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5. SÉRIES NUMÉRICAS
Neste capítulo, vamos estender o conceito de adição, válido para um número finito de parcelas, à uma soma infinita de parcelas.
5.1: Definição e exemplos: Série geométrica e série de
Dirichlet
5.1.1: Definições
Definição 1.1: Dada uma sucessão de números reais ( u n ) n ∈ IN ,
chama-se série de números reais ou série numérica à soma infinita
+∞
1 2 n (^) n 1 n u u " u " u.
Os números u 1 (^) , u 2 ,"chamam-se termos da série numérica e o
n. mo^ termo u (^) n é designado por termo geral da série.
Para calcular, se possível, a série ∑
+∞ n = 1 n
u vamos considerar a
seguinte sucessão: S 1 (^) = u 1 S 2 (^) = u 1 + u 2 S 3 (^) = u 1 + u 2 + u 3 ... S (^) n = u 1 + u 2 +"+ u n.
Definição 1.2: A sucessão ( S n ) n ∈ IN chama-se sucessão de somas
parciais ou sucessão associada à série.
Definição 1.3:
(i) Se a sucessão ( S n ) n ∈ IN converge para S , isto é,
n^ lim→+∞^ S^ n = S^ ∈^ IR ,^ diz-se^ que^ a^ série^ numérica^ ∑
+∞ n = 1 n
u é
convergente , e então ∑
+∞
n 1 n^
u S.
O número S é chamado soma da série.
(ii) Se a sucessão ( S n ) n ∈ IN é divergente, isto é, n lim→ +∞ Sn não
existe ou é infinito, diz-se que a série ∑
+∞ n = 1 n
u é divergente.
Neste caso, a série não tem soma.
5.1.2: Série geométrica Definição 1.4: Uma série geométrica de 1º termo a e de razão r é uma série numérica da forma:
∑ = + + +^ "
+∞
− 2 1
ar^1 a ar ar n
n , com a , r ∈ IR { } 0.
Teorema 2.2: Se as séries numéricas ∑
+∞ n = 1 n
u e ∑
+∞ n = 1 n
v são
convergentes, com somas S e T respectivamente, então:
(i) A série ∑( )
+∞
n 1 n^ n
u v converge e tem soma S ± T.
(ii) Para todo o λ ∈ IR , a série ∑
+∞ n = 1 n
λ u converge e tem soma λ S.
Teorema 2.3: Se a série numérica ∑
+∞ n = 1 n
u é convergente e a série
+∞ n = 1 n
v é divergente, então a série ∑( )
+∞
n 1 n^ n
u v é divergente.
Na maior parte dos casos, é difícil determinar a soma de uma série. Por isso, iremos apresentar alguns critérios que permitem analisar a natureza de uma série, sem recorrer ao cálculo de Sn.
5.3: Critério do termo geral para a divergência
A seguir apresenta-se uma condição necessária de convergência de séries numéricas.
Teorema 3.1: Condição necessária de convergência
Se a série numérica ∑
+∞ n = 1 n
u é convergente então (^) n lim→ +∞ u (^) n = 0.
Nota: O recíproco do teorema anterior é falso. A série harmónica pode servir de contra-exemplo.
Na prática, utiliza-se mais a negação do teorema anterior.
Corolário 3.2: Teste da divergência ou Critério do n.mo^ termo
Se n lim→ +∞ u n ≠ 0 , então a série numérica ∑
+∞ n = 1 n u é divergente.
Exemplo 3.3: Estude a natureza da série ∑
+∞ = 11 +^3
n n
n (^).
5.4: Série de termos não negativos: critérios de Cauchy
e de D’ Alembert
Teorema 4.1: Critério de Cauchy ou da Raiz
Sejam u (^) n > 0 e (^) n lim →+∞ n^ un = L.
(i) Se L < 1 , então a série ∑
+∞ n = 1 n
u é convergente;
(ii) Se L > 1 ou L = 1 +, então a série ∑
+∞ n = 1 n
u é divergente;
(iii) Se L = 1 −, então não se pode concluir nada.
Exemplo 4.2: Determine a natureza da série ∑
+∞
1
n n
n n.
Teorema 5.2: Critério de Leibniz
Se a n > 0 , a série alternada ∑( )
+∞
1
n n
n (^) a converge se verifica as
condições seguintes: (i) (^) n lim → +∞ an = 0 ;
(ii) a sucessão ( a n ) n ∈ IN é decrescente, ou seja, a n + 1 − an ≤ 0 ,
∀ n ∈ IN.
Nota: Se a primeira condição do teorema anterior não se verifica, podemos concluir, pelo critério do n.mo^ termo, que a série é divergente.
Exemplo 5.3: Determine a natureza da série ∑( )
+∞
2 ln
n
n n.
5.6: Séries absolutamente convergentes e séries
simplesmente convergentes
Esta secção é dedicada ao estudo da convergência de séries numéricas com termos arbitrários.
Teorema 6.1: Convergência Absoluta
Se a série ∑
+∞ n = 1 n
u é convergente, então a série ∑
+∞ n = 1 n
u também é
convergente.
Definição 6.2: A série ∑
+∞ n = 1 n
u diz-se absolutamente convergente
se a série ∑
+∞ n = 1 n
u é convergente.
Definição 6.3: A série ∑
+∞ n = 1 n
u diz-se simplesmente convergente
se a série ∑
+∞ n = 1 n
u converge e ∑
+∞ n = 1 n
u diverge.
Exemplo 6.4: Mostre que a série ∑
+∞ = 1 3
cos n n
n (^) é absolutamente
convergente.
