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Cálculo Lambda e Ordem de Redução em Programação Funcional, Notas de aula de Análise de Sistemas de Engenharia

Faculdades Unidas do Vale do Araguaia (UNIVAR)Análise de Sistemas de Engenharia

Este documento aborda os conceitos de cálculo lambda, forma normal e ordem de redução em programação funcional, incluindo exemplos e teoremas de church-rosser. Além disso, é apresentada a solução para a recursividade usando o combinador de ponto fixo y.

Tipologia: Notas de aula

Antes de 2010

Compartilhado em 25/01/2010

ednaldo-miranda-6
ednaldo-miranda-6 🇧🇷

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bg1
INE 5363 - Programação Funcional - INE/CTC/UFSC - Curso de Bacharelado em Ciências da Computação
Prof. Dr. rer.nat. Aldo von Wangenheim - http://www.inf.ufsc.br/~awangenh/Funcional
Programação Funcional
Cálculo Lambda - Aula Nº 3
2.3. Ordem de Redução
•Se uma expressão não contém mais redexes, então a avaliação está completa. Um
expressão nesta forma é dita estar na forma normal.
•Assim, a avaliação de uma expressão consiste na na redução sucessiva de redexes, até
que a expressão esteja na forma normal.
•Definição (forma normal): uma expressão-l é dita estar na forma normal, se nenhum
redex-b, isto é, nenhuma subexpressão da forma (λx.P)Q ocorre nela.
•Uma expressão pode conter mais do que um redex, assim a redução pode acontecer
por caminhos diferentes.
•Exemplo:
(+ (* 3 4) (* 7 8))
pode ser reduzido à forma normal pelas seguintes seqüências:
(+ (* 3 4) (* 7 8))
-> (+ 12 (* 7 8))
-> (+ 12 56)
-> 68
ou
(+ (* 3 4) (* 7 8))
-> (+ (* 3 4) 56)
-> ( 12 56)
-> 68
•Nem toda expressão possue uma forma normal,
considere:
(D D)
•onde D é (λx.x x).
A avaliação desta expressão jamais terminaria, uma vez que
(D D) reduz para (D D):
(λx.x x)(λx.x x) -> (λx.x x)(λx.x x)
-> (λx.x x)(λx.x x)
•Por conseguinte, algumas seqüências de redução poderão atingir a forma normal,
outras não.
Considere:
(λx.3) (D D)
•Se nós primeiro reduzirmos a aplicação de (λx.3) a (D D) (sem avaliar (D D)),
obteremos o resultado 3; porém se primeiro reduzimos a aplicação de D sobre D, nós
simplemente obtemos (D D) novamente.
•Se nós continuamos insistindo em escolher a aplicação de D sobre D, a avaliação vai
continuar indefinidamente, não terminando.
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Programação Funcional

Cálculo Lambda - Aula Nº 3

2.3. Ordem de Redução

  • Se uma expressão não contém mais redexes, então a avaliação está completa. Um

expressão nesta forma é dita estar na forma normal.

  • Assim, a avaliação de uma expressão consiste na na redução sucessiva de redexes, até

que a expressão esteja na f orma normal.

  • Definição (forma normal) : uma expressão-l é dita estar na forma normal, se nenhum

redex-b, isto é, nenhuma subexpressão da forma ( λ x.P)Q ocorre nela.

  • Uma expressão pode conter mais do que um redex, assim a redução pode acontecer

por caminhos diferentes.

  • Exemplo:

(+ (* 3 4) (* 7 8))

pode ser reduzido à forma normal pelas seguintes seqüências:

ou

(+ (* 3 4) (* 7 8)) -> (+ (* 3 4) 56) -> ( 12 56) -> 68

  • Nem toda expressão possue uma forma normal,

considere:

(D D)

  • onde D é (λx.x x).

A avaliação desta expressão jamais terminaria, uma vez que

(D D) reduz para (D D):

(λx.x x)(λx.x x) -> (λx.x x)(λx.x x) -> (λx.x x)(λx.x x)

  • Por conseguinte, algumas seqüências de redução poderão atingir a forma normal,

outras não.

Considere:

(λx.3) (D D)

  • Se nós primeiro reduzirmos a aplicação de (λx.3) a (D D) (sem avaliar (D D)),

obteremos o resultado 3; porém se primeiro reduzimos a aplicação de D sobre D, nós

simplemente obtemos (D D) novamente.

  • Se nós continuamos insistindo em escolher a aplicação de D sobre D, a avaliação vai

continuar indefinidamente, não terminando.

  • Esta situação corresponde à de um programa imperativo que entra em um laço infinito.

Dizemos que a avaliação ou execução não termina.

  • Para contornar esta situação, existe a ordem normal de redução , que garante que uma

forma normal, caso exista, será encontrada.

2.3.1. Ordem Normal de Redução

  • Uma questão que se coloca, além da questão "poderei encontrar uma forma normal ?", é

a questão de se existe mais de uma forma normal para para uma expressão, ou:

Poderá uma seqüência de redução diferente levar a uma forma normal diferente?

Ambas as questões estão interligadas.

  • A resposta para a última pergunta é: não.

Isto é uma conseqüência dos teoremas de Church-Rosser CRT1 e CRT2.

