Baixe Solução de Problemas de Equações Diferenciais de Primeira Ordem e outras Provas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
PROVA 1 EDO
QUÕMICA
Quest„o 1 Dado o problema de valor inicial
x
p 1 + y^2 dx = y
p 1 + x^2 dy (1)
com
y (0) = 1 (2)
podemos reescrever o problema como
y
p 1 + x^2
dy dx
= x
p 1 + y^2 (3)
essa equaÁ„o È do tipo separ·vel, pois È possÌvel isolar de cada lado da equaÁ„o
as vari·veis dependentes e independentes, temos assim
p 1 + x^2 x
dy dx
p 1 + y^2 y
integrando a equaÁ„o em relaÁ„o a vari·vel x temos
Z y p 1 + y^2
y^0 (x) dx =
Z
x p 1 + x^2
dx
uma vez que
y^0 (x) dx = dy (5)
temos (^) Z y p 1 + y^2
dy
| {z } I
Z
x p 1 + x^2
dx | {z } J
perceba que obtivemos duas integrais idÍnticas a serem resolvidas, o que nos
leva ao problema de resolver apenas I, com
I =
Z
y p 1 + y^2
dy (7)
se
1 + y^2 = u! 2 ydy = du! ydy =
du
2
logo
I =
Z
p u
dy =
Z
u ^
1 (^2) dy =
u ^
1 2 +
12 + 1
p u (9)
retornando a variavel y temos
I =
p 1 + y^2 + C 1 (10)
imediatamente temos o resultado para a integral J com
J =
p 1 + x^2 + C 2 (11)
substituindo esses resultados em nossa euqaÁ„o (6) temos
p 1 + y^2 =
p 1 + x^2 + C 3 (12)
È importante citar que C 3 incorporou as constantes das duas integrais. elevando
a equaÁ„o ao quadrado temos
p 1 + y^2
p 1 + x^2 + C 3
1 + y^2 = C 32 + 2C 3
p x^2 + 1 + x^2 + 1 (14)
y
2 (x) = C
2 3 + 2C^3
p x^2 + 1 + x
2 (15)
y (x) =
q C 32 + 2C 3
p x^2 + 1 + x^2 (16)
esta È a soluÁ„o geral da nossa equaÁ„o diferencial. Aplicando a condiÁ„o inicial
temos
y (x = 0) = 1 =
q C 32 + 2C 3 (17)
C 32 + 2C 3 = 1 (18)
que tem soluÁ„o
C 3 = 1
p 2 (19)
por Öm temos a soluÁ„o do problema de Cauchy dado por
y (x) =
r
1
p 2
p 2
p x^2 + 1 + x^2 (20)
ao substituir x = 0 sÛ recuperamos o valor inicial quando consideramos a soluÁ„o
geral
y (x) =
q C 32 + 2C 3
p x^2 + 1 + x^2 (21)
portanto chegamos a conclus„o que a soluÁ„o Önal do problema de cauchy È
y (x) =
r 1
p 2
p 2
p x^2 + 1 + x^2 (22)
Quest„o 2 a) Dada a equaÁ„o xy^0 (x) 2 y = x^5 (23)
escrevendo sobre a forma
y^0 (x)
2 y
x
= x^4 (24)
escrevendo sobre a forma
2 Kx
2 y
2 x sin (y)
(^) dy
dx
3
deÖnimos nesse momento as funÁıes M (x; y) e N (x; y), tal que
M (x; y)
dy dx
nossa equaÁ„o ser· exata, se e somente se for v·lida a equaÁ„o
@M (x; y) @x
@N (x; y) @y
como
M (x; y) = 2 Kx^2 y^2 x sin (y) (40)
N (x; y) = 6 xy
3
tomemos as derivadas
@M (x; y)
@x
@x
2 Kx^2 y^2 x sin (y)
= 4Kxy^2 sin y (42)
e @N (x; y) @y
@y
6 xy^3 + cos (y)
= 18xy^2 sin y (43)
utilizando nossa condiÁ„o de equaÁ„o exata temos
4 Kxy
2 sin y = 18xy
2 sin y (44)
4 K = 18 (45)
K =
b) A soluÁ„o geral F (x; y) = Cte (47)
da equaÁ„o diferencial @F @y
dy +
@F
@x
dx = 0 (48)
com @F
@y
= M (x; y) (49)
e @F
@x
= N (x; y) (50)
pode ser obtida, integrando a Eq.(49) em relaÁ„o a y obtendo
Z @F
@y
dy =
Z
M (x; y) dy (51)
perceba que as integrais s„o sobre a vari·vel y, deste modo È natural que dela
saia uma "costante" que na verdade È uma funÁ„o que depender· apenas de x.
