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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Prof. Sérgio de Albuquerque Souza
Curso de Licenciatura em Matemática –
UFPB
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60 horas
Créditos:
^04
Descrição do Curso
Este curso irá introduzir conceitos e utilização de vetores, no espaço tridimensional, para a
resolução de vários
problemas
geométricos
como determinar, por
exemplo, distâncias
entre
pontos,
projeções,
áreas
e
volumes.
Para
tais
conceitos
utilizaremos
algumas
ferramentas
algébricas, via resolução de sistemas lineares, matrizes e determinantes.
Depois da apresentação dos vetores, iremos utilizá-los como ferramenta para definir as
retas e os planos através de suas equações e trataremos os problemas de posições relativas,distâncias e ângulos entre retas, entre retas e planos e entre planos.
Mostraremos as cônicas nas suas formas reduzidas e paramétricas, para depois introduzir
um método mais algébrico para a classificação das cônicas, usando autovalores e autovetores,determinando, desta maneira, os novos eixos coordenados para a cônica.
Finalmente,
as
quádricas
serão
exibidas
e
classificadas
a
partir
de
suas
equações
reduzidas, mostrando o processo de construção tridimensional da mesma, através de cortes comos planos coordenados. Objetivos Ao final do curso você estará habilitado a:
Compreender o conceito de vetores;
Ter uma compreensão espacial dos vetores;
Operacionalizar vetores de forma geométrica e analítica;
Compreender os resultados geométricos e numéricos associados às operações comvetores;
Definir as retas e os planos através de suas equações, obtidas utilizando-se vetores;
Determinar as posições relativas, os ângulos, as distâncias, as interseções entre asretas, entre as retas e os planos e entre os planos;
Definir e classificar as cônicas nas formas reduzidas;
Trabalhar com polinômios característicos, autovalores e autovetores;
Classificar uma cônica dada na forma geral;
Definir e classificar as quádricas, superfícies cilíndricas e cônicas.
Projeto da Disciplina
A disciplina está estruturada em três Unidades Temáticas Integradas. Cada uma contém
itens e subitens que os remetem às outras unidades. Os temas abordados serão acompanhadosde uma exposição, uma animação, vídeos ou ilustrações, com indicação de textos de apoio eproblematização das questões do texto. Para cada Unidade será aberta uma discussão no fórume proposta uma atividade de avaliação. Unidades Temáticas Integradas Unidade I
Vetores IntroduçãoSegmentos OrientadosNorma, direção e sentidoVetoresOperações elementares com vetores
SomaMultiplicação por escalar
Combinação LinearDependência LinearÂngulos entre vetoresProdutos entre vetores
Produto InternoProduto VetorialProduto Misto Vetores do
R
3 em coordenadas
Exemplos
Unidade II
Retas e Planos
IntroduçãoO plano
Por três pontosPor um ponto e dois vetoresUm ponto e um vetor perpendicular
A reta
Por dois pontosPor um ponto e um vetorPor dois planos
Posição relativa
Entre retasEntre retas e planosEntre planos
Ângulo
NuloNão nulo
Interseções
VaziaNão vazia
Distâncias
Igual a zeroDiferente de zero
Exemplos
Unidade III
Cônicas e Quádricas IntroduçãoCônicas
Forma reduzidaAutovalores e autovetoresClassificando as cônicas
Quádricas
EsferaElipsóideHiperbolóide de uma folhaHiperbolóide de duas folhasParabolóide elípticoParabolóide hiperbólico
Superfície cônicaSuperfície cilíndrica
Exemplos
CônicasQuádricas
a)^
Os segmentos orientados
BG
,^
GB
,^
FC
,^
CF
,^
AH
,^
HA
,^
ED
e
DE
possuem a mesma
norma; b)^
Os segmentos orientados
AB
,^ EF
,^
DC
e
HG
possuem o mesmo sentido;
c)^
Os segmentos orientados
AB
,^
BA
,^
EF
,^
FE
,^
DC
,^
CD
,^
HG
e
GH
possuem a mesma
direção; Definição:
Diremos que dois segmentos orientados
MN
e^
PQ
, não nulos, são eqüipolentes se os
segmentos tiverem a mesma norma, mesma direção e mesmo sentido, e representaremos essa relação com
PQ
MN
~^
Observação:
Todos os segmentos nulos são eqüipolentes entre si, ou seja,
BB
AA
~^
Exemplo:
No exemplo anterior, temos que o segmento orientado:
a)^
AB
é eqüipolente aos segmentos
DC
,^ EF
e
HG
b)^
AE
é eqüipolente aos segmentos
BF
,^ CG
e^
DH
c)^
AD
é eqüipolente aos segmentos
BC
,^ EH
e^
FG
d)^
AF
é eqüipolente ao segmento
DG
apenas;
e)^
AH
é eqüipolente ao segmento
BG
f)^
AC
é eqüipolente ao segmento
EG
g)^
AG
é eqüipolente apenas a ele, pois não é eqüipolente a nenhum dos outros segmentos formado por esses pontos. Exercício:
Encontrar todos os segmentos orientados eqüipolentes, que podem ser formados com
os pontos da figura 1. Propriedade:
Dados três segmentos orientados quaisquer
MN
,^ PQ
e RS
temos em relação à
eqüipolência que: PE
Propriedade reflexiva:
PQ PQ
~
PE
Propriedade simétrica: Se
PQ MN
~^
então
MN
PQ
~^
PE
Propriedade transitiva: Se
PQ MN
~^
e^
RS
PQ
~^
então
RS MN
~^
PE
Propriedade do paralelogramo: Se
PQ MN
~^
então
NQ MP
~
PE
Dado um ponto qualquer
P , é possível determinar outro ponto
Q
de tal forma que
PQ MN
~^
Observações:
•^
Note que, com as propriedades de eqüipolência, podemos construir em qualquer local doespaço tridimensional, um segmento eqüipolente a um outro segmento dado qualquer.
-^
Toda relação que é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de relação de equivalência,logo a eqüipolência é uma relação de equivalência.
