Baixe Análise de Sistemas LIT com Transformada de Laplace e Diagramas de Polos e Zeros e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Circuitos Elétricos, somente na Docsity!
430 Sinais e sistemas
9.197 ilustra um fato importante sobre a solução das equa- ções diferenciais lineares com coeficientes constantes com condições iniciais diferentes de zero, ou seja, que a resposta total é simplesmente a superposição da resposta ao estado nulo e à entrada nula. A resposta ao estado nulo é a resposta obtida definindo-se as condições iniciais como zero — ou seja, é a resposta do sistema LIT definido pela equação dife- rencial e a condição de repouso inicial. A resposta à entrada nula é a resposta às condições iniciais com a entrada defini- da como zero. Outros exemplos ilustrando esse fato podem ser encontrados nos problemas 9.20, 9.40 e 9.66.
Por fim, para quaisquer valores de α, β e γ pode- mos, naturalmente, expandir ( s ) na Equação 9.197 em uma expansão em frações parciais e inverter para obter y ( t ). Por exemplo, se α = 2, β = 3 e γ = –5, então, realizando uma expansão em frações parciais para a Equação 9.197, encontramos
Y ( ) s
s s s
Aplicando o Exemplo 9.29 a cada termo, resulta
y ( t ) = [1 – e – t^ + 3 e –2 t ] u ( t ) para t > 0. (9.199)
9.10 Resumo
Neste capítulo, desenvolvemos e estudamos a trans-
formada de Laplace, que pode ser vista como uma genera-
lização da transformada de Fourier. Ela é particularmente
útil como uma ferramenta analítica na análise e no estudo
de sistemas LIT. Devido às propriedades das transfor-
madas de Laplace, os sistemas LIT, incluindo aqueles
representados por equações diferenciais lineares com
coeficientes constantes, podem ser caracterizados e anali-
sados no domínio da transformada por manipulações al-
gébricas. Além disso, a álgebra da função de sistema forne-
ce uma ferramenta conveniente tanto para se analisarem
interconexões de sistemas LIT como para se construírem
representações de diagrama em blocos dos sistemas LIT
descritos por equações diferenciais.
Para sinais e sistemas com transformadas de Lapla-
ce racionais, a transformada é geralmente representada de
modo conveniente no plano complexo (plano s ) marcando
a localização dos polos e zeros e indicando a região de con-
vergência. Pelo diagrama de polos e zeros, a transformada
de Fourier pode ser obtida geometricamente a menos de
um fator de escala. Causalidade, estabilidade e outras ca-
racterísticas também são facilmente identificadas a partir da
localização dos polos e da região de convergência (RDC).
Neste capítulo, preocupamo-nos principalmen-
te com a transformada de Laplace bilateral. Entretanto,
também apresentamos uma forma diferente da trans-
formada de Laplace, conhecida como transformada de
Laplace unilateral. A transformada unilateral pode ser
interpretada como a transformada bilateral de um sinal
cujos valores antes de t = 0 –^ foram definidos como zero.
Essa forma da transformada de Laplace é especialmente
útil para se analisarem sistemas descritos por equações
diferenciais lineares com coeficientes constantes com con-
dições iniciais diferentes de zero.
Capítulo 9 – Problemas
A primeira seção de problemas pertence à categoria bá-
sica, e as respostas são fornecidas no final do livro. As três
seções posteriores contêm problemas que pertencem, respec-
tivamente, às categorias básica, avançada e de extensão.
