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- Fun¸c˜ao afim e quadr´atica
(1) Esboce o gr´afico das seguintes fun¸c˜oes reais: (a) f (x) = 2x (b) f (x) = 1 (c) f (x) = − 2 x + 3 (d) f (x) = 3 x 2 +
(2) Esboce o gr´afico das seguintes fun¸c˜oes reais: (a) f (x) = x^2 − 3 x + 2 (b) f (x) = −x^2 + 7x − 12 (c) f (x) = 2x^2 − 4 x (d) f (x) = − 5 x^2
(3) Determine os valores reais de m para que a fun¸c˜ao
f (x) = mx^2 + (2m − 1)x + (m − 2)
possua dois zeros reais distintos.
(4) Determine, caso existam, o valor m´aximo e o valor m´ınimo das fun¸c˜oes reais abaixo (a) f (x) = 2x^2 + 5x (b) f (x) = − 3 x^2 + 12x (c) f (x) = 4x^2 − 8 x + 4
(5) Dentre todos os n´umeros reais de soma 8 determine aqueles cujo produto ´e m´aximo.
(6) Determine o valor real de m para que a fun¸c˜ao
f (x) = − 3 x^2 + 2(m − 1)x + (m + 1)
tenha valor m´aximo igual a 2.
(7) Resolva as seguintes inequa¸c˜oes em R (a) x^2 − 2 x + 2 > 0 (b) x^2 − 2 x + 1 ≤ 0 (c) (x^2 − x − 2)(−x^2 + 4x − 3) > 0
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- Fun¸c˜oes trigonom´etricas
(1) Esboce o gr´afico das seguintes fun¸c˜oes definidas em R (a) f (x) = −2sen(x) (b) f (x) = sen(x) + 1 (c) f (x) = sen(2x) (d) f (x) = sen(x − π 4 ) (e) f (x) = −cos(x) (f) f (x) = cos(2x)
(2) Esboce o gr´afico das seguintes fun¸c˜oes (a) f (x) = tg(x) com x ∈] − π 2 , π 2 [ (b) f (x) = tg(2x) com x ∈] − π 4 , π 4 [ (c) f (x) = tg(3x) + 1 com x ∈] − π 6 , π 6 [
(3) Verifique a validade das seguintes rela¸c˜oes trigonom´etricas para todo x ∈ R (a) sen(2x) = 2 sen(x) cos(x) (b) cos(2x) = cos^2 (x) − sen^2 (x) (c) cos^2 (x) = 1+cos(2 2 x) (d) cos(3x) = 4 cos^3 (x) − 3 cos(x) (e) sen(3x) = 3 sen(x) − 4 sen^3 (x)
(4) Considere a fun¸c˜ao trigonom´etrica y = f (x) = cos(x − π 4 ) esbo¸cada abaixo
Determine: (a) Todos os pontos x ∈ R tais que f (x) = − 1 (b) Todos os pontos x ∈ R tais que f (x) = 0 (c) Todos os pontos x ∈ R tais que f (x) = 1
(5) Verifique que vale a seguinte igualdade para todo x ∈ R − {kπ; k ∈ Z}
(1 + cotg^2 (x))(1 − cos^2 (x)) = 1
- Limites e derivadas de fun¸c˜oes elementares
(1) Calcule, caso existam, os seguintes limites
(a) lim x→ 1 sen(3x
(^2) − 5 x + 2) x^2 + x − 2 (b) (^) xlim→ 0 + x^ sen( (^3) −x x) 2
(c) lim x→ 0 (sen(x))
(^3) sen(1/x) x^2 (d) lim x→ 0
x^4 + x^2 x (e) (^) xlim→ 2 −^ x
(^2) − 2 x x^2 − 4 x + 4 (f) (^) x→lim+∞^ √^ x x + 1 (g) (^) x→lim+∞^3
x + 1 − 3
x
(h) (^) x→lim+∞^ x x^ −+ sen(^ sen(xx)) (i) (^) x→lim+∞
x^2 + 1 −
x^4 + 1
(2) Calcule, caso existam, os seguintes limites
(a) (^) x→lim+∞ x −^1
(b) (^) x→lim+∞ x^12
(c) (^) xlim→ 1 + x −^1
(d) (^) x→lim+∞
x +
x −
x
(e) lim x→ 0 |x x|
(3) Derive as seguintes fun¸c˜oes nos pontos indicados (a) f (x) = x^2 + 1 em a = 2 (b) f (x) = x^3 + cos(x) em a = π (c) f (x) = x cos(x) em a = 0 (d) f (x) = sen(x) cos(x)
para todo x ∈] − π/ 2 , π/2[
(e) f (x) = x^ cos(x) +^ x
3 1 + x^2 + x^4 para todo^ x^ ∈^ R (f) f (x) = sen(x) +1 +^ xx^ cos( 2 x) para todo x ∈ R (g) f (x) = x^3 − 2 x^2 + x + 2 para todo x ∈ R (h) f (x) = x
(^2) − x 1 + 3x^2
para todo x ∈ R
(i) f (x) = x
2 x^2 − 1 para todo^ x^ ∈^ R^ − {±^1 } (j) f (x) = x + (^) x^1 para todo x ∈ R − { 0 }
- Reta tangente e derivada de fun¸c˜ao composta
(1) Considere a seguinte fun¸c˜ao f : R −→ R dada por
f (x) = 3
x^3 − x^2 sen( 3
x)
Determine: (a) f ′(x) para todo x ∈ R − { 0 , 1 } (b) f ′(0) Existe f ′(1)?
