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Licenciatura em Matemática – Osasco -
Área sob Uma Curva como limite de uma Somatória
O cálculo integral está estreitamente relacionado com as áreas de certas regiões do plano coordenado. Podemos calcular facilmente a área de uma região delimitada por retas, como retângulos e triângulos.
Para calcular áreas de regiões cujas fronteiras envolvam gráficos, entretanto, devemos utilizar um processo de limite e métodos de cálculo. Em particular, consideremos uma região R em um plano coordenado, delimitada por duas retas verticais 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏 e pelo gráfico de uma função f contínua, que é positiva em todo intervalo [𝑎, 𝑏].
fig.
Podemos aproximar a área de R formando retângulos inscritos ou circunscritos. A somatória das áreas de cada retângulo pode ser então usada como uma aproximação para a área desejada.
A altura de cada retângulo é o valor da função 𝑓(𝑥) para algum ponto 𝑥𝑖 ao longo da base do retângulo. Escolhemos 𝛥𝑥 para a base ou a espessura de cada retângulo. A área será, então, aproximadamente igual à somatória
8
𝑖=
quando usamos n retângulos com base Δ x e 𝑥𝑖 como um ponto ao longo da base do i-ésimo retângulo escolhido. A base Δ x de cada retângulo terá
comprimento igual a Δ𝑥 =
𝑏−𝑎 𝑛.
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Exemplo 1
Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥 ² e R a região sob o gráfico de 𝑓 de 0 até 2. Podemos obter uma aproximação para a área de R , usando um polígono formado por 8 retângulos inscritos. Então, a base se cada retângulo terá comprimento
𝛥𝑥 = 1 4 :
Neste caso, calculamos:
8
𝑖=
, onde 𝑥𝑖 é o valor de 𝑥 no extremo esquerdo do i-ésimo intervalo. Temos
𝐴 ≅ , como
sendo uma aproximação (por falta) da área sob a curva de 𝑓, no intervalo [0,2].
Podemos, também, obter uma aproximação da área de R, usando um
polígono formado por retângulos circunscritos , de base 𝛥𝑥 = 1
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𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖= 1
Exemplo: Se 𝑥𝑖 = 𝑖^2 e 𝑦𝑖 = 𝑖
4
𝑖=
4
𝑖=
4
𝑖=
= 𝑖^2
4
𝑖=
4
𝑖=
= 12 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 1 + 2 + 3 + 4 = 30 + 10 = 40
Fórmulas Fundamentais de Somatórios
𝑛
𝑖=
𝑖^2
𝑛
𝑖=
= 1^2 + 2^2 + 3^2 + ⋯ + 𝑛^2 =
𝑖^3
𝑛
𝑖=
= 1^3 + 2^3 + 3^3 + ⋯ + 𝑛^3 =
2
O segundo membro de cada uma das identidades acima é chamado de “forma fechada” do somatório.
Exemplos de aplicação das fórmulas de Somatórios
a) Calcular (^30) 𝑖=1 𝑖(𝑖 + 1)
30
𝑖= 1
𝑖 + 1 = 𝑖^2 + 𝑖
30
𝑖= 1
= 𝑖^2
30
𝑖= 1
30
𝑖= 1
b) Expresse 𝑛𝑖=1 3 + 𝑖 2 , eliminando o sinal de somatório (na forma fechada)
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𝑛
𝑖= 1
= 9 + 6 𝑖 + 𝑖^2 =
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖= 1
+ 𝑖^2 =
𝑛
𝑖= 1
= 9 𝑛 + 3 𝑛^2 + 3 𝑛 +
2 𝑛^2 + 2 𝑛^3 + 𝑛
72 𝑛 + 18 𝑛^2 + 3 𝑛^2 + 2 𝑛^3 + 𝑛
73 𝑛 + 21 𝑛^2 + 2 𝑛^3
Calculando a área sob o gráfico de funções sob curvas como o limite de somatórios
Vimos que, se temos o gráfico de uma função que é positiva num intervalo [a,b], a área sob o gráfico será dada por,
𝐴 = lim 𝑛→ ∞
𝑛
𝑖=
Onde ∆𝑥 = 𝑏−𝑎 𝑛 , e^ 𝑥𝑖^ é qualquer valor de^ 𝑥^ pertencente ao i-ésimo intervalo.
Particularmente, podemos escolher nosso 𝑥𝑖 como sendo o extremo direito de cada i-ésimo e teremos 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥
Vamos recalcular a área sob a curva da função 𝑓 𝑥 = 𝑥^2 no intervalo [0,2], usando a definição com limite e somatório.
Temos que ∆𝑥 =
𝑏−𝑎 𝑛 =^
2 𝑛
Vamos escolher nosso 𝑥𝑖 como sendo o extremo direito de cada iésimo
intervalo. Então 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 = 2 𝑖 𝑛
Então a área será dada por
𝐴 = lim 𝑛→ ∞
𝑛
𝑖=
= lim 𝑛 → ∞
2 .
𝑛
𝑖=
lim 𝑛→ ∞
𝑛^3
8 𝑖^2 =
𝑛
𝑖=
lim 𝑛→ ∞
𝑛^3
𝑖^2 =
𝑛
𝑖=
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lim 𝑛→ ∞
27 𝑖^2
𝑛^3
𝑛
𝑖=
𝑛
𝑖=
= lim 𝑛→ ∞
𝑛^3
𝑖^2
𝑛
𝑖=
− 27 = lim 𝑛 → ∞
𝑛^3
lim 𝑛→ ∞
𝑛^3
2 𝑛^3 + 3𝑛^2 + 𝑛
− 27 = lim 𝑛→ ∞
2 𝑛^2
Neste caso como f(x) é sempre negativa no intervalo [0,3], á área será dada por
𝐴 = −lim 𝑛→ ∞
𝑛
𝑖=