Problemas básicos com respostas 9.1 Para cada uma das seguintes integrais, especifique os valores do parâmetro real σ que garantem que a inte- gral convirja: (a) (^) ∫ ∞ 0 e −^5 t^ e −(^ σ +^ j^ ω ) tdt (b) (^) ∫ (^) −∞^0 e −^5 t^ e − (^ σ +^ j^ ω ) tdt (c) (^) ∫ (^) −^5 5 e −^5 t^ e −^ (^ σ^ + j^ ω ) tdt (d) (^) ∫ (^) −∞∞^ e −^5 t^^ e −(^ σ +^ j^ ω ) tdt (e) (^) ∫ (^) −∞∞^ e −^5 t^ e − (^ σ +^ j^ ω ) tdt (f) (^) ∫ (^) −∞^0 e −^5 t^ e − (^ σ +^ j^ ω ) tdt 9.2 Considere o sinal
x ( t ) = e –5 t^ u ( t – 1) e a sua transformada de Laplace X ( s ). (a) Usando a Equação 9.3, calcule X ( s ) e especifique sua região de convergência. (b) Determine os valores dos números finitos A e t 0 tais que a transformada de Laplace G ( s ) de
g ( t ) = Ae –5 t^ u (– t – t 0 ) tenha a mesma forma algébrica de X ( s ). Qual é a região de convergência correspondente a G ( s )? 9.3 Considere o sinal
x ( t ) = e –5 tu ( t ) + e – β tu ( t ) e denote sua transformada de Laplace por X ( s ). Quais são as restrições impostas sobre as partes real e ima- ginária de β se a região de convergência de X ( s ) for { s } > –3? 9.4 Para a transformada de Laplace de
x t e t t t
t ( )
sen 2 0 0 0
A transformada de Laplace 431
indique a localização de seus polos e sua região de con- vergência. 9.5 Para cada uma das seguintes expressões algébricas da transformada de Laplace de um sinal, determine o nú- mero de zeros localizados no plano s finito e o número de zeros localizados no infinito:
(a)^1 1
s + s 3
(b) s s
(c) s s s
3 2
9.6 Sabe-se que um sinal absolutamente integrável x ( t ) tem um polo em s = 2. Responda às seguintes pergun- tas: (a) x ( t ) poderia ter duração finita? (b) x ( t ) poderia ser lateral esquerdo? (c) x ( t ) poderia ser lateral direito? (d) x ( t ) poderia ser bilateral? 9.7 Quantos sinais tem uma transformada de Laplace que pode ser expressa como ( ) ( )( )( )
s s s s s
em suas regiões de convergência? 9.8 Seja x ( t ) um sinal que tem uma transformada de Laplace racional com exatamente dois polos, localizados em s = –1 e s = –3. Se g ( t ) = e^2 tx ( t ) e G ( j ω) [a transformada de Fourier de g ( t )] converge, determine se x ( t ) é lateral esquerdo, lateral direito ou bilateral. 9.9 Dado que
e u t s a
− at (^) ←⎯ →
L 1
{ s } > {− a },
determine a transformada inversa de Laplace de
X s s s s
, { s } > −3.
9.10 Usando o cálculo geométrico da magnitude da trans- formada de Fourier a partir do diagrama de polos e zeros correspondente, determine, para cada uma das seguintes transformadas de Laplace, se a magnitude da transformada de Laplace correspondente é aproxima- damente passa-baixas, passa-altas ou passa-faixa:
(a) H s (^1) s s
, { s } > − 1
(b) H^ s^
s s s (^2 ) 1
, (^) { } s > − (^12)
(c) H s s (^3) s s
2 ( )= (^2) + 2 + 1 , { s } > − 1
9.11 Use o cálculo geométrico a partir do diagrama de polos e zeros para determinar a magnitude da transformada de Fourier do sinal cuja transformada de Laplace é es- pecificada como
X s s s s s
2 2
{ } s > −
9.12 Suponha que tenhamos os três fatos a seguir sobre o sinal x ( t ):
1. x ( t ) = 0 para t < 0. 2. x ( k /80) = 0 para k = 1, 2, 3, ... 3. x (1/160) = e –120. Seja X ( s ) a transformada de Laplace de x ( t ), e determi- ne quais das seguintes afirmações são consistentes com as informações dada sobre x ( t ): (a) X ( s ) tem apenas um polo no plano s finito. (b) X ( s ) tem apenas dois polos no plano s finito. (c) X ( s ) tem mais de dois polos no plano s finito. 9.13 Seja
g ( t ) = x ( t ) + α x (– t ), em que
x ( t ) = β e – tu ( t ) e a transformada de Laplace de g ( t ) é
G s
s
s
, − 1 < { s } < 1.