(2) Seja f (x) =^3 xx −+ 1 1 definida em R − { 1 }. Determine todas as retas tangentes ao
gr´afico de f que passam pelo ponto (0, 0).
(3) Calcule a derivada das seguintes fun¸c˜oes definidas em R
(a) f (x) =
1 + cos(x^2 ) (b) f (x) = x^ cos(x
2 + x^2 + cos(x^3 ) (c) f (x) = x sen(x^12 − x^13 ) (d) f (x) = 1 x^2 + 1 (e) f (x) = x^ cos(x
1 + (cos(x))^2 (f) f (x) = (^) (cos(x (^31) )) (^2) + 1
(g) f (x) = (^) x 4 cos(+ x 2 x )+ 2 (h) f (x) = cos(sen(x^3 )) (i) f (x) = (sen(x^2 ))^10 (j) f (x) = (cos(sen(x^3 )))^4 (k) f (x) = (^) cos(x (^2) +^1 x (^3) ) + 3
(4) Determine, caso exista, a derivada em x = 0 da seguinte fun¸c˜ao
f (x) =
x^2 sen( (^1) x ) x 6 = 0
0 x = 0
Determine ainda a derivada de f nos pontos x 6 = 0.
(5) Calcule, caso exista, o seguinte limite
xlim→ 0
tan((3 + x)^2 ) − tan(9) x
- Integral indefinida
(1) Calcule as seguintes integrais indefinidas usando f´ormula trigonom´etrica
(a)
cos^2 (x)dx
(b)
sen^2 (x)dx
(c)
tan^2 (x)dx
(d)
sen(7x) cos(9x)dx
(e)
sen(10x)sen(6x)dx
(f)
cos(17x) cos(9x)dx
(2) Calcule as seguintes integrais indefinidas usando substitui¸c˜ao
(a)
e^7 xdx
(b)
cos(11x)dx
(c)
tan(x)dx
(d)
x
1 − x^2 dx
(e)
(3x + 7)^101 dx
(f)
10 x + 45dx (g)
√x^2 1 + x^3
dx
(h)
sen^3 (x)dx
(i)
cos^3 (x)dx
(j)
sec(x)dx
(k)
sen^3 (x) cos(x)dx
(l)
∫ (^) x 1 + x^4
dx
(m)
∫ (^) x √ 1 − x^4
dx
(n)
∫ (^) ln(x) x dx (o)
∫ (^) x 3 x + 1dx (p)
x(x + 3)^10 dx
(3) Calcule as seguintes integrais indefinidas usando integra¸c˜ao por partes
(a)
x cos(x)dx
(b)
x^2 cos(x)dx
(c)
xsen(x)dx
(d)
ln(x)dx
(e)
(ln(x))^2 dx
(f)
ex^ cos(x)dx
(g)
exsen(x)dx
(h)
arctan(x)dx
(i)
arccos(x)dx
(j)
arcsen(x)dx
(k)
sec^3 (x)dx
(l)
sen^4 (x)dx
(m)
cos^4 (x)dx
(4) Calcule as seguintes integrais indefinidas usando substitui¸c˜ao trigonom´etrica
(a)
1 − x^2 dx
(b)
5 − 4 x^2 dx
(c)
1 + x^2 dx
(d)
4 + 3x^2 dx
(e)
2 x − x^2 dx
(f)
−x^2 + 4x − 3 dx
(5) Calcule as seguintes integrais indefinidas usando fra¸c˜oes parciais
(a)
∫ (^) x + 3 x^2 − 3 x + 2dx (b)
x^2 − 4
dx
(c)
∫ (^) x x^2 − 5 x + 6dx
(9) (Tratriz) Determine uma fun¸c˜ao cont´ınua f : [0, +∞[−→ R, deriv´avel em ]0, +∞[ e que possui a seguinte propriedade: em qualquer ponto x ∈ [0, +∞[, a distˆancia entre (x, f (x)) e o ponto de encontro entre a reta tangente ao gr´afico de f (no ponto x) e o eixo das abscissas seja constante igual a a.
