Baixe Princípios da Transporte de Carga de Fundo: Einstein e Bagnold e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity!
BARBOSA, Danilo de Almeida. Transporte de Carga de Fundo. Titulo Original: Bed load transportation. In:____ Mechanics of Coastal Sediment Transport. by Jorgen Fredose and Rolf Deigaard (Tech. Univ. Denmark). 2010.
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7.4 Bed load transportation
Uma das primeiras aproximações teóricas sobre problemas de predição de taxa de transporte de carga de fundo foi apresentada Hans Albert Einteins (1950). O diferencial do estudo apresentado por ele foi à aplicação da teoria da probabilidade para calcular, através de variações estatísticas, as forças de agitação de partículas de fundo causadas por efeito da turbulência.
Se a magnitude das forças de agitação instantânea sobre determinada partícula de fundo for maior que a força estabilizante da partícula, a partícula irá saltar, rolar ou deslizar ao longo do leito até depositar-se a jusante numa região onde a magnitude da força instantânea é menor do que as forças de estabilização. Baseado em observações experimentais, H. Einstein afirma que a distância média percorrida por uma partícula (grão, neste caso) entre o processo de erosão e subseqüente deposição, é simplesmente proporcional ao diâmetro do grão e independente das condições hidráulicas e da quantidade de sedimentos em movimento.
Em resumo o princípio da análise de H. Einteins reza que a quantidade de partículas depositadas por unidade de área, depende do número de partículas em movimento e da probabilidade das forças dinâmicas permitirem que as partículas sejam depositadas. Assim, o número de partículas erodidas da mesma área dependerá do numero de partículas contidas nesta área e da probabilidade de que as força hidrodinâmicas sobre estes grãos, sejam suficientemente forte para movê-las. E ainda, em condições de equilíbrio o número de partículas depositadas deverá ser igual ao número de partículas erodidas. Deste modo, a relação funcional (bed load function) é obtida a partir de duas quantidades adimensionais:
Onde qb é a taxa de transporte de carga de fundo num volume material por unidade de
tempo e largura. Em que φ é o termo adimensional do descarregamento da carga de
fundo; enquanto θ ' é a forma adimensional do tensor de tração (the Shields parameter)
devido ao atrito com o leito.
R.A. Bagnold (1954) apontou uma das deficiências na formulação de Einstein, afirmando o seguinte paradoxo: Considere o caso ideal do escoamento de fluido ao longo de um leito perfeitamente uniforme com esferas empilhadas em leito plano, de modo que todas as partículas estão igualmente expostas. Variações estatísticas devido à turbulência são desprezadas. Quando a tensão de tração excede o valor crítico, todas as partículas na camada superior são retiradas simultaneamente e são dispersas. Assim, a próxima camada de partículas é exposta ao escoamento e, consequentemente, também deve ser removida.
O resultado é que todas as camadas subjacentes subseqüentes também são erodidas, de modo que um leito estável não poderia existir quando a tensão de cisalhamento excedesse o valor crítico. Bagnold explicou o paradoxo, assumindo que, em uma mistura água-sedimento a tensão de cisalhamento total τ' seria separada em duas partes:
grãos τG, e uma parte proporcionalmente menor como a tensão do fluido (τF = τ'- τG). Continuando esta argumentação, entende-se que exatamente muitas camadas de esferas irão erodir e que a tensão do fluido residual τF na primeira camada imóvel será igual (ou menor) ao tensor crítico de tração τC. O mecanismo de transmissão de uma tensão cisalhante de tração τ maior que o valor crítico é, então, o seguinte: τC é transferido diretamente do fluido para o leito imóvel, enquanto a tensão residual τ'- τC é transferida para as partículas em movimento e mais longe destes para o leito fixo como uma tensão dispersiva.
Example 7.5: Bagnold’s experiments
BAGNOLD (1954) mediu a tensão dispersiva em uma mistura de partículas de fluidos e sedimentos (esferas com uma densidade igual à da água, a fim de evitar perturbar as forças centrífugas). A mistura foi colocada entre dois cilindros coaxiais dos quais um era fixo, enquanto o (cilindro externo) outro poderia girar. O espaçamento entre os dois cilindros foi reduzido em comparação com seus raios. Como resultado uma distribuição quase uniforme da tensão de cisalhamento foi obtida na mistura. A tensão de cisalhamento, bem como a tensão normal atuando na parede do cilindro foram medidas. Os experimentos foram realizados para a mesma velocidade de rotação do cilindro, com e sem sedimentos no fluido. Portanto, a força dispersiva tangencial e normal devido à presença de sedimentos foi obtida pela diferença entre as medidas das duas grandezas acima mencionadas.
A tensão das dispersões é proveniente de troca de momentum entre as partículas devido a colisões resultando em um movimento das partículas transversalmente à direção de escoamento uniforme.
BAGNOLD sugeriu que a dispersão de cisalhamento pode ser descrito matematicamente por uma relação entre dois parâmetros adimensionais, ou seja,
Em ambas as equações λ é a chamada concentração linear relacionada com a
concentração c volumétrica real por:
em que co , é o valor máximo para a concentração volumétrica. Para areia natural, este
número está em torno de 0,65. Geometricamente, d / λ é uma medida para a distância
média entre dois grãos, aproximando de zero para “pacotes” mais densos (porções de grãos em movimento).
O parâmetro dado pela eq. 7.40 é uma espécie de número de Reynolds para o sedimento, porque a raiz quadrada das tensões (como a usual velocidade de fricção) define uma escala de velocidade. N aparece na equação 7.39 é uma medida para a tensão no escoamento.
As relações medida entre N e G estão representadas na figura 7.9. Dois valores diferentes para G são dados, ou seja, Gτ, e Gσ, onde Gτ representa a tensão dispersiva cisalhante, enquanto Gσ é a tensão dispersiva normal.
SAVAGE and MCKEOWN (1983) sugeriram mais tarde que esta última expressão fosse modificada, tomando a seguinte forma:
As Eqs. 7.42 correspondem à região inercial onde as colisões intergranulares tendem a ocorrer com mais freqüência com uma força tal que a inércia dos grãos dominará transferência de tensão dispersiva. Nesta região, a viscosidade é um parâmetro que pode ser desprezado.
Por outro lado, as Eq. 7.43, correspondem à região viscosa onde a viscosidade torna-se importante. Aqui a concentração de sedimento é tão baixa que a velocidade dos grãos é determinada mais pela interação com líquido do que pelo impulso transferido por colisões intergranulares.
Na Fig. 7.9 a tensão normal dispersiva adimensional Gs, é plotada. A relação entre a tensão cisalhante dispersiva e a tensão normal pode ser escrita como
em que φd pode ser visto como um ângulo de atrito dinâmico. Em experiências Bagnold encontrou o tan (φd) entorno de 0.75 na região viscosa e diminuído a aproximadamente 0.32 na região inercial-dominada.