Determine os valores das constantes α e β. 9.14 Suponha que os seguintes fatos sejam dados sobre o sinal x ( t ) com transformada de Laplace X ( s ):
1. x ( t ) é real e par. 2. X ( s ) tem quatro polos e nenhum zero no plano s finito. 3. X ( s ) tem um polo em s = (1/2) ej π/4. 4. (^) ∫ (^) −∞∞^ x t dt ( ) = 4 Determine X ( s ) e sua RDC. 9.15 Considere dois sinais laterais direitos x ( t ) e y ( t ) relacio- nados através das equações diferenciais dx t dt
Y t t
= − 2 ( ) + δ ( )
e
dy t dt
x t
Determine Y ( s ) e X ( s ), juntamente com suas regiões de convergência. 9.16 Um sistema LIT causal S com resposta ao impulso h ( t ) tem sua entrada x ( t ) e saída y ( t ) relacionadas por meio
A transformada de Laplace 433
3. x ( t ) = 0, t > 1 4. x ( t ) = 0, t < –
! 2 2
! 2 j
2 j
! 2 2
! 2 j
2 j
! 2 2
! 2 j
2 j
! 2 2
! 2 j
2 j
Figura P9.2 3
9.24 Neste problema, consideraremos a região de conver- gência das transformadas de Laplace sempre incluindo sempre o eixo j ω. (a) Considere um sinal x ( t ) com transformada de Fou- rier X ( j ω) e transformada de Laplace X ( s ) = s + 1/2. Esboce o diagrama de polos e zeros para X ( s ). Esboce também o vetor cujo comprimento repre- senta | X ( j ω)| e cujo ângulo com relação ao eixo real representa! X ( j ω) para determinado ω. (b) Examinando o diagrama de polos e zeros e o diagrama de vetor do item (a), determine uma transformada de Laplace X 1 ( s ) diferente, corres- pondente à função do tempo, x (^) 1 ( t ), de modo que | X (^) 1 ( j ω)| = | X ( j ω)|, mas x 1 ( t ) ≠ x ( t ). Mostre o diagrama de polos e zeros e os vetores associados que representam X 1 ( j ω). (c) Para a sua resposta no item (b), determine, exami- nando novamente os diagramas de vetor relacio- nados, a relação entre! X ( j ω) e! X 1 ( j ω). (d) Determine a transformada de Laplace X 2 ( s ) tal que
! X 2 ( j ω) =! X ( j ω), mas que x 2 ( t ) não seja proporcional a x ( t ). Mostre o diagrama de polos e zeros para X 2 ( s ) e os vetores associados que representam X 2 ( j ω). (e) Para a sua resposta no item (d), determine a rela- ção entre |X 2 ( j ω) | e |X ( j ω)|.
(f) Considere um sinal x ( t ) com transformada de La- place X ( s ) para o qual o diagrama de polos e zeros é mostrado na Figura P9.24. Determine X 1 ( s ) tal que | X ( j ω)| = |X 1 ( j ω) | e todos os polos e zeros de X 1 ( s ) estejam na metade esquerda do plano s [ou seja, { s } < 0]. Além disso, determine X 2 ( s ) tal que ! X ( j ω) =! X 2 ( j ω) e todos os polos e zeros de X 2 ( s ) estejam na metade esquerda do plano s.
! 2! 1 1 2
1
Figura P9. 9.25 Considerando a determinação geométrica da transfor- mada de Fourier, conforme desenvolvida na Seção 9.4, esboce, para cada um dos diagramas de polos e zeros na Figura P9.25, a magnitude da transformada de Fourier associada. 9.26 Considere um sinal y ( t ) que está relacionado a dois si- nais x 1 ( t ) e x 2 ( t ) por
y ( t ) = x 1 ( t – 2) * x 2 (– t + 3) em que
x (^) 1 ( t ) = e –2 t^ u ( t ) e x 2 ( t ) = e –3 tu ( t ). Dado que
e u t s a
− at (^) ←⎯ →
L 1
{ s } > − a ,
use as propriedades da transformada de Laplace para determinar a transformada de Laplace Y ( s ) de y ( t ). 9.27 São dados os cinco fatos a seguir sobre um sinal real x ( t ) com a transformada de Laplace X ( s ):
1. X ( s ) tem exatamente dois polos. 2. X ( s ) não tem zeros no plano s finito. 3. X ( s ) tem um polo em s = –1 + j. 4. e^2 tx ( t ) não é absolutamente integrável. 5. X (0) = 8. Determine X ( s ) e especifique sua região de conver- gência. 9.28 Considere um sistema LIT para o qual a função de sis- tema H ( s ) tem o diagrama de polos e zeros mostrado na Figura P9.28. (a) Indique todas as RDCs possíveis que podem ser as- sociadas a esse diagrama de polos e zeros.