(10) Num certo instante t 0 , a altura de um triˆangulo cresce a raz˜ao de 1cm/min e sua ´area aumentaa raz˜ao de de 2cm^2 /min. Sabendo que, no instante t 0 , a altura ´e 10 cm e sua ´area ´e 100cm^2 , qual a taxa de variac˜ao da base do triˆangulo?
(11) Resolva a equa¸c˜ao diferencial y′^ = − 4 xy^2. Esboce as solu¸c˜oes.
(12) E um fato da F´´ ısica que os elementos radioativos se desintegram espontaneamente num processo chamado decaimento radioativo. Os experimentos mostram que a taxa de desintegra¸c˜ao ´e diretamente proporcional `a quantidade de elemento presente. (a) Traduza esse fenˆomeno por uma equa¸c˜ao diferencial e a resolva; (b) Todo elemento radioativo tem uma meia-vida^1 espec´ıfica. Sabendo que a meia-vida do Carbono-14 ´e de 5730 anos, determine a sua equa¸c˜ao diferencial de decaimento; (c) Se 100 gramas de Carbono-14 forem armazenadas em uma caverna, quantas gramas ir˜ao restar ap´os 1000 anos? (d) Sabe-se que todas as plantas e animais vivos absorvem quantidades do ele- mento Carbono-14. Quando uma planta ou animal morre, o Carbono-14 pre- sente no tecido come¸ca a decair. Assim, a idade de um artefato que contenha material animal ou vegetal pode ser estimada observando qual a porcentagem que resta do seu conte´udo de Carbono-14 original. Uma an´alise das fibras que formam o Sud´ario de Turim^2 mostrou que ele continha 92% do Carbono- original. Use esse fato para determinar a idade do sud´ario.
(^1) Tempo requerido para a desintegra¸c˜ao de 50% do material inicial. (^2) Pe¸ca de linho que mostra a imagem de um homem que aparentemente sofreu traumatismos f´ısicos de
maneira consistente com a crucifica¸c˜ao.
(13) Popula¸c˜oes em geral crescem dentro de sistemas ecol´ogicos que podem s´omente suportar um certo n´umero L de indiv´ıduos (esse n´umero ´e chamado de capacidade de tolerˆancia). Se a popula¸c˜ao p(t) ´e tal que p(t) > L, ent˜ao a popula¸c˜ao tende a decrescer; se p(t) ´e tal que p(t) < L, ent˜ao a popula¸c˜ao tende a crescer; se p(t) ´e tal que p(t) = L, ent˜ao a popula¸c˜ao tende a permanecer est´avel. Al´em disso, se L for suficientemente grande, isto ´e se p(t)/L ≈ 0, ent˜ao a popula¸c˜ao deve ter um comportamento pr´oximo ao modelo Malthusiano (exerc´ıcio (4) desta se¸c˜ao). Verifique que a seguinte equa¸c˜ao diferencial (chamada equa¸c˜ao diferencial log´ıstica)
dp dt =^ k(1^ −^
p L)p
com constante k > 0, satisfaz a todos os quesitos alinhados acima. Encontre ainda a solu¸c˜ao geral dessa equa¸c˜ao diferencial com valor inicial p(0). Esboce algumas solu¸c˜oes para alguns valores de p(0).
(14) Determine a solu¸c˜ao geral e esboce algumas das solu¸c˜oes de yy′^ = −x.
(15) Determine a solu¸c˜ao geral de cada uma das equa¸c˜oes diferenciais abaixo usando a substitui¸c˜ao u = y/x (a) xy′^ = x + y (b) x^2 y′^ = x^2 − xy + y^2 (c) 2xyy′^ − y^2 + x^2 = 0 Esboce algumas solu¸c˜oes em cada caso.
(16) Determine a solu¸c˜ao geral de xy′^ = y + x^2 sec( yx).
(17) Resolva os seguintes problemas de valor inicial
(a) y′^ = yy^ −+ xx , y(1) = 1; (b) xy′^ = y + (y − x)^3 , y(1) = 3/2.
(18) Resolva as seguintes equa¸c˜oes diferenciais lineares de primeira ordem (a) y′^ − y = e^2 x (b) xy′^ + y + 4 = 0 (c) xy′^ + y = sen(x) (d) y′^ + y tan(x) = sen(2x) (e) y′^ = 1 (f) y′^ = −y