3.
Vetores^ Vamos considerar como vetor, um representante da classe dos segmentos orientados eqüipolentes a um segmento orientado dado qualquer, ou seja, o vetor não é um segmentoorientado (conjunto de pontos) específico, mas um representante dos segmentos orientados quetem a mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento de um segmento dado. Observações:
•^
O vetor determinado pelo segmento orientado
AB
será representado por
AB
, ou por uma
letra minúscula
r^ a
•^
Vale reforçar que o segmento orientado
AB
é um conjunto de pontos, enquanto o vetor
AB
é um representante de um conjunto de vetores eqüipolentes ao segmento orientado AB
Definição:
O vetor determinado por todos os segmentos orientados nulos, será chamado de
vetor
nulo
, denotado por
r^0
Definição:
Um vetor
r a qualquer é chamado de
vetor unitário
, se a sua norma for igual a um, ou
seja,
||^
r^ a
Exemplo:
Da figura 2, considere os vetores
r u
,^
r^ v e^
r^ w ,
como
sendo
representantes
da
classe
dos
segmentos
orientados
eqüipolentes
a^
AB
,^
AC
e^
AD
respectivamente, logo:a)^
r^ u pode ser representado por um dos elementos do conjunto
{^
HG,
EF,
DC,
AB
b)^
r^ v por um dos elementos do conjunto
{^
EH,
FG,
BC,
AD
c)^
r^ w por um dos elementos do conjunto
{^
DH,
CG,
BF,
AE
Figura 2
Paralelepípedo ABCDEFGH
Desafio:
Quantos
e quais
são
os
vetores
que
podem
ser
representados na figura 2 acima?
ou seja, como representantes temos que os vetores são iguais, isto é
HG
EF
DC
AB
u^
r^ =
EH
FG
BC
AD
v^
r^ =
e^
DH
CG
BF
AE
w^
r^ =
Operações elementares com vetores 3.5.
Soma A soma de dois vetores
r u e
r^ v quaisquer, é obtida graficamente, da seguinte maneira (ver
figura 3):Escolha um ponto qualquer
A ;
^
Do ponto
A
construa um outro representante para o
vetor
r u , ou seja,
AB
r^ u^ =
^
Do ponto
B
construa um outro representante para o
vetor
r v , ou seja,
BC
r^ v^ =
^
O vetor soma
v u^
r r^ +
será representado pelo vetor
AC
Propriedade:
Dados três vetores
r u ,^ v r^ e
r w quaisquer, temos que:
PS
Propriedade comutativa:
v u u v^
r r r r^
Da figura 3, temos que:
AC
BC
AB
v u^
rr+
AC
DC
AD
u v^
rr+
PS
Elemento neutro da soma:
u 0 0 u u^
r r r r r^
Da figura 3, temos que:
AB
BB
AB
rr+ (^0) u
AB
AB
AA
rr+^ u 0
PS
Elemento oposto:
u u 0 )u (- u^
r r r r r^
Da figura 3, temos que:
AA
BA
AB
+^
)u ( u^
r r
BB
AB
BA
−^
u )u (^
r r
PS
Propriedade associativa:
(^
w v u w v u^
r r r r r r^
Da figura 4, temos que:
Figura 3
Soma dos vetores
r^ u
re v
Figura 4
Soma dos vetores
r^ u
r , v e^
r w
(^
)^
AD
CD
AC
CD
BC
AB
w v u^
+^
r r r^
(^
e
(^
)^
AD
BD
AB
CD
BC
AB
w v u^
+^
(^
r r r
Exemplo:
Da figura 2, considerando os vetores
r u ,^ v r^ e
r w (verifique os seguintes resultados!)
a)^
AC
EH
AB
b)^
AC
EH
HG
c)^
AG
HG
AE
BC
d)^
HB
HD
DA
AB
Multiplicação por escalar
Definição:
A
multiplicação
de
um
vetor
r a
,^
não
nulo,
por
um
escalar
R ∈
α^
,^ é
o
vetor,
representado por
r a α , que tem mesma direção do vetor
r a , norma igual a
|^
r a α^
, mesmo
sentido, se
α^
e, se
α^
, sentido oposto.
Observação:
Qualquer vetor multiplicado por
α^
será o vetor nulo, ou seja,
a 0
r r^ =
e qualquer
valor
R ∈
α^
multiplicado pelo vetor nulo será o vetor nulo, isto é
r r^ = α
As
operações
aritméticas
comuns
também
são
idênticas
com
as
operações
de
multiplicação de escalar por vetores, que seguem nas propriedades exibidas a seguir. Propriedade:
Dados os vetores
r^ u e^
r^ v quaisquer e os números
R ∈
β α,
, temos que:
PME
Propriedade distributiva do escalar em relação à soma de vetores:
v u )v u(
r r r r
α α
α^
PME
Propriedade distributiva do vetor em relação à soma dos escalares:
u u u) (^
r r r
β α β α^
PME
Elemento neutro da multiplicação por escalar:
u u. 1
r r^ =
PME
)u ( )u ( u) (^
r
r
r
αβ
β α αβ
Observação:
Um
conjunto
qualquer
onde
são
definidas
duas
operações,
normalmente
denominadas de soma e multiplicação, e que satisfazem as propriedades da soma PS1, PS2,PS3, PS4 e as propriedades da multiplicação por escalar PME1, PME2, PME3 e PME4 échamado de
espaço vetorial
. Os elementos desse conjunto são chamados de vetores (este tema
será abordado no próximo semestre na disciplina Introdução à Álgebra Linear).
Apesar da definição de dependência linear ser geral, no nosso texto trabalharemos no
máximo no espaço tridimensional, portanto teremos algumas relações geométricas, visíveis, emrelação à dependência linear, quais sejam:
•^
Dois vetores
r u e
r v são LD se os mesmos tiverem a mesma direção, ou seja, se um for
múltiplo do outro:
v u^
r r
α=
•^
Três vetores
r^ u
r, v e
r w são LD se são paralelos a um plano;
•^
Quatro vetores são sempre LD no espaço tridimensional.
