Calculo Numerico, Notas de estudo de Engenharia Civil

Baixe Calculo Numerico e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!

Fundamentos de C´alculo

Num´erico para Engenheiros

R´egis S. De Quadros Alvaro L. De Bortoli´

Porto Alegre, dezembro de 2009.

”O entendimento da essˆencia pode estimular a imagina¸c˜ao”

Alvaro De Bortoli´

FBN 361.985; Direitos autorais: Prof. Quadros e Prof. De Bortoli

• 1 INTRODUC¸ ˜AO II
• 1.1 Fontes de erro
• 1.1.1 Propaga¸c˜ao de erros nas opera¸c˜oes aritm´eticas
• 1.2 Caracter´ısticas de um algoritmo num´erico de boa qualidade
• 1.3 Aritm´etica de ponto flutuante e sua representa¸c˜ao
• 1.4 Exerc´ıcios
• 2 LOCALIZAC¸ ˜AO DE ZEROS DE FUNC¸ ˜OES
• 2.1 Regras para determina¸c˜ao das ra´ızes de fun¸c˜oes
• 2.1.1 Exerc´ıcios
• 2.2 Processos Iterativos
• 2.2.1 M´etodos da bissec¸c˜ao e da posi¸c˜ao falsa
• 2.2.2 M´etodos de Newton-Raphson, Newton Vi´ete e das secantes
• 2.2.3 M´etodo da itera¸c˜ao linear
• 2.2.4 M´etodo de Bairstow
• 2.3 Aplica¸c˜oes
• 2.3.1 C´alculo dos juros de um financiamento
• 2.3.2 Estiramento de cabos suspensos
• 2.4 Exerc´ıcios
• 3 SOLUC¸ ˜AO DE SISTEMAS LINEARES E N ˜AO LINEARES
• 3.1 M´etodos diretos para sistemas lineares
• 3.1.1 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss
• 3.1.1.1 Invers˜ao de matrizes
• 3.1.2 Fatora¸c˜ao LU
• 3.2 M´etodos Iterativos para Sistemas Lineares
• 3.2.1 M´etodo de Jacobi: M´etodo dos deslocamentos simultˆaneos
• 3.2.2 M´etodo de Gauss-Seidel: M´etodo dos deslocamentos sucessivos
• 3.2.3 M´etodo das sobre/sub-relaxa¸c˜oes sucessivas - SOR/SUR
• 3.2.4 Convergˆencia de m´etodos iterativos
• 3.3 Sistema mal condicionado e condicionamento
• 3.4 Exerc´ıcios
• 3.5 Introdu¸c˜ao `a solu¸c˜ao de sistemas n˜ao-Lineares
• 3.5.1 Regra de Cramer
• 3.5.2 M´etodo de Newton
• 3.5.3 M´etodo das aproxima¸c˜oes sucessivas
• 3.6 Aplica¸c˜oes
• 3.6.1 Tens˜oes em um circuito el´etrico
• 3.6.2 Estequiometria de uma rea¸c˜ao qu´ımica
• 3.6.3 Press˜ao para aterrar corpos de prova
• 3.7 Exerc´ıcios
• 4 AUTOVALORES E AUTOVETORES
• 4.1 Obten¸c˜ao de autovalores/autovetores via determinantes
• 4.2 M´etodo da potˆencia
• 4.3 M´etodo de Jacobi
• 4.4 Aplica¸c˜oes: sistema massa-mola
• 4.5 Exerc´ıcios
• 5 AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLAC¸ ˜AO
• 5.1 M´etodo dos m´ınimos quadrados para dom´ınio discreto
• 5.1.1 Ajuste por um polinˆomio de grau p
• 5.1.2 Ajuste por fun¸c˜ao exponencial
• 5.1.3 Ajuste por uma fun¸c˜ao potˆencia
• 5.2 M´etodo dos m´ınimos quadrados para dom´ınio cont´ınuo
• 5.3 Aproxima¸c˜ao trigonom´etrica
• 5.3.1 Aproxima¸c˜ao trigonom´etrica para dom´ınio discreto:
• 5.3.2 Escolha de melhor fun¸c˜ao de ajuste
• 5.4 Interpola¸c˜ao
• 5.4.1 Interpola¸c˜ao polinomial
• 5.4.2 Polinˆomios ortogonais
• 5.4.3 Interpola¸c˜ao por spline c´ubico
• 5.5 Aplica¸c˜oes
• 5.5.1 Tens˜ao-deforma¸c˜ao de a¸co
• 5.6 Exerc´ıcios
• 6 DERIVAC¸ ˜AO E INTEGRAC¸ ˜AO NUM´ERICA
• 6.1 Deriva¸c˜ao num´erica
