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Lista 4
C´alculo 2 – Engenharias 21 de novembro de 2022
Professor: Andr´e Amarante [email protected]
Exerc´ıcio 1
(**)A figura a seguir mostra a regi˜ao de integra¸c˜ao para
Z (^1)
0
Z 1
√ x
Z (^1) −y
0
f (x, y, z) dzdydx.
Reescreva-a como uma integral equivalente em cinco outras maneiras.
− 0. 5
- 5
1
- 5
− 0. 5
- 5 1
- 5
− 0. 5
- 5 1
- 5 eixo-x
eixo-y
eixo-z
y = √ x
z = 1 − y
Exerc´ıcio 2
Avalie as seguintes integrais triplas.
a
Z 1
− 1
Z 2
0
Z 1
0
(x 2
b
Z 1 / 2
1 / 3
Z (^) π
0
Z 1
0
zx sin xy dzdydx
c
Z 2
0
Z (^) y^2
− 1
Z (^) z
− 1
yz dxdzdy
d
Z (^) π/ 4
0
Z 1
0
Z (^) x 2
0
x cos y dzdxdy
e
Z 3
0
Z √ 9 −z 2
0
Z (^) x
0
xy dydxdz
f
Z 3
1
Z (^) x 2
x
Z (^) ln z
0
xe y dydzdx
g
Z 2
0
Z √ 4 −x 2
0
Z (^3) −x (^2) −y 2
−5+x^2 +y^2
x dzdydx
h
Z 2
1
Z 2
z
Z √ 3 y
0
y
x^2 + y^2
dxdydz
Exerc´ıcio 3
Determine o volume dos seguintes s´olidos usando uma integral tripla.
a O s´olido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e o plano 3x + 6y + 4z = 12.
b O s´olido limitado pela superf´ıcie z =
y e os planos x + y = 1, x = 0 e z = 0.
c O s´olido limitado pela superf´ıcie y = x^2 e os planos y + z = 4 e z = 0.
d A cunha no primeiro octante que ´e cortada do cilindro y 2
- z 2 ≤ 1 e pelos planos y = x e x = 0.
Exerc´ıcio 4
Use coordenadas cil´ındricas para determinar o volume dos seguintes s´olidos.
a O s´olido limitado pelo parabol´oide z = x 2
b O s´olido limitado acima pela esfera x 2
- y 2
- z 2 = 1 e abaixo pelo cone z =
p x^2 + y^2.
c O s´olido limitado pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 e a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4.
d O s´olido limitado pelo cone z =
p x^2 + y^2 e a esfera x 2
e O s´olido limitado pelo parabol´oide z = x^2 + y^2 e a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2.
Exerc´ıcio 5
Escreva as integrais triplas cuja regi˜ao de integra¸c˜ao s˜ao os s´olidos esquematizados a seguir.
a Abaixo de z = 5 − x e acima de r = 3 cos θ.
b Abaixo de z = 4 − y e acima de r = 2 sin θ.
c O s´olido limitado acima da regi˜ao entre as curvas r = 1 e r = 1 + cos θ e o plano z = 4.
d O s´olido limitado acima da regi˜ao entre as curvas r = cos θ e r = 2 cos θ e o plano z = 3 − y.
e S´olido limitado acima da regi˜ao y = x, x = 1 e y = 0 e abaixo do plano z = 2 − y.
f S´olido limitado acima da regi˜ao y = x, x = 1 e x = 0 e abaixo do plano z = 2 − x
Exerc´ıcio 6
Suponhamos que queiramos calcular
RRR
E f (x, y, z) dV onde E s˜ao os s´olidos esquematizados a seguir. Mude para coordenadas cil´ındrinas/esf´ericas para escrever tal integral.
GABARITO
Resp. Exerc. 1
Z 1
0
Z 1
√ x
Z (^1) −y
0
f (x, y, z) dzdydx =
Z 1
0
Z (^) y^2
0
Z (^1) −y
0
f (x, y, z) dzdxdy =
Z 1
0
Z (^1) −z
0
Z (^) y^2
0
f (x, y, z) dxdydz
Z 1
0
Z (^1) −y
0
Z (^) y 2
0
f (x, y, z) dxdzdy =
Z 1
0
Z (^1) −√x
0
Z (^1) −z
√ x
f (x, y, z) dydzdx
Z 1
0
Z (^) (1−z)^2
0
Z (^1) −z
√ x
f (x, y, z) dydxdz.
Resp. Exerc. 2
a 8
b 1 12 +^
√ 3 − 2 4 π
c 47 3
d
√ 2 8
e 81 5
f 118 3
g 128 15
h π 6
Resp. Exerc. 3
a 4 b 4 15 c 256 15 d 1 3
Resp. Exerc. 4
a 81 π 2 b π 3
- c 4 3 π(8 − 33 /^2 ) d 4 3 π(
2 − 1) e (− 7 6
3
2)π
Resp. Exerc. 5
a
Z (^) π
0
Z (^) 2 sin θ
0
Z (^4) −r sin θ
0
f (r, θ, z) dzdrdθ
b
Z (^) π/ 2
π/ 2
Z (^) 3 cos θ
0
Z (^5) −r cos θ
0
rf (r, θ, z) dzdrdθ
c
Z (^) π/ 2
π/ 2
Z (^) 1+cos θ
1
Z (^4)
0
rf (r, θ, z) dzdrdθ
d
Z (^) π/ 2
π/ 2
Z (^) 2 cos θ
cos θ
Z (^3) −r sin θ
0
rf (r, θ, z) dzdrdθ
e
Z (^) π/ 4
0
Z (^) sec θ
0
Z (^2) −r sin θ
0
rf (r, θ, z) dzdrdθ
f
Z (^) π/ 2
π/ 4
Z (^) csc θ
0
Z (^2) −r sin θ
0
rf (r, θ, z) dzdrdθ
Resp. Exerc. 6
S´olido 1, use coordenadas cil´ındricas:
R (^) π/ 2 0
R 3
0
R 2
0 f (r cos θ, r sin θ, z)rdzdrdθ.
S´olido 2, use coordenadas esf´ericas:
R (^) π/ 2 0
R (^2) π π/ 2
R 2
1 f^ (ρ^ sin^ ϕ^ cos^ θ, ρ^ sin^ ϕ^ sin^ θ, ρ^ cos^ ϕ)ρ
2 sin ϕdρdθdϕ.
Resp. Exerc. 7
a 64 π 3 b 7 π 3
- c 11 πa^3 3 d 9
2 π e 5 π 3 f 7 π 3
Resp. Exerc. 8
Demonstra¸c˜ao.
