Cálculo Numérico, Notas de estudo de Matemática

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CÁLCULO NUMÉRICO

O que é Cálculo Numérico?

 (^) Cálculo Numérico: O Cálculo Numérico tem por objetivo estudar esquemas numéricos (algoritmos numéricos)para resolução de problemas que podem ser representados por um modelo matemático. Um esquema é eficiente quando este apresenta soluções dentro de uma precisão desejada com custo computacional (tempo de execução + memória) baixo. Os esquemas numéricos nos fornecem aproximações para o que seria a solução exata do problema. Os erros cometidos nesta aproximação são decorrentes da discretização do problema, ou seja, passar do modelo matemático para o esquema numérico, e da forma como as máquinas representam os dados numéricos.

Um Exemplo

O Cálculo Numérico tem sua importância

centrada no fato de que, mesmo quando a

solução analítica é difícil de ser obtida as

técnicas numéricas podem der empregadas

sem maiores dificuldades. Por exemplo, uma

situação de equação

pode, sem grandes dificuldades, ser obtida por

meio do cálculo numérico, mesmo quando é

impossível encontrar uma solução da equação.

Problema numérico



O tipo de problema que é resolvido por meio

de cálculo numérico denomina-se problema

numérico. Considera-se tanto os dados (dados

de entrada) como os resultados (dados de

saída) para o problema são conjuntos

numéricos. Existe, assim, uma relação

funcional entre os dados de entrada, que são as

variáveis independentes e os parâmetros do

modelo matemático, e os dados de saída, que

são os resultados desejados.

Método Numérico

É um conjunto de procedimentos utilizados para transformar um modelo matemático num problema numérico ou um conjunto de procedimentos usados para resolver um problema numérico. A escolha do método mais eficiente para resolver um problema numérico deve envolver os aspectos:  Precisão desejada para o resultado;  Capacidade computacional em conduzir aos resultados desejados ( velocidade de convergência) e  Esforço computacional despendido (tempo de processamento, economia de memória necessária para a solução).

Algoritmo

É a descrição sequencial dos passos que

caracterizam um método numérico. O

algoritmo fornece uma descrição completa de

operações bem definidas por meio das quais o

conjunto de dados de entrada e transformando

em dados de saída. Por operações bem

definidas entendem-se as aritméticas e lógicas

que um computador pode realizar.

Iteração ou Aproximação Sucessiva

Num sentido amplo, iteração significa a repetição de um processo. Grande parte dos métodos numéricos é iterativa. Um método iterativo se caracteriza por envolver os seguintes elementos constitutivos:  (^) Tentativa inicial: consiste em uma primeira aproximação para a solução desejada do problema numérico.  (^) Equação de recorrência: equação por meio da qual, partindo-se da tentativa inicial, são realizadas a iterações ou as aproximações sucessivas para a solução desejada.  (^) Teste de parada: é o instrumento por meio do qual o procedimento iterativo é finalizado.

Aproximação Local

Outra ideia a que frequentemete se recorre no calculo numérico é a de aproximação local de uma função por outra, que seja de manuseio mais simples. Por exemplo, aproximar uma função não-linear por uma função linear num determinado intervalo de domínio das funções.

Conversão de Base: Aritmética de Ponto Flutuante Com o objetivo de fornecer uma ideia do que ocorre no processo de mudança de base de um número, apresenta-se a seguir, a conversão do sistema decimal para o binário e vice-versa, para depois abordar o sistema da aritmética do ponto flutuante que as máquinas utilizam para representar os números.

Dado o número x na base decimal, convertê-lo no seu equivalente na base binária Para proceder à conversão binária para a decimal, seja

. Nesse Caso, a conversão de x para o sistema decimal é realizada assim:

1. Expressa-se o número binário
2. Divide-se sucessivamente a parte inteira de x na base 10 por 2, até que o ultimo quociente seja igual a 1. Um Exemplo de base decimal para base binária

Erro de Truncamento

Surge cada vez mais que se substitui um procedimento matemático infinito por um processo finito ou discreto.Um exemplo de erro de truncamento é o da aproximação de uma função pela série de Taylor.

Um Exemplo

Propagação de Erro: Instabilidade Numérica

Se um resultado intermediário é contaminado

por um erro de arredondamento, este erro pode

influenciar todos os resultados subsequentes

que dependem deste valor, propagando, assim,

os erros de arredondamento.

Entretanto, os erros de arredondamento, podem,

em alguns casos, cancelar-se uns com os

outros parcialmente ou totalmente, resultando

em um erro desprezível no final

Série de Taylor de Função a Uma Variável Em matemática, a série de Taylor é uma série de funções da seguinte forma: A constante a é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin.