‡exibilidade: hiperestáticos;
- Esforços secionais e demais reações de apoio: avaliados pelas condições de equilíbrio estático.
Formulação clássica do método das forças
² Objetivo: auxiliar o entendimento do método dos deslocamentos:
- Obtenção de esforços de engastamento perfeito;
- Obtenção de coe…cientes de rigidez;
² Abordagem do método: notação matricial mas não há preocupação com a implementação computacional;
² Idéia básica:
- Aplicar separadamente sobre o sistema principal: ¤ carregamento original; ¤ hiperestáticos.
- Escrever equações de compatibilidade de deslocamentos: ¤ deslocamentos nulos nos pontos de aplicação dos hiperestáticos e em suas próprias direções;
² Exemplo - Figura 2.3:
- Princípio da superposição dos efeitos. ¤ Válido quando (G&W): ¢ O comportamento do material da estrutura segue a lei de Hooke; ¢ Os deslocamentos da estrutura são pequenos; ¢ Não há interação entre os efeitos axiais e de ‡exão (relação deformação- deslocamento linear).
¤ ff g = [k] fug: número de forças igual ao número de gdl assumidos no elemento; ¤ ff g deve estar em equilíbrio =) as equações são linearmente depen- dentes; ¤ Número de relações de dependência = número de equações de equi- líbrio; ¤ A dependência linear torna [k] singular; ¤ Solução: eliminar linhas e colunas. ¤ Quando a estrutura está sujeita a uma única carga, o coe…ciente de ‡exibilidade é o inverso direto do coe…ciente de rigidez, e vice-versa (G&W).
- Teorema de Castigliano - parte II:
ui =
@U ¤
@Fi
- Solução das equações diferenciais para os deslocamentos do elemento;
- Método da carga unitária.
² Método da carga unitária:
±ij =
Z
x
MiMj EI
dx +
Z
x
NiNj EA
dx +
Z
x
QiQj GA¤^
dx +
Z
x
TiTj GIx
dx
¤ i e j: estados de carregamento aplicados ao sistema principal; ¤ A¤: área para efeito do cortante, dependente do tipo de seção transver- sal:
A¤^ =
A
f
f = fator para efeito do cortante (Tab. 2.1); ¤ EI, EA, GA¤^ e GIx; ¤ O efeito do cortante não foi considerado na avaliação dos esforços de engastamento perfeito (eep) por ser, na maioria das vezes, de caráter secundário e o cálculo dos eep é de caráter localizado; ¤ Parcelas de momento e de esforço cortante: ¢ plano xy: Mz com Iz e Qy com fy; ¢ plano xz: My com Iy e Qz com fz ; ¤ Integrações: ¢ Casos mais simples de esforços secionais e seção transversal: ! Analiticamente; ! Fórmulas de integrais de produtos de diagramas de esforços secionais (Tab. 2.2); ¢ Casos mais gerais de carregamento, variação de seção transversal ao longo de x e elementos de eixo curvo: ! Integração numérica.
¤ Ordem de grandeza das parcelas: ¢ Na maior parte dos casos as parcelas devidas aos momentos ‡e- tores são preponderantes: ! Usualmente desprezam-se, no cálculo de deslocamentos, as parcelas devidas aos esforços normais e cortantes. ¢ Nas treliças: só o esforço normal; ¢ Momento de torção: deve sempre ser considerada nos modelos em que se devolve esse tipo de esforço solicitante.
² Em notação indicial
±ij Xj = ¡±i 0 ; i = 1; : : : ; n:
² Em notação matricial
[¢] fXg = ¡ f± 0 g
² Solução:
fXg = ¡ [¢]¡^1 f± 0 g :
- [¢]¡^1 : inversa da matriz [¢];
- [¢] = matriz de ‡exibilidade: ¤ Sempre não singular (j[¢]j 6 = 0) =) a solução para fXg é única; ¤ Coe…ciente ±ij : ¢ Coe…cientes de ‡exibilidade ou coe…ciente de in‡uência da força generalizada segundo j no deslocamento generalizado segundo a direção i; ¢ Numericamente igual al deslocamento generalizado na direção i, quando se aplica uma força unitária generalizada na direção j, com todas as demais forças sendo nulas. ¢ Pelo teorema de reciprocidade de Betti-Maxwell:
±ij = ±ji; i; j 6 = 0;
¢ =) A matriz de ‡exibilidade é simétrica; ¢ A matriz de ‡exibilidade é também positiva-de…nida.
² Desvantagem do método das forças:
- A escolha do sistema principal não é única (viga das Fig. 2.3 e 2.4);
- Necessidade de uma análise criteriosa de cada modelo hiperestático para se escolher o sistema principal mais conveniente;
- Sistematizar esta escolha considerando a programação automática - uso de computadores digitais;
- Em casos simples, como vigas contínuas, é fácil de…nir regras. O mesmo não acontece nos demais casos.
¢ Gradiente de temperatura entre as faces do elemento = provoca também variação de curvatura. ¤ Calculam-se os deslocamentos ±it (f±tg) no sistema principal nas di- reções dos hiperestáticos i associado ao efeito de temperatura t; ¤ Convenção: ±it é positivo quando coincide com o sentido positivo arbitrado para o hiperestático Xi; ¤ Equação de compatibilidade:
f± 0 g + f± 0 pg + f±tg + [¢] fXg = f±pg ;
¤ Tratamento alternativo: ¢ Avaliar forças nodais equivalentes; ¢ Este tratamento é computacionalmente mais adequado: elimina- se f±tg e o seu efeito é transferido para f± 0 g.
- Deformações prévias: ¤ Origem: defeitos de fabricação; ¤ Calculam-se os deslocamentos ±id (f±dg) no sistema principal nas direções dos hiperestáticos i associado ao efeito das deformações; ¤ Convenção: ±id é positivo quando coincide com o sentido positivo arbitrado para o hiperestático Xi; ¤ Equação de compatibilidade:
f± 0 g + f± 0 pg + f±tg + f±dg + [¢] fXg = f±pg ;
¤ Tratamento alternativo: ¢ Avaliar forças nodais equivalentes; ¢ Este tratamento é computacionalmente mais adequado: elimina- se f±dg e o seu efeito é transferido para f± 0 g.
² Expressão geral:
f±sg = f±pg ¡ f± 0 g ¡ f± 0 pg ¡ f±tg ¡ f±dg ;
- Equação de compatibilidade
[¢] fXg = f±sg :
² Grandezas secundárias: reações de apoio, esforços secionais e correspondentes deslocamentos:
- Uso das equações de equilíbrio da estática;