Teorema de Church-Rosser 1 (CRT1):

Se E 1 <-> E 2 , então existe uma expressão E , tal que E 1 -> E e E 2 -> E

Corolário: Nenhuma expressão pode ser convertida em duas formas normais distintas. Isto

significa que não existem duas formas normais para uma expressão que não sejam a-

convertíveis entre si.

Prova: Suponha que E 1 <-> E e E 2 <-> E , onde E 1 e E 2 estão na forma normal.

Então E 1 <-> E 2 e, pelo CRT1, deve haver uma expressão F tal que E 1 -> F e E 2 -> F.

Como tanto E 1 como E 2 não possuem redexes, logo E 1 = F = E (^2)

  • Informalmente, o teorema CRT1 diz que todas as seqüências de redução que terminam,

haverão de atingir o mesmo resultao.

O segundo teorema de Church-Rosser, CRT2, diz respeito a uma ordem particular de

redução, chamada ordem normal de redução.

Teorema de Church-Rosser 2 (CRT2):

Se E 1 -> E 2 , e E 2 está na forma normal, então existe uma ordem normal de seqüência

de redução de E 1 para E 2.

Conseqüências:

  • Existe no mínimo um resultado possível e
  • a ordem normal de redução encontrará este resultado, caso ele exista.
  • Observe que nenhuma seqüência de redução poderá levar a um resultado incorreto, o

máximo que poderá acontecer é a não-terminação.

A Ordem Normal de Redução especifica que o redex mais à esquerda mais externo deverá ser reduzido primeiro.

  • Aplicando uma abstração-b sobre FAC, podemos transformar esta definição em:

FAC = (λfac.(λn. (...fac...)))FAC

  • Esta definição podemos escrever da forma:

FAC = H FAC (2.1)

  • onde:

H = (λfac.(λn. (...fac...)))

  • A definição de H é trivial.

É uma abstração lambda ordinária e não usa recursão.

  • A recursão é expressa somente pela definição 2.1.

A definição 2.1 pode ser encarada mais como uma equação matemática. Por exemplo, para

resolver a equação matemática

x 2 - 2 = x

nós procuramos por valores de x que satisfazem a equação (neste caso x = -1 e x = 2).

De forma similar, para resolver 2.1, nós procuramos uma expressão lambda para FAC que

satisfaça 2.1.

A equação 2.1 FAC = H FAC postula que, quando a função H é aplicada a FAC , o resultado

é FAC.

Nós dizemos que FAC é um ponto fixo de H.

Uma função pode ter mais de um ponto fixo. Por exemplo, na função abaixo, tanto 0 quanto

1 são pontos fixos da função:

λx. * x x

a qual calcula o quadrado de seu argumento.

Em resumo, estamos procurando por um ponto fixo para H. Claramente isto depende

somente de H.

Para isto, invente-se, a título provisório, uma função Y, a qual toma uma função como

argumento e devolve o seu ponto fixo como resultado.

Assim Y tem o comportamento de:

Y H = H (Y H)

e Y é chamado de combinador de ponto fixo.

Assim, caso possamos produzir um Y, temos uma solução para o problema da recursividade.

Para 2.1 podemos prover a seguinte solução:

FAC = Y H

a qual é uma definição não-recursiva de FAC.

Como teste para esta estratégia, podemos computar o valor de (FAC 1). Tomemos as

definições de FAC e H :

FAC = Y H

H = (λfac.λn. IF (= n 0) 1 (* n (fac (- n 1 ))))

Assim: FAC 1

-> Y H 1

-> H (Y H) 1

->(lfac.ln.IF (= n 0) 1 (* n (fac (- n 1))))(Y H) 1 ->(ln.IF (= n 0) 1 (* n (Y H (- n 1)))) 1 -> IF (= 1 0) 1 (* 1 (Y H (- 1 1))) -> * 1 (Y H 0) = * 1 (H (Y H) 0) = * 1 ((lfac.ln.IF (= n 0) 1 (* n (fac (- n 1))))(Y H) 0) -> * 1 ((ln.IF (= n 0) 1 (* n (Y H(- n 1)))) 0) -> * 1 (IF (= 0 0) 1 (* n (Y H(- 0 1)))) -> * 1 1 -> 1

2.4.2. Y pode ser definido como uma Abstração Lambda

  • Para a transformação de uma expressão recursiva em uma não-recursiva, utilizamos o

combinador de ponto fixo, uma função que chamamos de Y.

  • A propriedade que Y necessita ter é: Y H = H (Y H)
  • e isto representa evidentemente a recursão da forma mais pura, uma vez que esta

fórmula pode ser utilizada para representar, de forma abstrata, qualquer fórmul

arecursiva que queiramos.

  • O truque é que podemos representar Y como uma abstração lambda sem utilizar a

recursão:

Y = (λh. (λx.h (x x)) (λx. h (x x)))

Para demonstrar que Y possui a qualidade desejada, evaluemos:

Y H

= (λh. (λx.h (x x)) (λx. h (x x))) H <-> (λx.H (x x)) (λx. H (x x)) <-> H ((λx.H (x x)) (λx. H (x x))) <-> H (Y H)

  • O fato de Y poder ser definido como uma abstração lambda é, do ponto de vista

matemático, realmente digno de nota.

  • Do ponto de vista da implementação, é relativamente ineficiente implementar Y como

uma abstração lambda. Para a construção de linguagens funcionais, utiliza-se

geralmente uma função embutida com a regra de redução:

Y H -> H (Y H)