434 Sinais e sistemas
(b) Para cada RDC identificada no item (a), especifi- que se o sistema associado é estável e/ou causal. 9.29 Considere um sistema LIT com entrada x ( t ) = e – tu ( t ) e resposta ao impulso h ( t ) = e –2 tu ( t ). (a) Determine as transformadas de Laplace de x ( t ) e h ( t ). (b) Usando a propriedade de convolução, determine a transformada de Laplace Y ( s ) da saída y ( t ). (c) Da transformada de Laplace de y ( t ) obtida no item (b), determine y ( t ). (d) Verifique seu resultado no item (c) pela convolu- ção explícita de x ( t ) e h ( t ). 9.30 Um medidor de pressão que pode ser modelado como um sistema LIT tem uma resposta temporal a uma entrada de
(a)
j! (^0)
" j! (^0)
(b)
j! (^0)
" j! (^0)
(c) (d)
" b " a a b
(e )
j! (^0)
" j! (^0)
(f )
Figura P9.
! 2! 1 " 1 " 2
Figura P9.
436 Sinais e sistemas
" 3
x ( t )
e ( t ) f ( t ) s y (^) 1 ( t )
1 s 1
" 2
!
!
Figura P9.
(e) Use o resultado do item anterior para estender a representação de S 1 por diagrama de blocos na for- ma direta e criar uma representação por diagrama de blocos de S. (f) Observando que
H s
s s
s s
apresente uma representação por diagrama de blo- cos para S como uma combinação em cascata de dois subsistemas. (g) Observando que
H s s s
apresente uma representação por diagrama de blo- cos para S como uma combinação paralela de três subsistemas. 9.37 Apresente uma representação na forma direta para os sistemas LIT causais com as seguintes funções de sistema (a) H s s (^1) s (^2) s
(b) H s s s s s 2
2 2
(c) H s s (^3) s 22
9.38 Considere um sistema LIT causal de quarta ordem S cuja função de sistema é especificada como
H s s s s s
(a) Mostre que uma representação por diagrama de blocos para S consistindo em uma cascata de qua- tro seções de primeira ordem terá multiplicações por coeficientes que não são puramente reais. (b) Apresente uma representação em diagrama de blocos para S como uma interconexão em cascata de dois sistemas de segunda ordem, cada qual re- presentado na forma direta. Não deve haver mul- tiplicações por coeficientes não reais no diagrama de blocos resultante. (c) Apresente uma representação em diagrama de blo- cos para S como uma interconexão paralela de dois
sistemas de segunda ordem, cada qual representa- do na forma direta. Não deve haver multiplicações por coeficientes não reais no diagrama de blocos resultante. 9.39 Seja
x 1 ( t ) = e –2 t^ u ( t ) e x 2 ( t ) = e –3( t +1) u ( t + 1). (a) Determine a transformada de Laplace unilateral 1 ( s ) e a transformada de Laplace bilateral^ X 1 ( s ) para o sinal x 1 ( t ). (b) Determine a transformada de Laplace unilateral 2 ( s ) e a transformada de Laplace bilateral^ ; 2 ( s ) para o sinal x 2 ( t ). (c) Use a transformada de Laplace bilateral inversa do produto X 1 ( s ) X 2 ( s ) para determinar o sinal g ( t ) = x 1 ( t ) * x 2 ( t ). (d) Mostre que a inversa da transformada de Laplace unilateral do produto 1 ( s ) 2 ( s ) não é a mesma que g ( t ) para t > 0 –. 9.40 Considere o sistema S caracterizado pela equação dife- rencial
d y t dt
d y t dt
dy t dt
y t x t
3 3
2 6 2 11 6
(a) Determine a resposta ao estado nulo desse sistema para a entrada x ( t ) = e –4 t^ u ( t ). (b) Determine a resposta à entrada nula do sistema para t > 0 −, dado que
y dy t dt
d y t t dt t
0
2 2 0
− = =
−
(c) Determine a saída de S quando a entrada é x ( t ) = e –4 t^ u ( t ) e as condições iniciais são as mesmas que aquelas especificadas no item (b).