• 6.1.1 Exerc´ıcios sobre deriva¸c˜ao
• 6.2 Integra¸c˜ao num´erica
• 6.2.1 F´ormula dos trap´ezios
• 6.2.2 F´ormula de Simpson
• 6.2.3 Quadratura de Gauss
• 6.2.4 Integra¸c˜ao de fun¸c˜oes mal condicionadas
• 6.2.5 Exerc´ıcios sobre integra¸c˜ao
• 6.3 Aplica¸c˜oes: Avalia¸c˜ao da capacidade de armazenamento
• ORDIN ´ARIAS 7 SOLUC¸ ˜AO NUM´ERICA DE EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS
• 7.1 Introdu¸c˜ao
• 7.2 M´etodos de passo simples para solu¸c˜ao de um PVI
• 7.2.1 M´etodo de Euler
• 7.2.2 M´etodos de Runge-Kutta
• 7.2.3 Caracter´ısticas dos m´etodos de passo simples
• 7.3 M´etodos de passo m´ultiplo
• 7.3.1 M´etodos da fam´ılia Adams e de predi¸c˜ao corre¸c˜ao
• 7.4 Sistemas de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias
• 7.4.1 Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias de ordem superior
• 7.5 Estabilidade na obten¸c˜ao da solu¸c˜ao num´erica
• 7.5.1 Regi˜ao de estabilidade de alguns m´etodos
• 7.6 Aplica¸c˜oes
• 7.6.1 Sistema massa-mola
• 7.6.2 Vigas horizontais
• 7.6.3 Circuitos el´etricos simples
• 7.6.4 Trem de pouso de aeronaves leves
• 7.6.5 Modelo para controle de polui¸c˜ao
• 7.7 Exerc´ıcios
• PARCIAS 8 SOLUC¸ ˜AO NUM´ERICA DE EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS
• 8.1 Introdu¸c˜ao
• 8.2 Algumas EDPs importantes
• 8.2.1 Equa¸c˜ao de cordas vibrantes
• 8.2.2 Equa¸c˜ao da condu¸c˜ao de calor
• 8.2.3 Equa¸c˜oes de Laplace e Poisson
• 8.2.4 Vibra¸c˜oes transversais de uma viga (unidimensional)
• e da onda unidimensional 8.3 Escolha dos m´etodos de solu¸c˜ao para as equa¸c˜oes do calor
• 8.3.1 Equa¸c˜ao do calor unidimensional
• 8.3.2 Equa¸c˜ao da onda unidimensional
• EDP’s 8.4 Escolha de m´etodos de solu¸c˜oes segundo a classifica¸c˜ao das
• 8.4.1 Equa¸c˜oes Parab´olicas
• 8.4.2 Equa¸c˜oes Hiperb´olicas
• 8.4.3 Equa¸c˜oes El´ıpticas
• 8.5 M´etodo de Runge-Kutta simplificado
• 8.6 Consistˆencia, estabilidade e convergˆencia
• 8.7 Exerc´ıcios
• 8.8 Aplica¸c˜oes
• 8.8.1 Transferˆencia de calor em blocos homogˆeneos
• 8.8.2 Filtragem de ´aguas
• 8.8.3 Problemas em aerodinˆamica
• 9.1 Sistemas lineares unidimensionais 9 INTRODUC¸ AO AO M˜ ETODO DE ELEMENTOS FINITOS 232´
• triangulares e tetra´edricos 9.2 Fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao comuns para elementos lineares,
• 9.3 Aplica¸c˜ao `a equa¸c˜ao do calor unidimensional
• 9.4 Exerc´ıcios
• 10 ALGORITMOS IMPLEMENTADOS EM FORTRAN
• 10.1 Introdu¸c˜ao
• 10.2 FORTRAN (Formula Translation)
• 10.2.1 Vari´aveis, opera¸c˜oes aritm´eticas e fun¸c˜oes b´asicas
• 10.2.2 Comandos B´asicos
• 10.3 Exemplos de implementa¸c˜oes em FORTRAN
• 10.3.1 M´etodo de Newton-Raphson
• 10.3.2 Gauss-Seidel
• 10.3.3 Regress˜ao linear
• 10.3.4 Interpola¸c˜ao de Lagrange
• 10.3.5 M´etodo de Simpson
• 10.3.6 M´etodo de Runge-Kutta
• 10.3.7 M´etodo de Runge-Kutta 4 para sistemas
• 10.3.8 M´etodo de Diferen¸cas Finitas
• 10.3.8.1 Equa¸c˜ao do calor
• 10.3.8.2 Equa¸c˜ao da onda
• BIBLIOGRAFIA

