Balanço diferencial, Notas de estudo de Química

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Balanço

diferencial

Rúbner Gonçalves

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA - UESB

DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA RURAL E ANIMAL – DTRA

Fenômenos de Transporte I

Análise Integral ou global

Volume diferencial

Análise Diferencial

Métodos de análise

“A conservação da massa, aplicada a um elemento infinitesimal, leva à equação

diferencial da continuidade; ela relaciona os campos de massa específica e velocidade.”

Y

Z

X

 X

 Z

V^  Y

x  x

Vx  x+  X

Vy  y

Vy  y+  y

Vz  z

Vz  z+  Z

Balanço diferencial da matéria

Balanço diferencial da matéria

VAZÃO

MÁSSICA

QUE ENTRA

VAZÃO

MÁSSICA

QUE SAI

TAXA DE

ACÚMULO DE

MATÉRIA

- =

(I) (II)^ (III)

Y

Z

X

 X

 Z

Vx  x^  Y Vx  x+  X

Vy  y

Vy  y+  y

Vz  z

Vz  z+  Z

t

x y z

t

massa

Balanço diferencial da matéria

Substituindo as equações no balanço, dividindo pelo

volume do elemento e aplicando limite quando o

volume tende a zero, temos:

z

V V

y

V V

x

V V

t

zz zz z

z

yy yy y

y

xx xx x

x (^) 

  

  

  

 (^) 

 



 



 

( ) lim

( ) lim

( ) lim 0 0 0

  ^ 



 ^  



 





  

  

   

 V z

V

y

V

x

V

t

x y z



















  

  

  

















  

  

  



z

V

y

V

x

V

z

V y

V x

V t

x y z x y z^ 

   

Balanço diferencial da matéria

Equação da continuidade – mudança da densidade a partir de

um observador flutuando ao longo do fluido.



















  

  

  

  

  

  



z

V

y

V

x

V

z

V y

V x

V t

x y z

x y z^ 

( )



  

















  

  

   V z

V

y

V

x

V

Dt

D (^) x y z

 y  y+  y

Vy  y+  y

Y

 z  z+  z

Vz  z+  z

X

Z

 x  x

Vx  x  x  x+  x

Vx  x+  x

 y  y

Vy  y

 z  z

Vz  z

“Há dois mecanismos pelo qual fluxo de momento entra e sai do elemento de

volume apresentado abaixo: por convecção e transferência molecular ”

Balanço diferencial da quantidade

de matéria

QM  mVi   VvolVi   x  y  zVi

Vi

t

x y z

t

QM



Taxa de QM

y zVi y zVxxVx

t

x

 

Balanço de QM por convecção na direção x

QM por convecção

Face perpendicular a x

x (^) x x E   V  y  zV

x (^) x x x

S V y zV 

   

  ( ) x (^) x x x x x

E S V y z V V



     

Face perpendicular a y

E  yx y  x  z

S   yx y  y  x  z

 E  S   x  z ( (^) yx y  yx y  y )

Face perpendicular a z

E  zx z  x  y

S   zx z  z  x  y

  ( ) zxz zxz z

E S x y



Forças que atuam no elemento de volume

Força relacionada à pressão

 (^) p p  (^) y z x x x



Força peso

x

 x  y  zg

Taxa de acúmulo de QM em x dentro do elemento de

volume

 

t

V Acúmulo x y z

x



   

Substituindo as equações no balanço de QM

       

  y z   x z   x y  p p  y z x y zgx

V y zV V V x zV V V x yV V t

x y zV

xxx xxx x yxy yxy y zxz zxz z x x x

x xx xx x y xy xy y z xz xz z

x

                  

             

   

    

  

      

  



Dividindo esta expressão pelo volume e aplicando limite

quando o volume tende a zero

    ^ ^     ^ ^   x

x x x y x z x xx yx zx g x

p

z x x x

V V

y

V V

x

V V

t

V

 

  

  

  

  

  

  

  



  ^ ^  

  ^ ^   x

xx yx zx

x y z x

x z

x y

x x

x

g x

p

x x x

z

V

y

V

x

V

t

V z

V V y

V V x

V V t

V

 

  

  





  

  

 

 

  





  

  

  

  

  





  

  

  



Para fluido incompressível a equação anterior pode ser

escrita na forma

  ^ ^   x

x xx yx zx g x

p

Dt x x x

DV 

     

  

  





  

  

  

      y

y xy yy zy g y

p

Dt x x x

DV 

     

  

  





  

  

 

  ^ ^   z

z xz yz zz g z

p

Dt x x x

DV 

     

  

  





  

  

  

  p g

Dt

DV  



   .     F^  ma

(. ) 3

2 2 V x

Vx xx

   



3

2 2 V y

Vy

yy

   

     

(. ) 3

2 2 V z

Vz zz

   

      

















  

   x

V

y

V (^) x y

 xy  yx 



















  

   y

V

z

V y z  yz  zy  



  





  

   x

V

z

V (^) x z

 xz  zx 

  (^) x

x x x y z x

g

x

p

z

V

x

V

x y

V

y

V

y

V

x

V

Dt x

DV

  (^) y

y y x y z y g y

p

z

V

y

V

y

V y

V

y y

V

x

V

Dt x

DV



  

  





  





  

  

   





  

  





  





 



3

2 2

z   (^) z x x z z y g z

p V z

V

z z

V

t

V

x y

V

z

V

Dt x

DV        

  

  

   





  

  





  





  

  





  





 



3

2 2

Fluxo através de um tubo circular

• Considerações:
  • Fluxo Laminar;
  • Regime Permanente;
  • Massa específica e viscosidade constantes;
  • Tubo de tamanho L e raio R;
  • Fluido newtoniano e incompressível;
  • Fluxo retilíneo;
  • L>>r
  • Vz=Vz(r)
  • O fluido escoa para baixo devido a influencia da diferença

de pressão e a força da gravidade.

z

r

R

Fluxo através de um tubo circular

• Equação da continuidade

0

1 ( ) 1 ( ) ( )  

  

  

  



z

V V

r r

r V

t r

r^  z



   

0 0

( )  

   



z

V

z

 V (^) z z

• Equação do movimento
  • Para r

  r

r r r r z

r r r

r (^) g z

V V

r

V

r r

rV

r r r

p

z

V V r

V V

r

V

r

V V t

V   

 

 ^ ^  



  





  

  

  

  









  

  

  





   

  

  

 2

2

2

2

2 2

2

2

(^2 )

 0 



r

p