Problemas avançados 9.41 (a) Mostre que, se x ( t ) é uma função par, de modo que x ( t ) = x (– t ), então X ( s ) = X (– s ). (b) Mostre que, se x ( t ) é uma função ímpar, de modo que x ( t ) = – x (– t ), então X ( s ) = – X (– s ). (c) Determine quais (se houver algum) dos diagramas de polos e zeros na Figura P9.41 poderiam corres- ponder a uma função par do tempo. Para aqueles que poderiam, indique a RDC exigida. 9.42 Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa. Se uma afirmação for verdadeira, construa um argumento convincente para ela. Se for falsa, dê um contraexemplo. (a) A transformada de Laplace de t^2 u ( t ) não converge em local algum no plano s. (b) A transformada de Laplace de e t^2 u ( t ) não converge em local algum no plano s.
A transformada de Laplace 437
(c) A transformada de Laplace de ej ω^0 t^ não converge em local algum no plano s. (d) A transformada de Laplace de ej ω^0 t^ u ( t ) não conver- ge em local algum no plano s. (e) A transformada de Laplace de |t| não converge em local algum no plano s.
9.43 Seja h ( t ) a resposta ao impulso de um sistema LIT cau- sal e estável com uma função de sistema racional. (a) O sistema com resposta ao impulso dh ( t )/ dt é ga- rantidamente causal e estável?
(b) O sistema com resposta ao impulso ∫ −∞^ t^ h ( ) τ dτ é
garantidamente causal e instável?
9.44 Seja x ( t ) o sinal amostrado especificado como
x t e nT t nT n
=
∞
0
sendo T > 0. (a) Determine X ( s ), incluindo sua região de conver- gência. (b) Esboce o diagrama de polos e zeros para X ( s ). (c) Use a interpretação geométrica do diagrama de po- los e zeros para argumentar que X ( j ω) é periódico.
9.45 Considere o sistema LIT mostrado na Figura P9.45(a) sobre o qual são dadas as seguintes informações:
X s s s x t t
e y t ( ) = − e t^ u ( − t ) + e − tu t ( )
2 [Veja Figura P9.45(b).]
(a) Determine H ( s ) e sua região de convergência. (b) Determine h ( t ). (c) Usando a função H ( s ) encontrada no item (a), de- termine a saída y ( t ) se a entrada for x ( t ) = e^3 t^ , – ∞ < t < +∞. 9.46 Seja H ( s ) a representação por função de sistema para um sistema causal e estável. A entrada do sistema con- siste na soma de três termos, um dos quais é um impul- so δ( t ) e outro, uma exponencial complexa na forma e s^0 t , onde s 0 é uma constante complexa. A saída é
y t ( ) = − 6 e − t^ u t ( ) + e t^ cos t + e t t + ( ) t
(^4 4) sen 3 δ (^).
Determine H ( s ), de forma consistente com essa in- formação.
" 1 1
(a)
" 1 1
(b)
" 1
" j
j
1
(c)
" 1 1
(d)
Figura P9.
A transformada de Laplace 439
(e) H ( s ) não tem menos que quatro polos. (f) H ( j ω) = 0 para pelo menos um valor finito de ω. (g) Se a entrada de S é e^3 t^ sen t , a saída é e^3 t^ cos t.
9.52 Conforme indicamos na Seção 9.5, muitas das proprie- dades da transformada de Laplace e sua dedução são semelhantes às propriedades correspondentes da trans- formada de Fourier e sua dedução, conforme desenvol- vida no Capítulo 4. Neste problema, é pedido que você esboce a dedução de uma série de propriedades da transformada de Laplace. Observando a dedução para a propriedade cor- respondente no Capítulo 4 para a transformada de Fourier, deduza cada uma das seguintes propriedades da transformada de Laplace. Sua dedução deve incluir uma consideração sobre a região de convergência. (a) Deslocamento no tempo (Seção 9.5.2). (b) Deslocamento no domínio s (Seção 9.5.3). (c) Mudança de escala no tempo (Seção 9.5.4). (d) Propriedade de convolução (Seção 9.5.6).