Exemplo:
Da figura 2, considerando os vetores
r u ,^ v r^ e
r w , temos que os vetores:
a)^
AB
,^ AC
e
AD
são LD;
b)^
AB
e
DC
são LD;
c)^
r^ u ,
r v e
r w são LI (verifique!);
Definição:
Diremos que o conjunto
a, , a, a{
n 2 1
r K r r^
é uma
base
para o
n R (espaço com
n
dimensões) se
r^ a^1
,^
r^ a,K^2
,^
r^ aforem vetores LI den
n R.
Exemplo:
Da figura 2, considerando os vetores
r u ,^ v r^ e
r w , temos que:
a)^
{^
wv u^
r r^
é uma base do
(^3) R , pois são 3 vetores LI no espaço tridimensional;
b)^
{^
AH
AF
AC
é uma base do
(^3) R , pois são 3 vetores LI no espaço tridimensional;
c)^
r^ ,{ vu
não é uma base do
(^3) R , pois é um conjunto com apenas 2 vetores;
d)^
{^
AC
r^ vu
não é uma base do
3 R , pois são 3 vetores LD;
e)^
{^
AG
wv u^
r r^
não é uma base do
(^3) R , pois é um conjunto com 4 vetores.
Definição:
Uma base
a, ,a ,a {^
n 2 1
r K r r^
para o
n R é chamada de base
ortogonal
se dois a dois os
seus vetores são ortogonais e de base
ortonormal
se além de ser ortogonal, os seus vetores são
unitários, ou seja, de norma igual a 1. Exemplo:
Da figura 3, considerando os vetores
r u ,^ v
r^ e
r w , temos que:
a)^
{^
wv u^
r r^
é uma base ortogonal do
(^3) R , pois seus vetores são perpendiculares dois a dois;
b)
||^
ww v v u^ u
r r
r r
é^
uma
base
ortonormal
do
3 R ,^
pois
perpendiculares
dois
a
dois
e
unitários.
A vantagem de se trabalhar em uma base ortonormal é que a mesma facilita a visualização tridimensional (pense na quina do chão de sua sala), bem como as futuras operações algébricasque surgirão no decorrer da disciplina. Teorema:
Os vetores
r^ b,^1
r^ b,^2
r^ b,^3
K
r^ , bn
são linearmente independentes (LI) se, e somente se, a
equação
b
b b b^
n
(^33) 2 2 (^11)
r r L r r r^
+^
α n
α α α
possuir como
única
solução
= α 1
,^
= α 2
,^
= α 3
,K
,^
α^ n
, ou seja, apenas a solução trivial.
Demonstração:
Na demonstração deste teorema, usaremos o método da redução ao absurdo, ou
seja, nega-se a tese e chega-se a uma contradição. ^
Hipótese: Vamos supor que os vetores
r^ b^1
,^
r^ b , K^2
,^
r^ b , Ki
,^
r^ b são LI. n
Se a equação
b
b
b b^
n
i
2 2 (^11)
r r L r L r
r^
+^
n
i
α
α
α α^
possuir uma solução não trivial, ou seja,
um dos coeficientes não é nulo
α^ i
(^
n i^ ≤≤ 1
). Neste caso, temos
r^ b com a seguinte i
combinação
linear
n 3 3 2 2 1 1
i^
b
b
b
b
b^
r L r r r r n^ i
i
i
i
α α
α α
α α α^ α
o^
que
é
um
absurdo,
pois
por
hipótese os vetores são LI. ^
Hipótese: Vamos considerar que a equação
b
b
b b^
n
i
(^22) (^11)
r r L r L r
r^
+^
n
i
α
α
α α^
só admita a
solução trivial
2 1
=^
n
i
α
α
α α^
L
L
Se um dos vetores
bi
r r^
≠^
for combinação linear dos
n^
vetores
r^ b ,^^1
r^ b , K^2
,^
r^ b , teremos n
n
(^22) (^11) i^
b
b b b^
r L r r r
β^ n
β β^
=^
, logo podemos escrever a igualdade:
b
)b (
b b^
n
i
(^22) (^11)
r r L r L r
r^
+^
β n
β β
ou seja,
,^ β 1
, K β 2
,^
= i β^
, K
,^
β^ n
também é uma outra solução da equação, o que é um
absurdo pois, por hipótese, a equação só admite a solução trivial. Observação:
Note que a solução trivial
2 1
=^
n
i
α
α
α α^
L
L^
é sempre solução para a
equação, pois
b 0
b 0 b 0 b 0
n
3 2 1
r r L r r r^
+^
, mas a força do teorema é a exigência da solução ser
única
Exercício:
Da figura 2, verifique que
{^
} AH, AF, AC
também é uma base do
3 R.
Solução:
Para verificar que
{
} AH, AF, AC
é base, basta ver que são 3 vetores LI em
3 R. A
quantidade de vetores está óbvia e para mostrar que são LI utilizaremos o teorema acima, maspara tanto utilizaremos dois fatos:
^
Os vetores
r u
,^
r^ v e^
r^ w
são LI, pois não são paralelos a um plano, temos pelo teorema
acima que uma equação
w v u^
3 2 1
r r r r^
α α α^
possui solução única
3 2 1
α α α^
^
Os vetores
AC
,^
AF
e
AH
são combinações lineares dos vetores
r u
,^
r^ v e^
r^ w
podemos
escrevê-los da forma:
w 0 v 1 u 1
r r r^
AC
,^
w 1 v 0 u 1
r r r^
AF
e^
w 1 v 1 u 0
r r r^
AH
Vamos
montar
a^
equação
exigida
no
teorema
e^
verificar
que
a^
equação
AH
AF
AC
3
2
1
r =
β
β
β^
possui solução única. De fato:
AH
AF
AC
3
2
1
r =
β
β
β
)w 1 v 1 u (^0) (
)w 1 v 0 u (^1) ( )w 0 v 1 u (^1) (
3
2
1
r r r r r r r r r
r^
β
β
β
)w v( )w u( )v u(
3
2
1
r r r r r r
r^
β
β
β
w)
( v)
( u)
(^
3 2 3 1 2 1
r r
r
r^
β β β β β β
Note que a última equação acima possui solução única, ou seja,
(^
2 1
+^ β β^
,^
(^
3 1
+^ β β^
e^
(^
3 2
+^ β β
O que resulta em um sistema de três equações e três incógnitas:
3
2
3
1
2
1
β
β
β
β
β
β
cuja solução é a trivial e única
3 2 1
β β β^
Ângulos entre vetores Definição:
Vamos considerar o
ângulo
entre dois vetores
r^ a
e^
r^ b , não nulos, como sendo a medida
θ^
do menor
ângulo entre dois representantes dos vetores
r^ a e^
r^ b , tendo
ambos
o^
mesmo
ponto
inicial,
onde
π θ^ ≤≤ 0
(^
o
o^
≤^ θ
). Denotaremos essa medida por
θ= ) rr ,( ba
Note
que,
independente
da
escolha
dos representantes dos
vetores
DF
AC
a^
r^ =
e
DE
AB
b^
r^ =
(ver figura 7), a medida
θ^
do ângulo
BA
) C
é igual à medida
θ^
do ângulo
ED
) F
pois:
•^
a reta definida pelos pontos
A
e^
C^
é paralela à reta definida pelos pontos
D^
e^ F
e
•^
a reta definida pelos pontos
A
e^ B^ é paralela à reta definida pelos pontos
D
e^
E.
Figura 7
Ângulo entre os vetores
r^ a e^ b r
Produtos entre vetores^ Deste momento em diante, estaremos sempre trabalhando no espaço tridimensional
3 R ,
porém
algumas
idéias também podem ser expandidas para dimensões maiores, que serão
tratadas na disciplina Álgebra Linear.
Os
produtos
entre
vetores
são
operações
que
trazem
um
apelo
geométrico
bem
interessante e que serão muito úteis na compreensão das definições, propriedades e resoluçõesde alguns problemas, pois estes produtos estão relacionados com as grandezas comprimento(produto interno), área (produto vetorial) e volume (produto misto), gerado por vetores em certascondições. 3.9.
Produto Interno O^
produto
interno
está
muito
relacionado
com
uma
medida
de
uma
dimensão,
um
comprimento, seja olhando como o tamanho de uma projeção de um vetor em relação a um outro,seja vendo como o comprimento de um vetor qualquer. Definição:
O
produto interno
entre dois vetores
r a e
r b não nulos, é o
número
denotado por
b a^
v r^ ⋅^
e definido pela expressão:
cos(. || ||. || ||^
ba
b a b a^
vr
v r v r^
Observação:
Este
número,
produto
interno,
aparentemente vindo do nada, na realidade surge de umasimples razão trigonométrica em um triângulo retângulo^ ABC
(ver
figura
dada
por
cos(.
θ a c^ =
ou
hipotenusa
adjacente
cateto c^ a
cos(
θ^
Considerando unitário o vetor
r b , temos do triângulo
DEF
que a norma do vetor
DF
é
b a )b, a cos(|| b|| ||a || ) cos(|| a|| DF
v r vr
r r
r^
θ^
, ou seja, podemos ver
este número como sendo o comprimento da projeção do vetor
r a em relação à direção do vetor
unitário
r^ b
Figura 9
Paralelepípedo
ABCDEFGH
com medidas
Figura 8^ 5x2x
Triângulos
ABC
e^ DEF
c)^
=^
AG
AG
AG
d)^
⋅^
w v u w v u
CE
AG
r r r r r r
[^
]^
[^
]
[^
]^ =
w w v w u w
w v v v u v w u v u u
u^
r r r r r r
r r r r r r r r r r r r
5 [
]^
[^
]
[^
]^ =
w w v w u w
w v v v u v w u v u u
u^
r r r r r r
r r r r r r r r r r r r
[^
]^
[^
]
[^
]^ =
25 [
]^
[^
]^
[^
]^
e)^
Os vetores
AG
e
CE
estão representados por duas diagonais internas, da definição do
produto interno para esses vetores, temos:
(^
CE
AG
AG
CE
CE
AG
cos. || ||. || ||= ⋅^ –^
(^
CE
AG
cos. (^38). 38 20
(^
)^
cos
CE
AG
Portanto podemos calcular o ângulo entre as diagonais (vetores), como
(^
)^
o
arccos(
,^
CE
AG
Exercício:
Demonstre o teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo qualquer (ver o
triângulo
ABC
figura 8)
Solução:
Considere os vetores
AC
r^ c^ =
e^
CB
r^ b^ =
, portanto o vetor
b c AB
v r^ +=
, calculando a
norma ao quadrado do vetor
AB
(hipotenusa ao quadrado), temos:
2
2
2
2
(^
b b c c b b b c c c b c b c b c
AB
v v r r v v v r r r v r v r v
r^
como o triângulo é retângulo, os vetores
r c e
r b são perpendiculares, portanto
vr ⋅ bc
, o que
resulta em:
2 2 2 2 2 2 c b a b c b
c^
+^
v r v r
Proposição:
Em uma base ortonormal
wv u^
r r^
, se
wz vy ux a^
a a a
r
r r^
=^
e^
wz vy ux b^
b b b
r
r r^
=^
então o produto interno entre os vetores
r a e
r b
é:
ba ba ba
zz y y xx b a^
rr ⋅
Exercício:
Usando a base
{^
wv u^
r r^
da figura 9, calcule
CE
AG
⋅^
Solução:
Como
w v u AG
r r r^
3 2 5
=^
e^
w v u
CE
r r r^
, usando a proposição acima, temos 20 9 4 25 ) 3 ).( (^3) ( ) 2 ).( (^2) ( ) 5 ).( (^5) (
⋅ CE
AG
,^
como
já^
havíamos
calculado
anteriormente. 3.9.