1 INTRODUC¸ ˜AO

A maioria dos problemas da matem´atica ´e origin´aria da necessidade de re- solver situa¸c˜oes da natureza. Numa primeira etapa tem-se que obter um modelo matem´atico que representa de maneira conveniente um problema a ser anal- isado; obtido o modelo matem´atico procura-se encontrar a sua solu¸c˜ao. Modelo ´e uma reprodu¸c˜ao idealizada de algumas ou todas as caracter´ısticas f´ısicas de um processo natural; ´e um sistema que consegue reproduzir, pelo menos em parte, o comportamento de um processo natural; ´e uma repre- senta¸c˜ao de algum objeto ou sistema, com o objetivo de buscar respostas para diferentes situa¸c˜oes. Quando se quer resolver um problema em engenharia deve-se ter em mente o modelo que representa a situa¸c˜ao f´ısica. Tal modelo ´e transformado em equa¸c˜oes matem´aticas, modelo matem´atico, que ser´a resolvido ou por m´etodos anal´ıticos, ou por num´ericos. Como para a maioria das situa¸c˜oes n˜ao h´a solu¸c˜oes anal´ıticas, os m´etodos num´ericos tornam-se a alternativa mais eco- nˆomica; outra possibilidade seria a experimenta¸c˜ao em laborat´orio, que envolve normalmente equipamentos e t´ecnicas sofisticadas ou caras, ou at´e situa¸c˜oes de risco. A meta s´o ´e atingida quando tais etapas forem cuidadosamente rea- lizadas: as mesmas s˜ao indicadas na Fig. 1.1.

1.1 Fontes de erro

Dado um problema, para se chegar a um resultado num´erico ´e necess´ario realizar uma seq¨uˆencia pr´e-estabelecida de passos. Em cada um destes passos

Fund. de C´alculo Num´erico para Engenheiros 11

´e poss´ıvel calcular o valor num´erico de P (x) e us´a-lo como aproxima¸c˜ao de cos (x). O erro ´e definido por E = cos (x) − P (x). Em geral, como o valor da fun¸c˜ao n˜ao ´e conhecido, em An´alise Num´erica s˜ao pesquisados resultados que permitam estimar o valor de um determinado n´umero e tal que | cos (x) − P (x) | ≤ e. Erros tamb´em podem surgir pelo fato que as opera¸c˜oes aritm´eticas quase nunca podem ser efetuadas com precis˜ao completa; estes s˜ao denominados de erros de arredondamento. A maioria dos n´umeros tˆem representa¸c˜oes decimais infinitas que devem ser arredondadas. Mesmo se os dados de um problema podem ser expressos exatamente por representa¸c˜oes decimais finitas, a divis˜ao pode introduzir n´umeros que devem ser arredondados e a multiplica¸c˜ao pode produzir mais d´ıgitos do que podem ser razoavelmente mantidos. Os tipos de arredondamento mais utilizados s˜ao:

• tipo corte: as casas em excesso s˜ao simplesmente abandonadas;
• para o n´umero de m´aquina mais pr´oximo: se a m´aquina trabalha com d algarismos significativos para a mantissa^1 de um n´umero, ent˜ao analisa-se o algarismo de ordem d + 1. Se este for maior ou igual a 5, soma-se uma unidade ao algarismo de ordem d; caso contr´ario, o algarismo de ordem d permanece inalterado.

Exemplo 1. 2 : A solu¸c˜ao exata da soma S =^23 +^23 +^23 ´e S = 2, (^1) Mantissa ´e a parte dos n´umeros que representa seus d´ıgitos significativos.

