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Zeros de Fun¸c˜oes – Parte 1
Jorge C. Lucero
14 de Agosto de 2009
1 Introdu¸c˜ao
Seja f : R → R uma fun¸c˜ao real de vari´avel real. Queremos determinar os valores de x tais que f (x) = 0. Esses valores s˜ao denominados zeros ou ra´ızes da fun¸c˜ao f.
Exemplo 1. Seja a equa¸c˜ao cos x − x = 0. Podemos reescrevˆe-la na forma cos x = x, e portanto suas solu¸c˜oes s˜ao os valores de x onde as curvas correspondentes a y = x e y = cos x se intersectam. Como mostra a Fig. (1), existe um ponto de interse¸c˜ao para x = ξ. Conclu´ımos ent˜ao que a fun¸c˜ao f (x) = cos x − x possui uma raiz, e que essa raiz ´e ´unica.
− π 2 ξ π 2 x
y y = x
y = cos x
Figura 1: Raiz de f (x) = cos x − x.
Exemplo 2. Seja o polinˆomio c´ubico p 3 (x) = x^3 − 2 , 1 x^2 − 1 , 8 x + 2,2. A Fig. 2 mostra um gr´afico de p 3 (x). Suas ra´ızes s˜ao os 3 pontos de intersec¸c˜ao da curva com o eixo x, indicados por ξ 1 , ξ 2 e ξ 3.
Exemplo 3. O fato de poder escrever uma equa¸c˜ao, n˜ao significa que ela tem solu¸c˜ao. Por exemplo, cos^2 x + 3ex^ = 0 n˜ao tem solu¸c˜ao (porque cos^2 x ≥ 0 e 3ex^ > 0).
Exemplo 4. Mais geralmente, consideremos qualquer sistema computacional, el´etrico, me- cˆanico, biol´ogico, social, etc., no qual um certo parˆametro y medido na sa´ıda desse sistema depende de um outro x parˆametro de entrada. O que queremos saber ´e qual deve ser a entrada x para se obter y = 0.
Como os exemplos acima ilustram, uma equa¸c˜ao f (x) = 0 pode ter uma, m´ultiplas, infini- tas, ou nenhuma solu¸c˜ao. Antes de utilizar um m´etodo para calcular a solu¸c˜ao, ´e conveniente determinar se ela existe, e em tal caso, quantas s˜ao, e aproximadamente onde est˜ao localiza- das. Como veremos, todos os m´etodos num´ericos exigem uma ou mais aproxima¸c˜oes iniciais
− 1 1 2 x
y
ξ 1 ξ 2 ξ 3
Figura 2: Ra´ızes de p 3 (x) = x^3 − 2 , 1 x^2 − 1 , 8 x + 2,2.
`a solu¸c˜ao procurada, e quanto mais pr´oximas da solu¸c˜ao estejam, maiores as chances de determin´a-la com sucesso e rapidez. Para analisar a existˆencia de zeros de uma fun¸c˜ao, o Teorema do Valor Intermedi´ario ´e ´util.
Teorema 1 (Teorema do Valor Intermedi´ario). Se f ´e cont´ınua em [a,b] e K ´e qualquer n´umero entre f (a) e f (b), ent˜ao existe c ∈ [a,b] tal que f (c) = K.
Em particular, se f (a) e f (b) tem sinais opostos, ent˜ao existe ξ tal que f (ξ) = 0, como ilustra a Fig. 3. Note que isso garante a existˆencia de pelo menos um zero de f (x), i.e., podem existir mais de um. Na figura, f (a) e f (c) tem sinais opostos, e existem trˆes zeros em (a,c). Tamb´em, se nos extremos de um intervalo a fun¸c˜ao possui o mesmo sinal, podem ainda haver zeros nesse intervalo. Na mesma figura, f (b) e f (c) tem o mesmo sinal, por´em existem dois zeros em [b,c].
x
y
a (^) ξ 1 b (^) ξ 2 c
ξ 3
Figura 3: Ilustra¸c˜ao do Teorema do Valor Intermedi´ario.