9.53 Conforme apresentado na Seção 9.5.10, o teorema do valor inicial estabelece que, para um sinal x ( t ) com transformada de Laplace X ( s ) e para o qual x ( t ) = 0 para t < 0, o valor inicial de x ( t ) [ou seja, x (0+)] pode ser obtido a partir de X ( s ) através da relação
x sX s s ( 0 + =) lim ( ) →∞
. (Eq. 9.110) Primeiro, observamos que, como x ( t ) = 0 para t < 0, x ( t ) = x ( t ) u ( t ). Em seguida, expandindo x ( t ) em série de Taylor em t = 0 +, obtemos
x t x x t x t n
n n ( ) ( ) ( ) ( ) !
= ⎡ + + ( )^ + + + ( ) + +
0 1 0 # 0 #⎥⎥⎥ u t ( ) ,
(P9.53-1)
em que x ( n )(0+) indica a n -ésima derivada de x ( t ) cal- culada em t = 0+. (a) Determine a transformada de Laplace de um termo arbitrário x ( n )(0+)( t n / n !) u ( t ) no membro direito da Equação P9.53-1. (Pode ser útil rever o Exemplo 9.14.) (b) Pelo seu resultado no item (a) e a expansão na Equação P9.53-1, mostre que X ( s ) pode ser expres- so como
X s x s
n n n
=
∞
1 0
(c) Demonstre que a Equação 9.110 segue do resultado do item (b). (d) Determinando primeiro x ( t ), verifique o teorema do valor inicial para cada um dos seguintes exemplos:
1. X^^ ( ) s^ =^ s +^12 2. X s ( ) = (^) ( s + 2 s )(+ 1 s + 3 )
(e) Uma forma mais geral do teorema do valor ini- cial afirma que, se x ( n )^ (0+) = 0 para n < N , então x ( N )(0+) = lim s →∞ s N +1 X ( s ). Demonstre que essa afirmação mais geral também segue do resultado no item (b). 9.54 Considere um sinal real x ( t ) com transformada de La- place X ( s ). (a) Aplicando a conjugação complexa nos dois mem- bros da Equação 9.56, mostre que X ( s ) = X* ( s* ). (b) Do resultado em (a), mostre que, se X ( s ) tem um polo (zero) em s = s 0 , ele também deve ter um polo
(zero) em s = s 0 ∗; ou seja, para x ( t ) real, os polos e ze-
ros de X ( s ) que não estão no eixo real devem ocorrer em pares conjugados complexos. 9.55 Na Seção 9.6, Tabela 9.2, listamos diversos pares de transformada de Laplace e indicamos especificamente como os pares de transformada de 1 a 9 seguem dos exemplos 9.1 e 9.14, juntamente com diversas proprie- dades da Tabela 9.1. Explorando as propriedades da Tabela 9.1, mos- tre como os pares de transformada de 10 a 16 seguem dos pares de transformada de 1 a 9 na Tabela 9.2. 9.56 A transformada de Laplace existe para um s complexo específico se a magnitude da transformada for finita — ou seja, se |X ( s ) | < ∞. Mostre que uma condição suficiente para a exis- tência da transformada X ( s ) em s = s 0 = σ 0 + j ω 0 é que
x t ( ) e − tdt −∞
+∞
∫ σ^0 <^ ∞.