Produto Vetorial O^
produto
vetorial
entre
dois
vetores
é
um
vetor
cuja
norma
está
relacionada,
geometricamente, com uma medida em duas dimensões, ou seja, uma área. O fato de o produtovetorial não ser o vetor nulo será um indicativo, por exemplo, de que:
^
Três pontos, que definem dois vetores, formam um triângulo, ou seja, não são colineares; ^
A distância entre duas retas paralelas é positiva (unidade 3);
Além disso, o produto vetorial tem muitos usos em Física como campo magnético, torção, etc. Definição:
O
produto vetorial
entre dois vetores
r^ a e^
r^ b não nulos, é o
vetor
denotado por
b a^
r r^ ×
definido pelas seguintes características: •^
Direção:
Perpendicular aos vetores
r a e
r b , ou seja,
a b a^
r r r^
×^
e^
b b a^
r r r^
×^
•^
Norma:
sen(|| ||. || || || ||^
ba
b a b a^
rr
r r r r^
×
•^
Sentido:
É dado pela regra da mão direita que é equivalente, algebricamente a
{^
b ab a^
r rr r^
×^
ser
uma base positiva do
3 R.
Observações: Analisando a figura 11 em relação à definição do produto vetorial,
•^
Note que apenas com a direção teríamos uma infinidade de vetores para representar ovetor
b a^
r r^ ×
, pois qualquer vetor
AD
, onde
r D^ ∈
, satisfaz a direção exigida, onde
r^
é a
reta que contém o ponto
A
e é perpendicular aos
vetores
r a e
r^ b
•^
Com
a
característica
da
norma,
teríamos
duas
possibilidades para o vetor
b a^
r r^ ×
, ou seja, o vetor
AD
e o vetor
AE
, desde que estes tenham a
norma igual a
b a^
r r^ ×
•^
Para que o vetor
b a^
r r^ ×
seja bem definido, teremos
Figura 11
Produto Vetorial
que escolher um deles. A escolha será feita usando a regra da mão direita, exibida notópico a seguir, mas já adiantando o vetor
b a^
r r^ ×
é o vetor
AD
•^
Note que o vetor
AE
, tem mesma direção, mesmo comprimento, mas sentido oposto, logo
este vetor é o oposto do vetor
b a^
r r^ ×
, ou seja,
(^
b a
AE
r r^ × −=
Regra da mão direita^ A regra da mão direita serve informalmente para definir se três vetores LI formam uma base positiva ou orientação positiva e, no nosso caso em particular, para determinar o sentido dovetor
b a^
r r^ ×
. Esta regra consiste em usar a mão direita e os dedos desta mão da seguinte maneira,
conforme a figura 12:
^
Posicionar o dedo indicador na direção e sentidodo vetor
r^ a (primeiro vetor);
^
Posicionar o dedo médio na direção e sentido do^ r^^ b
(segundo vetor); ^
O polegar indicará qual sentido o vetor
b a^
r r^ ×
deve
ter, que será necessariamente perpendicular aosvetores
b a^
r r^ ×
, por definição.
Caso tenhamos três vetores
r a ,^ b
r^ e
r c , tendo
r c a mesma direção de
b
a^
r
r^ ×
mas sentido oposto,
dizemos que a orientação destes vetores é negativa. Exemplo:
Considere os vetores unitários e ortogonais
r u ,^ v r^ e
r w da figura 9, então:
a)^
w v u^
r r r^
×^
, pois:
o^
r^ w é perpendicular aos vetores
r u e
r^ v
o^
||^
=^
o sen
vu sen v u w^
rr
r r r^
o^
usando a regra da mão direita, confirmamos o resultado;
b)^
u w v^
r r r^
×^
, análogo ao anterior;
c)^
v u w^
r r r^
×^
, análogo aos anteriores;
d)^
w u v^
r r r^
×^
, pela definição;
e)^
w v u^
r r r^
×^
, pois:
o^
r w 6 é perpendicular aos vetores
r u 3 e^
r v 2 ;
o^
=^
o sen
v u sen v u
w^
r r
r
r
r^
o^
usando a regra da mão direita, confirmamos o resultado;
f)^
r 0 r r^
×^ uu
, pois o^
||^
×^
o sen
uu sen u u u u^
rr
r r r r^
Figura 12
Regra da mão direita
Propriedades:
Dados três vetores
r^ u
r, v e
r w quaisquer e o número
R ∈
α^
, temos que:
PPV
(^
u v v u^
r r r r^
×
×^
segue da definição;
PPV
(^
v u v u v u^
r r r r r r α
α
α^
×
×
×
PPV
Propriedade distributiva:
w u v u w v
u^
r r r r r r
r^
×
×
×^
(^
e w v w u w v
u^
r r r r r r
r^
×
×
×
+^
Exercício:
Encontre os produtos vetoriais de todas as combinações entre os vetores
r u ,^ v r^ e^
r w
da figura 9, bem como de seus opostos. Observações:
•^
Geometricamente
o
número
associado
à
norma
||^
b a^
r r^ ×
é exatamente a área do paralelogramo
formado pelos vetores
r a e
r b , conforme a figura
13.Basta observar que a área de um paralelogramo qualquer é sempre comprimento da basevezes a altura. Logo, no caso do paralelogramo
ABCD
formado pelos vetores, a área é
dada por
DE
AB
altura base A^
×
=^
, onde do triângulo retângulo
ADE
temos a seguinte
relação:
.^
ba sen b
sen AD DE
rr
r
θ^
logo a área é dada por:
.^
b a ba sen b a
DE AB A^
r r rr
r r^
×
•^
Note
que
as
áreas
dos
triângulos
ABD
e
BCD
são
iguais
à
metade
da
área
do
paralelogramo
b a A A
r r^ × = =∇