12 Cap´ıtulo 1 - Introdu¸c˜ao

mas a solu¸c˜ao calculada, numa m´aquina que opere com trˆes d´ıgitos de precis˜ao, ´e

S = 0, 666 + 0, 666 + 0, 666 = 1, 999.

Neste caso, verifica-se que o erro de arredondamento ´e igual a 2 − 1 , 999 = 0, 001. Entretanto, tomando como exemplo x = 0, 6666... , os dois arredondamentos n˜ao produzem o mesmo resultado. Se a m´aquina em que se est´a trabalhando opera com 2 algarismos significativos, ent˜ao ¯x = 0, 66 × 100 , por corte, ou ¯x = 0, 67 × 100 , por arredondamento para o n´umero mais pr´oximo.

A diferen¸ca entre o valor arredondado e o valor exato pode ser medida pelo erro absoluto ou pelo relativo. O erro absoluto, indicado por EA, ´e dado por:

EA = | ¯x − x |

e o erro relativo, indicado por ER, ´e

ER = |^ x¯ |^ − ¯x |x | ou ER = |^ ¯x |^ −x |x^ |

sendo esta uma medida mais significativa que a do erro absoluto. E mais´ significativo dizer que o erro relativo ´e pequeno ou grande comparado com o valor 1, pois quando ER = 1 significa que o erro absoluto ´e da mesma ordem que o n´umero que est´a sendo aproximado. Existem alguns procedimentos inexatos que podem levar a situa¸c˜oes de erro, como a soma de grandezas bastante desproporcionadas e a subtra¸c˜ao de grande- zas muito pr´oximas em condi¸c˜oes de precis˜ao limitada (precis˜ao definida n).

14 Cap´ıtulo 1 - Introdu¸c˜ao

precis˜ao da m´aquina e do m´etodo utilizado para obten¸c˜ao deste resultado.

Exemplo 1 .4: Considere o n´umero irracional π = 3, 14159265.... Assim:

• 3, 1415926 ´e mais preciso e mais exato do que 3, 14159;
• 3, 1415929 ´e mais preciso e menos exato do que 3, 14159; Al´em da existˆencia de erros, existem outros problemas que devem ser leva- dos em conta ao se resolver uma situa¸c˜ao numericamente. Eles podem ser analisados do ponto de vista da instabilidade. Para a maioria das situa¸c˜oes n˜ao importa o procedimento utilizado, o re- sultado ´e sempre o mesmo. Entretanto, em outros casos, diferentes modos de solu¸c˜ao podem conduzir a diferentes resultados. Isto caracteriza um tipo de instabilidade, que pode ser entendida como uma sensibilidade a perturba¸c˜oes e pode ocorrer tanto no problema em si como no algoritmo, isto ´e, na maneira de resolver o problema.

Exemplo 1. 5 : Considere o problema da determina¸c˜ao das ra´ızes da equa¸c˜ao a x^2 + b x + c = 0. Da ´algebra, sabe-se que as ra´ızes s˜ao fornecidas pela f´ormula (Bhaskara) x 1 = −b^ +^

√b (^2) − 4 ac 2 a e^ x^2 =^

−b − √b^2 − 4 ac 2 a. Se 4ac for muito menor que b^2 existe a possibilidade de acontecer a subtra¸c˜ao de grandezas muito pr´oximas. Para o procedimento ser mais preciso, usa-se o algoritmo:

Fund. de C´alculo Num´erico para Engenheiros 15

1. Se b > 0 ent˜ao x 1 = −b^ −^

√b (^2) − 4 ac 2 a e^ x^2 =^

c a x 1 ;

2. Se b < 0 ent˜ao x 1 = −b^ +^

√b (^2) − 4 ac 2 a e^ x^2 =^

c a x 1. Este processo impede que se fa¸ca uma segunda subtra¸c˜ao na f´ormula al´em daquela que ocorre inevitavelmente no radical.