Em outras palavras, mostre que x ( t ), ponderado expo- nencialmente por e – σ^0 t , é absolutamente integrável. Você precisará usar o resultado de que, para uma fun- ção complexa f ( t ),
f t dt f t dt a
b a
b
∫ ( )^ ≤^ ∫ ( ).^ (P9.56-1)
Sem provar rigorosamente a Equação P9.56-1, argu- mente sua plausibilidade. 9.57 A transformada de Laplace X ( s ) de um sinal x ( t ) tem quatro polos e um número desconhecido de zeros. Sa- be-se que o sinal x ( t ) tem um impulso em t = 0. Deter- mine que informação, se houver alguma, isso fornece sobre o número de zeros e suas localizações. 9.58 Seja h ( t ) a resposta ao impulso de um sistema LIT cau- sal e estável com função de sistema racional H ( s ). Mos- tre que g ( t ) = { h ( t )} também é a resposta ao impulso de um sistema causal e estável. 9.59 Se ( s ) indica a transformada de Laplace unilateral de x ( t ), determine, em termos de ( s ), a transformada de Laplace unilateral de: (a) x ( t – 1) (c) (^) ∫ (^) −∞∞^ x ( ) τ dτ (b) x ( t + 1) (d) d x t dt
3 3
440 Sinais e sistemas
Problemas de extensão
9.60 Na comunicação telefônica de longa distância, um eco às vezes é encontrado devido ao sinal transmitido sen- do refletido no receptor, enviado de volta pela linha, refletido novamente no transmissor e retornado ao receptor. A resposta ao impulso para um sistema que modela esse efeito aparece na Figura P9.60, onde con- sideramos que somente um eco é recebido. O parâme- tro T corresponde ao tempo de ida ao longo do canal de comunicação, e o parâmetro α representa a atenuação em amplitude entre transmissor e receptor.
h ( t )
0 T 3 T t
! (^)! 3
Figura P9.
(a) Determine a função de sistema H ( s ) e a região de convergência associada para o sistema. (b) Do seu resultado no item (a), você deve observar que H ( s ) não consiste em uma razão de polinômios. Apesar disso, é útil representá-lo em termos de po- los e zeros, onde, como sempre, os zeros são os va- lores de s para os quais H ( s ) = 0 e os polos são os valores de s para os quais 1/ H ( s ) = 0. Para a função de sistema encontrada no item (a), determine os zeros e demonstre que não existem polos. (c) Do seu resultado no item (b), esboce o diagrama de polos e zeros para H ( s ). (d) Considerando os vetores apropriados no plano s , esboce a magnitude da resposta em frequência do sistema. 9.61 A função de autocorrelação de um sinal x ( t ) é definida como
φ (^) xx ( ) τ = x t x t ( ) ( + τ ) dt −∞
∞
(a) Determine, em termos de x ( t ), a resposta ao im- pulso h ( t ) de um sistema LIT para o qual, quando a entrada é x ( t ), a saída é φ xx ( t ) [Figura P9.61(a)].
(b) Da sua resposta no item (a), determine Φ xx ( s ), a transformada de Laplace de φ xx (τ), em termos de X ( s ). Além disso, expresse Φ xx ( j ω), a transformada de Fourier de φ xx (τ), em termos de X ( j ω). (c) Se X ( s ) tem o padrão de polos e zeros e RDC mos- trada na Figura P9.61(b), esboce o padrão de polos e zeros e indique a RDC para Φ xx ( s ).
x ( t ) "^ xx ( t )
(a)
h ( t )
! 3! 2
(b)
! 1
Figura P9.
9.62 Em diversas aplicações em projeto e análise de sinais, encontramos a classe de sinais
φ n ( t ) = e – t /2 Ln ( t ) u ( t ), n = 0, 1, 2, ..., (P9.62-1) em que
L t e n
d dt n t e
t n n ( ) n^ t !
= ( −^ ) ,^ (P9.62-2)
(a) As funções Ln ( t ) são conhecidas como polinômios de Laguerre. Para verificar que eles de fato têm a forma de polinômios, determine L 0 ( t ), L 1 ( t ) e L 2 ( t ) explici- tamente. (b) Usando as propriedades da transformada de La- place na Tabela 9.1 e os pares de transformada de Laplace na Tabela 9.2, determine a transfor- mada de Laplace Φ (^) n ( s ) de φ (^) n ( t ). (c) O conjunto de sinais φ n ( t ) pode ser gerado exci- tando uma rede da forma da Figura P9.62 com um impulso. Do seu resultado no item (b), determine H 1 ( s ) e H 2 ( s ) de modo que as respostas ao impulso ao longo da cadeia de cascata sejam os sinais φ n ( t ), conforme indicados.
!( t ) H^ 1 ( s )^ H^ 2 ( s )^ H^ 2 ( s )^ H^ 2 ( s )
0 ( t )^1 ( t )^2 ( t )^ i ( t )
Figura P9.