Exemplo:
Com base nessas propriedades e considerando os vetores unitários e ortogonais
r^ u
r, v
e^ w
r^ da figura 9, temos: a)^
= × + × = × + × = + × =
×^
v u u u v u u u v u u
AC
AB
r r r r r r r r r r r
w
w^
r
r
r^
b)^
= + + × + + =
×^
w v u w v u
AG
AG
r r r r r r
[^
]^
[^
]^
[^
]^ =
=^
w v u w w v u v w v u
u^
r r r r r r r r r r r r
Figura 13
Área do Paralelogramo
ABCD
logo o volume do paralelepípedo é
cos(. || ||. || ||
.^
cb a c b a h A
V^
base
r^ r r
r
r r^
×
×
=^
, que por definição de
produto interno implica que
],
,[
.^
cb a c b a h A
V^
base
r^ r r r r r^
×
=^
Proposição:
Em
uma
base
ortonormal
positiva
{^
w vu
r r^
,^
se
wz vy ux a^
a a a
r
r r^
=^
wz vy ux b^
b b b
r
r r^
=^
e^
wz vy ux c^
c c c
r
r r^
=^
, então produto misto entre os vetores
r a
,^
r^ b e^
r^ c é o
determinante:
c c c
b b b
a a a
z y x
z y x
z y x cb a^
=]
[^
rr
Exercício:
Usando a base
{^
wv u^
r r^
da figura 9, calcule o volume do paralelepípedo gerado pelos
vetores
AG
,^ CE
e
BH
Solução:
Como
w v u AG
r r r^
3 2 5
=^
,^
w v u
CE
r r r^
,^
w v u
BH
r r r^
e o volume é o
módulo do produto misto, pela proposição acima, temos:
[^
]^
,^
BH
CE
AG
como já havíamos calculado anteriormente, logo o volume é
vu
V^
=^
3
Vetores em coordenadas do
3 R
Deste ponto em diante, iremos trabalhar em um sistema ortogonal de coordenadas do espaço
3 R , onde representaremos pontos e vetores por um trio de números, chamados de
coordenadas, e onde aplicaremos toda a teoria anteriormente estudada.
Para tanto, iremos usar a base ortonormal positiva
kj i^
rr r^
de
R
3 , que chamaremos de
base
canônica
Definição:
Seja
3 R
O^
∈^
um ponto e
kj i B^
rr r =^
uma base ortonormal positiva. A dupla
(^
B
O^
é
chamado de
sistema ortogonal de coordenadas
em
R
3 , de origem
O
e base
kj i^
rr r^
Observações:
Com base na figura 15:
^
Consideraremos o sistema ortogonal de coordenadasem
R
3 ,^
ou
simplesmente
sistema
de
coordenadas,
sendo
O
a
origem
do
sistema
de
coordenadas,
e
escolhendo os vetores
OA
r^ i^ =
,^
OB
r^ j^ =
e^
OC
r^ k^ =
3 A simbologia
u.v.
significa unidade de volume, por exemplo:
(^3) m (metro cúbico),
l^ (litro),
cm Figura 15^3 (centímetro cúbico), etc.
Eixos coordenados do
(^3) R
^
Indicaremos por
Ox
,^ Oy
e^
Oz
as três retas definidas pelos segmentos orientados
OA
,^ OB
e
OC
, respectivamente, que são chamadas usualmente de
eixos dos x
( das abscissas
),^
eixos
dos y
( das ordenadas
) e
eixos dos z
( das cotas
^
As setas na figura indicam o sentido positivo de cada eixo. Definição:
Dado
um
ponto
3 R
P^ ∈
qualquer,
as
coordenadas do vetor
OP
na base ortonormal positiva
{^
kj i^
rr r^
, são chamadas de
coordenadas
de
P
no sistema
de
coordenadas
definida
acima,
ou
seja,
se
k z j y i x
OP
P P P
r r r^
=^
, então as
coordenadas
do ponto
P
serão denotadas pela tripla
(^
P P P^
z y x P^
=^
(figura 16).
Exemplo:
Na figura 17, estão marcados alguns pontos:
a)^
Como o vetor
k
j
i
OA
r
r
r^
=^
, logo
A^
b)^
Como o vetor
r r r r^
=^
k j i
OO
, logo
O^
c)^
Os outros pontos são
X^ A
,^
Y^ A
Z^ A
,^
F^
, e
H^
Proposição:
Dados dois pontos
(^
A A A^
z y x A^ =
e^
(^
B B B^
z y x B^
=^
quaisquer, no nosso sistema de
coordenadas do
R
3 , temos que as coordenadas do vetor
AB
são dadas por:
(^
A B A B A B^
z z y y x x
AB
Demonstração:
Note que qualquer vetor
AB
, pode ser escrito como:
k z z j y y i x x
k z j y i x k z j y i x
OB
OA
OB
AO
AB
A B A B A B
B B B
A A A^
r
r
r
r r r r r r
que, escrito em coordenadas, tem-se o resultado
(^
A B A B A B^
z z y y x x^
−^
Observações: ^
Para encontrar as coordenadas de um vetor
AB
basta fazer a diferença, coordenada a
coordenada, entre o ponto final e o ponto inicial; ^
Dois vetores são iguais, quando as coordenadas são iguais. Exemplo:
Considerando os pontos da figura 17, temos que as coordenadas dos vetores são:
AH
,^
= A
AX
,^
FG
,^
(^
= A
FZ
e^
H
YA
Figura 17
Representação de pontos Figura 16
Representação do ponto
P
Exemplos
A partir deste momento iremos refazer, via exercícios e exemplos, todos os produtos entre
vetores, bem como calcular comprimentos, áreas, volumes e outras coisinhas mais, considerandoo sistema de coordenadas do
R
3 definido.
Em todos os exemplos abaixo, considere os pontos
A^
,^
B^
e^
C^
3.11.1.1 Os pontos
A
,^ B
e^
C^
são vértices de um triângulo?
Para verificar que são vértices de um triângulo, basta verificar que os pontos não são
colineares, ou seja, que não estão na uma mesma reta. Como fazer isso?
