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AULA 26

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

INTEGRAÇÃO POR PARTES STEWART – VOLUME 1

CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL

Cada regra de diferenciação

tem outra correspondente de

integração. A regra da

substituição para a integração

corresponde à regra da cadeia

para a diferenciação.

Cálculo - Stewart

A regra do produto

estabelece que se f e g

são funções

diferenciáveis, então:

𝐝𝐱 𝐟^ 𝐱^.^ 𝐠(𝐱)^ =^ 𝐟^ 𝐱^.^ 𝐠

𝐝 𝐝𝐱 𝐟^ 𝐱^.^ 𝐠(𝐱)^ =^ 𝐟^ 𝐱^.^ 𝐠′^ 𝐱^ +^ 𝐠^ 𝐱^.^ 𝐟′(𝐱)

Na notação para integrais indefinidas, essa equação torna-se:

𝐟 𝐱. 𝐠′^ 𝐱 + 𝐠 𝐱. 𝐟′(𝐱) = 𝐟 𝐱. 𝐠 𝐱

Ou 𝐟 𝐱. 𝐠′^ 𝐱 𝐝𝐱 + 𝐠 𝐱. 𝐟′^ 𝐱 𝐝𝐱 = 𝐟 𝐱. 𝐠(𝐱)

Ou, ainda: 𝐟 𝐱. 𝐠′^ 𝐱 𝐝𝐱 = 𝐟 𝐱. 𝐠 𝐱 − 𝐠 𝐱. 𝐟′^ 𝐱 𝐝𝐱 (^5)

Exemplo 01

Encontre

Exemplo 01

Encontre 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙

𝐮𝐝𝐯 = 𝐮𝐯 − 𝐯𝐝𝐮

𝒖 = 𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 → 𝒗 = −𝒄𝒐𝒔𝒙

Exemplo 01 Encontre 𝒖 = 𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 → 𝒗 = −𝒄𝒐𝒔𝒙 𝐮𝐝𝐯 = 𝐮𝐯 − 𝐯𝐝𝐮

𝐱𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐝𝐱 = 𝐱. (−𝐜𝐨𝐬𝐱) − −𝒄𝒐𝒔𝒙 𝐝𝐱

𝐱𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐝𝐱 = −𝐱. 𝐜𝐨𝐬𝐱 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 + 𝐂

Proposta: faça a prova real,

ou seja, derive a resposta

encontrada.

Exemplo 01 Encontre 𝒖 = 𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 → 𝒗 = −𝒄𝒐𝒔𝒙 𝐮𝐝𝐯 = 𝐮𝐯 − 𝐯𝐝𝐮

𝐱𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐝𝐱 = 𝐱. (−𝐜𝐨𝐬𝐱) − −𝒄𝒐𝒔𝒙 𝐝𝐱 𝐱𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐝𝐱 = −𝐱. 𝐜𝐨𝐬𝐱 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 + 𝐂

OBSERVAÇÃO: O objetivo ao usar a integração por partes é obter uma integral mais simples que aquela de partida. No exemplo 1 iniciamos com 𝐱𝐬𝐞𝐧𝐱𝐝𝐱 e a expressamos em termos da integral mais simples 𝐜𝐨𝐬𝐱𝐝𝐱.

Resolva o exemplo 01 supondo u = sen x e dv = x dx. 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙

𝐮𝐝𝐯 = 𝐮𝐯 − 𝐯𝐝𝐮

𝒖 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝒙𝒅𝒙 → 𝒗 =

𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒙^ −^

𝟐 𝒙².^ 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙

Resolva o exemplo 01 supondo u = sen x e dv = x dx. 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝐮𝐝𝐯 = 𝐮𝐯 − 𝐯𝐝𝐮 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝒙𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝒙²𝟐

𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙² 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒙². 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙

Embora isso seja verdadeiro, 𝒙²𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 é uma integral muito mais difícil que aquela obtida anteriormente. Em geral, ao decidir sobre uma escolha para u e dv, geralmente tentamos escolher u = f(x) como uma função que se torna mais simples quando derivada, de maneira que dv = g’(x)dx possa ser prontamente integrada para dado v.^14

Exemplo 02

Encontre 𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒙

𝐮𝐝𝐯 = 𝐮𝐯 − 𝐯𝐝𝐮

Exemplo 02 Encontre 𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒙

𝐮𝐝𝐯 = 𝐮𝐯 − 𝐯𝐝𝐮 𝒖 = 𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒖 = 𝟏 𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 𝒗 = 𝒙

𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒙𝒍𝒏𝒙 − 𝒙.

𝟏 𝒙

𝒅𝒙

= 𝒙𝒍𝒏𝒙 − 𝒅𝒙 17 =^ 𝒙𝒍𝒏𝒙^ −^ 𝒙^ +^ 𝑪

Exemplo 03

Encontre 𝒕²𝒆𝒕^ 𝒅𝒕

u = t² du = 2tdt

dv = 𝒆𝒕𝒅𝒕 𝒗 = 𝒆𝒕^19

Exemplo 03 Encontre 𝒕²𝒆𝒕^ 𝒅𝒕 𝐮𝐝𝐯 = 𝐮𝐯 − 𝐯𝐝𝐮 u = t² du = 2tdt dv = 𝒆𝒕𝒅𝒕 𝒗 = 𝒆𝒕 𝐭²𝐞𝐭𝐝𝐭 = 𝐭²𝐞𝐭^ − 𝟐 𝐭𝐞𝐭𝐝𝐭

(equação 1)