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ES CÁLCULO NUM!| RICO COM MATLAB Flaulles B.Bergamaschi Sumário 1 Sistemas Lineares 11 1.2 14 Lj 21 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Introdução 1.11 Métodos Diretos 1.21 1.2.2 Métodos Ticrativos 13.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 Sistemas Lineares Complexos lixe: Introdução . . Método de Localização de Zeros. . .... Método do Meio Intervalo - MMI .... Método da Secante . ..ccccc co 241 Solnção de um sistema n x n, Método de Gauss +... cc... Decompos: Método Iterativo de Jacobi Critério de Parada... Método Trerativo de Gau Método do Refinamento Iterativo . . ...... Número Condicional Convergência do M. Iterativo de Jacobi e Gauss- Seidel . clic Zeros de função Convergência no Método da Secante ...... Método de Newton «cc ccccccccscrs 2.5.1 Método da Iter. “onvergência no Método de Newton ...... » Linear. cc ao 5.7 Exercícios +. cics 99 6 Introdução ao Matlab 101 6.1 Introdução. . cc cc 101 6.2 Comandos... .cccccccco 103 6.2.1 Comando de leitura, ...... 103 6.2.2 Comando de impre: 103 6.2.3 Comando de atribuição 104 6.2.4 Estrutura de de 105 6.2.5 ruturas de repetição 106 6.3 Itens Básicos do Matlab 109 6.3.1 Operadores relacionais 109 6.3.2 Conectivos lógicos 110 6.3.3 cs Pré-definidas no 6.3.4 Seript n1 6.4 Vetores e Matrizes 114 6.5 s em Matlab 117 6.6 19 6.7 121 6.8 122 7 Implementação dos Métodos 125 7.1 Sistemas Lineares. .cccccccscsc a 125 7.2 136 73 142 Tá 144 7.5 ld5 7.6 151 8 Respostas dos exercícios 153 A Erros 159 A.1 Números em ponto flutuante ..ccccccccccs 159 Bibliografia 167 5d 5. 97 6.1 Gráfico de f(x) 120 6.2 Grálico do f(x,y) =22+y? 2 6.3 Gráfico+(curva de nível) de f . 121 Prefácio Este livro de cálculo numérico [oi escrito com base nas notas de aula, ministradas na Universidade Federal do Espírito Santo e na Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia. A importância do cálculo numérico para os estudantes de engenharia, física e matemática se faz na conexão dos métodos numé pulação, cada vez mais presente no dia-dia acadêmico. TLcimbramos que os mnétodos numéricos começaram a ser criados mesmo antes de Cristo; agora com o advento do computador esses métodos puderam ser implementados e assim uma quantidade de problemas puderam ser resolvidos. O que antes se conhecia apenas como existência e uni- cidade, agora pode ser determinado por aproximações tão precisas quanto se queira. Sempre respeitando as limitações de máquina. Tentei escrever um livro para ser usado cm um semestre letivo nos cursos de graduação, por isso, no que tauge o conteúdo de cada capítulo, existe uma preocupação em expor os principais métodos numéricos. O leitor interessado pode procurar na bibliografia para aprofundar mais. Temos como objetivo que o estudante tenha uma visão profunda em temas relevantes c uma visão geral cm outros, montando assim seu conhecimento e metodologia de estudo em relação aos métodos numérico: icos matem: cos com a com- Em cada capítulo, focamos assuntos relevantes em cálculo numérico e que tenham importância teórica e pr tica. Muitas demonstrações o feitas devido a complexidade e o fato de fugirem do tema principal, mas podem ser oblidas nas referências. Dedicamos um capítulo, a introdução do software Matlab, que será suficicute para, implementar os métodos apresentados aqui. Claro que os métodos também podem ser implementados em uma outra linguagem. Um não sã comentário importante: grande parte dos métodos numéi sentados aqui já estão nnplenentados no Matlab em forma de funções pré-definidas. Mesmo assim, é de suma importância o estudo desses métodos, uma vez que os problemas práticos exigem mudam Dei especial atenção ao capítulo de zeros de funções, apresen- tando métodos numéricos e analíticos para encontrar zeros de uma funç: vamente aos zeros de um polinômio, icos apre- - Uma seção dedicada exclus Capítulo 1 Sistemas Lineares 1.1 Introdução Neste