Exemplo 1. 6 : A fun¸c˜ao e−x^ em termos da s´erie de Taylor ´e escrita conforme: e−x^ = 1 − (^) 1! x+ x

2 2! −^

x^3 3! +^

x^4 4! −^ ... Assim, considerando at´e 4 d´ıgitos ap´os a v´ırgula resulta e−^7 = 1 − 7 + 24, 5 − 57 , 1667 + ... + 163, 4013 − ... = − 4 , 1482 com 25 termos

Comparando esta solu¸c˜ao com a exata, e−^7 = 0, 0009119, verifica-se haver uma grande diferen¸ca nos resultados. Isto ocorre pois parcelas inferiores a 10 −^4 foram desconsideradas e o problema ´e constitu´ıdo de in´umeras grandezas desta ordem. Portanto, as causas deste erro s˜ao:

1. adi¸c˜ao de grandezas de ordens diferentes;
2. subtra¸c˜ao de grandezas muito pr´oximas.

1.1.1 Propaga¸c˜ao de erros nas opera¸c˜oes aritm´eticas Se a dois n´umeros, exatos ou n˜ao, forem realizados opera¸c˜oes aritm´eticas, podem surgir erros de arredondamento devido `a essas opera¸c˜oes, que corres- pondem aos:

Fund. de C´alculo Num´erico para Engenheiros 17

1.2 Caracter´ısticas de um algoritmo num´erico de boa

qualidade

Um algoritmo num´erico, uma seq¨uˆencia de passos que visam atingir um ob- jetivo, de boa qualidade deve ter as seguintes caracter´ısticas:

• Inexist^encia de erro l´ogico: o procedimento n˜ao dever´a conter erros;
• Inexist^encia de erro operacional: N˜ao devem surgir erros de ”under- flow” ou ”overflow”;
• Quantidade finita de c´alculos: o algoritmo deve terminar ap´os um n´u- mero finito de itera¸c˜oes;
• Exist^encia de um crit´erio de exatid~ao: deve se enquadrar a um crit´e- rio previamente fornecido e aceit´avel;
• Independ^encia de m´aquina: de preferˆencia o programa dever ser indepen- dente da m´aquina utilizada para resolvˆe-lo;
• Precis~ao infinita: os limites do erro devem convergir a zero;
• Efici^encia: obter respostas corretas do problema no menor custo poss´ıvel.

Overflow ocorre quando a opera¸c˜ao aritm´etica resultou em um n´umero que em m´odulo ´e maior que o maior n´umero represent´avel do computador. Under- flow a seq¨uˆencia de c´alculos resultou em um n´umero que em m´odulo ´e inferior ao menor n´umero diferente de zero represent´avel da m´aquina. Para uma melhor compreens˜ao das causas do erro de arredondamento se faz necess´ario conhecer como os n´umeros s˜ao armazenados em um computador.

18 Cap´ıtulo 1 - Introdu¸c˜ao

1.3 Aritm´etica de ponto flutuante e sua representa¸c˜ao

As leis que regem as opera¸c˜oes aritm´eticas, quando executadas em um com- putador, n˜ao obedecem `a mesma estrutura dos n´umeros reais. Isso acontece porque uma m´aquina digital tem recursos finitos.

Exemplo 1. 7 : Considere os n´umeros x 1 = 0, 3491 × 104 e x 2 = 0, 2345 × 100. Suponha que as opera¸c˜oes sejam realizadas em uma m´aquina com precis˜ao de quatro d´ıgitos significativos. Observe que: (x 2 + x 1 ) − x 1 = (0, 2345 × 100 + 0, 2394 × 104 ) − 0 , 2394 × 104 = 0, 000 mas, por outro lado, x 2 + (x 1 − x 1 ) = 0 , 2345 × 100 + (0, 2394 × 104 − 0 , 2394 × 104 ) = 0. 2345 × 100.

O exemplo mostra que as opera¸c˜oes executadas em uma m´aquina digital n˜ao s´o est˜ao sujeitas a erros, mas podem inclusive gerar erros. A representa¸c˜ao usual dos n´umeros ´e feita usando um sistema na base 10, isto ´e, um sistema decimal. 327,302 = 3 ∗ 102 + 2 ∗ 101 + 7 ∗ 100 + 3 ∗ 10 −^1 + 0 ∗ 10 −^2 + 2 ∗ 10 −^3. As convers˜oes de bases, funcionam da seguinte forma:

• Da base decimal para a bin´aria: Usa-se o processo do resto da divis˜ao suces- siva por 2, conforme (346) 10 = (101011010) 2 = 0. 20 + 1. 21 + 0. 22 + 1. 23 + 1. 24 + 0. 25 + 1. 26 + 0. 27 + 1. 28