^
Desenhe um triângulo qualquer; ^
Escolha dois vetores, por exemplo,
AB
r^ u^ =
e^
AC
r^ v^ =
^
Note que esses dois vetores não são paralelos; ^
Logo esses vetores são LI; ^
Dois vetores são LI quando um é múltiplo do outro (correto?) ^
ERRADO, o certo é que, quando são LI, não existe combinação linear entre eles; ^
Logo vamos verificar se é possível achar uma combinação entre esses vetores; ^
Note que
r^ =^ ABu
e^ )^2 , 1 , 3 ( ) 1 (^3) , 0 (^1) , 3 (^0) (
r=^ ACv
^
Se existisse tal combinação, teríamos que
v u^
r r
λ=
, que em coordenadas s
eria:
(^
λ
λ λ λ λ λ λ
λ λ λ
ou seja, é impossível existir um
R ∈
λ^
, tal que
v u^
r r
λ=
, portanto os vetores são LI, logo os
pontos
A
,^ B
e^
C^
são vértices de um triângulo.
3.11.1.2 Qual é a altura relativa ao maior lado do triângulo
ABC
Para determinar a altura relativa, temos que determinar primeiro qual é o maior lado e só
depois achar a altura. Como fazer isso?
^
Vamos calcular a normas dos três vetores, ou seja, a norma de
AB
r^ u^ =
,^
AC
r^ v^ =
e
(^
BC
, logo:
(^
2 2 2
AB
(^
2 2
2
BC
(^
2 2
2
AC
ou seja,
AC
é o maior lado do triângulo, pois
AC
^
Desenhe um triângulo com essas características; ^
Note que a altura procurada é relativa à base
AC
e como a área de um triângulo qualquer
é
altura 2
base
A^
, basta encontrar a área, pois o comprimento da base, já sabemos que
mede
, ou seja, como
k j i k j i
AC
AB
r r r r r r 4
3 2 1 3
×^
, temos que a área é dada por:
2 2 2
au
AC
AB
A^
= + − + = ×
Concluímos finalmente que
cu
A base
altura
=^
∇
Lembrete:
Dado o número
R
a^ ∈
, qualquer, é sempre possível achar dois números naturais
consecutivos
n e
n^
, tais que,
≤^
n a n^
. Por exemplo
=^
3.11.1.3 Encontrar um vetor
r w perpendicular aos vetores
r u e
r^ v
Como fazer isso?
^
Lembre-se que o vetor
v u^
r r^ ×
é um vetor perpendicular aos vetores
r u e
r v ao mesmo
tempo, logo ele será o nosso vetor
r w
^
Logo
k j i AC AB v u w^
r r r
r r r^
+ − = × = ×
=^
, calculado anteriormente.
3.11.1.4 Mostre que
{^
wv u^
r rr
é uma base positiva do
R
Como fazer isso?
^
Para verificar que os três vetores formam uma base, basta mostrar que eles são LI; ^
Usando o teorema, basta verificar que a equação
r 0 r r r^
+^
wz vy ux
possui solução única
=^
z y x^
, ou seja, a solução trivial;
^
Escrevendo a equação em coordenadas temos:
(^
−^
z
y
x
(^
−^
z z z y y y
xx x
Unidade II Retas e Planos 1.^
Situando a Temática
Nesta unidade estudaremos e definiremos as retas e os planos, através de suas equações
vetoriais e algébricas, utilizando de vetores e de suas operações. 2.^
Problematizando a Temática^ Trataremos vários problemas geométricos, como por exemplo, posições relativas entre as retas, entre as retas e os planos e entre planos, bem como calcularemos o ângulo, distâncias einterseções
entre
estes
elementos,
utilizando
as
facilidades
dadas
pelas
propriedades
encontradas nos vetores e suas operações elementares e seus produtos, com suas respectivascaracterísticas geométricas e algébricas. 3.^
Conhecendo a Temática 3.
Introdução^ Vamos primeiramente definir plano, pois uma das possibilidades para a definição de uma reta é a interseção de dois planos não paralelos (pense na interseção do plano do chão com oplano de uma parede: é uma reta).
Sempre que possível, tente desenhar, fazer um esboço, de uma reta, um plano, como será
mostrado aqui, mas mesmo se não tiver habilidades no desenho, imagine sempre planos, aquelesque estão ao seu redor, como paredes, chão, teto, telhados e as retas, como sendo as quinas dasparedes, as linhas de uma quadra de jogo, etc., pois será muito importante ver, ou pensar, decomo essas retas e planos podem estar dispostos no espaço tridimensional. 3.
O plano^ Vamos definir um plano de três maneiras diferentes, ou seja, vamos encontrar uma relação que um ponto
P
qualquer tenha que satisfazer para que pertencer ao plano.Sempre
utilizando
as
ferramentas
e
idéias
dadas
pelos
vetores (e sistemas) estudados nas unidades anteriores.
Vamos representar um plano graficamente por um
“pedaço”, usualmente na forma de um paralelogramo, poisseria impossível representa-lo em um espaço limitado, pois oplano é infinito, veja na figura 1. Usaremos letras gregas minúsculas para representar os planos,exibidas nas colunas
letra
da tabela 1.
Figura 1
Representação de um plano.
letra
LETRA
Nome
letra
LETRA
Nome
letra
LETRA
Nome
αααα^
Α^
Alfa
ιιιι^
Ι^
Iota
ρρρρ^
Ρ^
Rô
ββ^ ββ
Β^
Beta
κκ^ κκ
Κ^
capa
σσ^ σσ
Σ^
Sigma
γγγγ^
Γ^
Gama
λλλλ^
Λ^
Lambda
ττττ^
Τ^
Tau
δδδδ^
∆^
Delta
μμμμ^
Μ^
Mi
υυυυ^
Υ^
Ípsilon
εε^ εε
Ε^
Epsílon
νν^ νν
Ν^
Ni^
φφ^ φφ
Φ^
Fi
ζζζζ^
Ζ^
Dzeta
ξξξξ^
Ξ^
csi
χχχχ^
Χ^
Qui
εεεε^
Η^
Eta
οοοο^
Ο^
Ômicron
ψψψψ^
Ψ^
Psi
θθθθ^
Θ^
Teta
ππππ^
Π^
Pi^
ωωωω^
Ω^
Ômega
Tabela 1
Letras gregas minúsculas, maiúsculas e nome.