Exemplo 5. No caso do exemplo 1, temos f (0) = 1 e f (1) = − 0 ,4597. Como f (0) e f (1) tˆem sinais opostos, e f (x) = cos x − x ´e cont´ınua em I = [0, 1], conclu´ımos que f (x) possui pelo menos um zero em I.
x
y
ξ
a (^0) b 0 a (^1) b 1
a (^2) b 2
x 0 x 1
Figura 4: M´etodo da bissec¸c˜ao
k = 0 while |bk − ak| < ε e f (xk) 6 = 0 xk = (ak + bk)/ 2 if f (xk) · f (bk) < 0 ak+1 = xk bk+1 = bk else ak+1 = ak bk+1 = xk end k = k + 1 end x∗^ = xk
Exemplo 8. Queremos calcular um zero da fun¸c˜ao f (x) = x^3 + 4x + 2ex^ − 4 com erro menor que ε < 0 ,001. Um c´alculo r´apido nos mostra que f (0) = −2 e f (1) = 6,4366. Como a fun¸c˜ao f (x) ´e cont´ınua e tem sinais contr´arios, conclu´ımos ent˜ao que existe um zero no intervalo [0, 1].O algoritmo acima produz os seguintes resultados:
k ak bk f (ak) f (bk) xk f (xk) 0 0 1 -2 6,4366 0,5 1, 1 0 0,5 -2 1,4224 0 ,25 -0, 2 0,25 0,5 -0,4163 1,4224 0,375 0, 3 0,25 0,375 -0,4163 0,4627 0,3125 0, 4 0,25 0,3125 -0,4163 0,0142 0,2813 -0, 5 0,2813 0,3125 -0,2032 0,0142 0,2969 -0, 6 0,2969 0,3125 -0,095 0,0142 0,3047 -0, 7 0,3047 0,3125 -0,0406 0,0142 0,3086 -0, 8 0,3086 0,3125 -0,0132 0,0142 0,3106 4 , 7832 × 10 −^4 9 0,3086 0,3106 -0,0132 4 , 7832 × 10 −^4 0,3095 -0, 10 0,3096 0,3106 -0,0064 4 , 7832 × 10 −^4 0,3101 -0, 11 0,3101 0,
No final das itera¸c˜oes, o algoritmo retorna o valor x∗ = a 11 = 0,3101, que aproxima o zero p de f (x) com erro |ξ − x∗| < |b 11 − a 11 | = 0,0005.
Outro crit´erio de parada que pode ser usado ´e
|f (xk)| < ε.
Entretanto, ´e poss´ıvel ter f (xk) muito pequeno, mas xk ainda longe da raiz.
Exemplo 9. Se aplicamos o algoritmo da bissec¸c˜ao a f (x) = x^3 − 4 , 7 x^2 + 6, 8 x − 2 ,7998 no intervalo [0,4], na primeira itera¸c˜ao obtemos x 1 = 2, com f (2) = 0,0002. Por´em, o valor exato da raiz com cinco d´ıgitos decimais ´e 0,69988, longe do valor determinado.
Pode ser conveniente tamb´em combinar crit´erios de parada. Por exemplo, poder´ıamos exigir bk − ak < ε 1 e |f (xk)| < ε 2
Desta forma, asseguramos um erro pequeno na aproxima¸c˜ao calculada e ao mesmo tempo um valor pequeno de f. O M´etodo da Bissec¸c˜ao tem a desvantagem de que sua velocidade de convergˆencia ´e muito lenta; i.e., requer um n´umero grande de itera¸c˜oes para obter um resultado com erro pequeno. Por´em, tem a propriedade importante de que, se f ´e cont´ınua em [a,b], sempre converge a uma solu¸c˜ao. Podemos estimar a quantidade de itera¸c˜oes para atingir uma precis˜ao dada. Se em cada itera¸c˜ao, dividimos pela metade o intervalo usado na itera¸c˜ao anterior, ap´os k itera¸c˜oes, o intervalo inicial [a 0 , b 0 ] ter´a sido dividido pela metade 2k^ vezes. Se paramos o c´alculo quando bk − ak < ε, ent˜ao
bk − ak = b 0 − a 0 2 k^
< ε,
e
k > log(b 0 − a 0 ) − log ε log 2