Temos assim
F (x; y) =
Z
9 x^2 y^2 x sin (y)
dy + C (x) (52)
F (x; y) = 3x^2 y^3 + x cos y + C 1 (x) (53)
agora integramos a equaÁ„o (50) em relaÁ„o a x o que resulta em
Z @F
@x
dx =
Z
N (x; y) dx (54)
F (x; y) =
Z
6 xy^3 + cos (y)
dx + C^0 (y) (55)
F (x; y) = 3x^2 y^3 + x cos y + C 2 (y) (56)
como F (x; y) = (57)
com sendo uma constante, temos
= 3x^2 y^3 + x cos y + C 2 (y) (58)
= 3x^2 y^3 + x cos y + C 1 (x) (59)
esse conjunto de equaÁıes nos leva a conclus„o de que
C 2 (y) = C 1 (x) (60)
isso sÛ È possÌvel se ambas forem constantes. Sendo assim
C 2 (y) = C 1 (x) = k (61)
por Öm a soluÁ„o geral da nossa equaÁ„o diferencial ser·
F (x; y) = 3x^2 y^3 + x cos y + k
onde k È uma constante arbitr·ria a ser determianada pelas condiÁıes iniciais
do problema.
Quest„o 4 Dada a equaÁ„o diferencial 2 xy e
2 y ^ dy + ydx = 0 (62)
escrevendo-a como 2 xy e ^2 y^
(^) dy
dx
identiÖcamos
M (x; y) = 2 xy e ^2 y^ (64)
N (x; y) = y (65)
integrando a Eq.(78) em relaÁ„o a y obtendo
Z @F
@y
dy =
Z
M 0 (x; y) dy (80)
perceba que as integrais s„o sobre a vari·vel y, deste modo È natural que dela
saia uma "costante" que na verdade È uma funÁ„o que depender· apenas de x.
Temos assim
F (x; y) =
Z
2 xe^2 y^ y ^1
dy + C (x) (81)
F (x; y) = xe^2 y^ ln y + C 1 (x) (82)
agora integramos a equaÁ„o (79) em relaÁ„o a x o que resulta em
Z @F
@x
dx =
Z
N 0 (x; y) dx (83)
F (x; y) =
Z
e^2 y^ dx + C^0 (y) (84)
F (x; y) = xe^2 y^ + C 2 (y) (85)
como
F (x; y) = k
xe^2 y^ ln y + C 1 (x) = xe^2 y^ + C 2 (y)
ln y + C 1 (x) = C 2 (y)
para que a igualdade seja verdadeira, concluimos que C 1 (x) = 0 e
C 2 (y) = ln y
F (x; y) = xe^2 y^ ln y
que por Öm leva a
xe^2 y^ ln y = k
Quest„o 5 Dada a equaÁ„o dy
dx
y +
p x^2 + y^2
x
escrevemos na forma
xdy
y +
p x^2 + y^2
dx = 0
identiÖcamos
P (x; y) = x
Q (x; y) =
y +
p x^2 + y^2
uma funÁ„o È homogenea se
P (x; y) = P (x; y)
temos assim
P (x; y) = x = P
Q (x; y) =
y +
q (x)
2
2
y +
p x^2 + ^2
= Q (x; y)
se P e Q s„o homogeneas de primeira ordem, ent„o a equaÁ„o diferencial È
homogenea.