capítulo vamos desenvolver técnicas e métodos numéricos para, em com freg Com o advento m nela alver sistemas lineares xr. Esst r sistemas aparec em problem: química, etc do computador tais métodos ganharam mais atenção, ficando ass aprofundado. Lembramos bra linear são necessários. nto para. a. fi 3 da engenh: evidente a nnportância de um estudo mais o leitor que alguns tópicos básicos de álgs Por isso, aconselhamos o uso de algum livro sobre o a acompanhamento. Um sistema de equações lineares com 71 equações e nº incógnitas é dado na forma: et to eo Fan br ag1z1 + agro + + ag = bo Gm E) + Amis e + Gmntu = bm Com a; (= 1,...m, 9 =1...n) números reais ou complexos. A solução do sistema (+) é um conjunto (gr, x9,.. isfaça todas as 7 equações. O sistema (+) também pode ser escrito na forma matricial: n) que sat- 1.1. INTRODUÇÃO Exemplo 1.1.2. Co sidere o sistema do exemplo anterior onde à solução é dada por P = (L 1)”, que é exatan retas 2x, +ry=3 ex Hds rente a interseção das conforme Figura 1.1 Figura 1.1: Solução geométrica de um sistema 2 x 2 1.1.1 Solução de um sistema n. x n à. Um ema linear (nx n.) possui solução única se o determi- nante da matriz dos coefi es é diferente de zero. tt. Caso o determinante seja zero, o sistema não possui solução ou possui infinitas amos relembrar alguns resultados da álgebra linear: soluções. A demonstração dos itens acima pode ser encontrada em [2] Exemplo 1.1.3. Conside e O sistema, 2x + = 3 21) ( lenda = — conde det 12 | =0 Neste caso as retas 2x1 + =)edr +2 1.8) são paralelas. Logo esse sistema não possu —b/veja Figura solução. 4 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES Figura 1.2: Retas paralelas Em problemas práticos é comum encontrar sistemas lincares de grande porte, por exemplo 1 > 1000. Por isso é nec volvermos métodos numéricos para, encontrar a solução de tais sis- temas de tal forma que, scja sempre possível implementar algoritmos computacionais. Começamos com os métodos numéricos diretos que fornecem a solnção exata ! através de um número finito de passos. ssário desen- 1.2 Métodos Diretos 1.2.1 Método de Gauss Este método trabalha com a equivalência de sistemas através de operag defin es elementares na matriz ampliada. Para começar, vamos as operações clementares sobre as linhas de uma mal Operações elementares trocar linhas, E; +— Ly. Multiplicar uma linha por um escalar k £ 0, Li — kLi. Substituir uma linha por sua soma com um múltiplo escalar de outra linha. RO, Li — E; +kL;. !Quando não existem erros de truncamento é arredondamento 6 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES an a as cr am by O aro ao ce am bo 0.0 asa o Ga dba |. (1.1) O 0 0 am bm ou seja, a matriz dos coeficientes é uma matriz triangular superior. Exemplo 1.2.3. Considere o sistema ( ms =3 Efel- uando operações elementares na matriz ampliada te 11 2/nsnhA-Dn|1 1d 2 [15] = Ê + 2] Portanto este sistema é equivalente q ( o po que ão a. encon- é facilmente resolvido por substi tramos 12 na segunda equação e substituímos na pré de um sistema 3 x 3. outitepro+tast = b Considere então o sistema ent tags tais = bo e ant +agoro +agsãs — ba sua matriz ampliada: an ao aa br am a ag br as Ga ag by Com os passos abaixo é possível transformar a matriz 4 em una matriz na forma dada em (1.1), através de operações elementares. 1º passo Definimos o elemento chamado de pivo como a, e calenlamos: 12. MÉTODOS DIRETOS 7 do da mi=—-—— emy = ——— pivo pivo 2º passo Operanos na matriz ampliada A: Lo — Lo mah Ls —S Ls + mad 3º passo O clemento pivo passe a ser a92 e calculamos: as mig = ———— pivo 4º passo Ls —S Es + mah» V matriz dos coeficientes. O caso n x n é análogo ao dado ac: algoritmo matemático, o elemento piz em outras palavras, todos os elementos na diagonal da, matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero. Mas nem tudo está perdido! Caso algum elemento ay seja igual a ze elementar de troca de linha, ou se) rlalquek