Por três pontos Considere três pontos não colineares
4 A
,^
B^
e^
C
quaisquer do espaço tridimensional
R
3 , como na figura 2.
As condições para um ponto
P
qualquer, pertencer
ao plano
π^ , são: ^
Os vetores
AB
,^
AC
e
AP
estão “contidos” no
plano
π^ , na realidade são paralelos ao plano
π^ ,
logo o volume do paralelepípedo formado porestes vetores é zero, ou seja, o módulo do produto misto é zero, portanto:
[^
]^
,^
AC
AB
AP
^
Os vetores
AB
,^
AC
e
AP
são linearmente dependentes, logo existe uma combinação
linear do vetor
AP
em relação aos vetores
AB
e
AC
, ou seja, existem dois números
reais
κ^1
e^
, tais que: κ 2
AC
AB
AP
2
1
κ
κ^
Definição:
A equação
AC
AB
AP
2
1
κ
κ^
é chamada de
equação vetorial
do plano
π^
e os dois vetores
AB
e
AC
são chamados de
vetores diretores
do plano.
No sistema de coordenadas, seja
zy x P^
=^
um ponto qualquer do plano
π^
definido
pelos
pontos,
não
colineares,
do
espaço
(^
A A A^
z y x A^ =
,^
(^
B B B^
z y x B^ =
e^
(^
C C C^
z y x C^
=^
considere os vetores
(^
u u u A B A B A
B^
z y x z z y y x x
AB
u^
r^ =
(^
v v v A C A C A
C^
z y x z z y y x x
AC
v^
r^ =
e
(^
A A A^
z z y y x x
AP
=^
4 Que não pertencem a uma reta ou que formam um triângulo.
Figura 2
Plano definido por três pontos.
Portanto:
^
Dá equação vetorial, temos:
AC
AB
AP
2
1
κ
κ^
v u
AP
r r^
2 1
κ κ^
r
r^
v
v v v
u
u u u
AP
A A A^
z y x z y x z z y y x
x^
(^
2
1
κ
κ^
Escrevendo cada coordenada como uma equação e isolando as variáveis
x
,^
y^
e^
z^ ,
temos
o
seguinte
sistema
de
equações,
chamado
de
sistemas
de
equações
paramétricas do plano
π^
ou simplesmente de
equações paramétricas do plano
2
1
2
1
2
1
κ
κ
κ
κ
κ
κ
π
v
u
A
v
u
A
v
u
A
z
z
z
y
y
y
x
x
x x y z
^
Do produto misto temos:
[^
]^
,^
AC
AB
AP^ [
]^
vu AP
rr
v
v
v
u
u
u
A
A
A
z
y
x
z
y
x
z z y y x x
(^
−^
c
u v v u A b
v u u v A a
u v v u A^
yx
y x z z zx z x y y z y z y x x
Fazendo:
o^
(^
uv
vu
z y z y a^
=^
o^
(^
v u uv
z x z x b^
=^
o^
(^
u v vu
yx yx c^
=^
e
o^
(^
A A A^
cz by ax d^
Temos a chamada
equação geral
, ou
equação normal
, ou simplesmente
equação do
plano
π^ , dado por
:^
+^
d cz by ax π
Exercício:
Determinar as equações paramétricas e a equação normal do plano
π^
que contém os
pontos
A^
,^
B^
e^
C^
, e verificar se o ponto
D^
e a origem do
sistema pertencem ao plano. Solução:
Os vetores diretores são
AB
e^
AC
. Seja
zy x P^
=^
um ponto
qualquer do plano, então temos
(^
=^
zy
x AP
, logo:
^
Da equação vetorial temos:
(^
2
1
κ
κ
zy
x
Que resulta em nas equações paramétricas do plano
π^ :
2 2 2 1 1 1
κ κ κ κ κ κ
π
x y z
^
Do produto misto temos:
−^
z y
x
Que resulta na seguinte equação normal do plano
π^ :
−^
z y x π
^
Para verificar que o ponto
1 (^ −
D^
e a origem
O^
, pertencem ao plano, basta
substituir as três coordenadas dos pontos na equação do plano
π^. Se a igualdade for
satisfeita, o ponto pertence ao plano, caso contrário, não pertence, logo:
o^
(^
z y x
O^
, logo O não pertence a
π^ ;
o^
{^
{^
1 (^
z y x
D^
, logo D pertence ao plano
π^.
Observações:
•^
Note que, nas equações paramétricas do exercício anterior, as coordenadas do ponto
A^
, estão “soltas” em uma coluna e as coordenadas dos dois vetores
AB
e^
AC
também estão nas colunas, porém multiplicadas pelos dois parâmetros
κ^ e^1
κ^.^2
•^
Nas equações paramétricas do plano
π^ , substituindo:
= κ 1
e^
= κ 2
, temos o ponto
A ,
= κ 1
e^
= κ 2
, temos o ponto
B^
e
= κ 1
e^
= κ 2
, temos o ponto
C
•^
Para cada par de parâmetros
κ^ e^1
κ^2
correspondem a um único ponto do plano e para
cada ponto
P^
do plano corresponde um único par de parâmetros.
Por um ponto e dois vetores Considere
um
ponto
A^
qualquer
do
espaço
tridimensional e dois vetores
r u e
r v , não paralelos, ou
seja, linearmente independentes, como na figura 3.
Figura 3
Plano definido por um ponto e
dois vetores.
Portanto, da equação vetorial, temos:
AB
AP
τ=^ u AP
r τ
r u
u u u
AP
A A A^
z y x z z y y x
x^
τ= − − −
Escrevendo cada coordenada como uma equação e isolando as variáveis
x
,^
y^
e^
z^ ,
temos o seguinte sistema de equações, chamado de
sistemas de
equações paramétricas da
reta
r^
ou simplesmente de
equações paramétricas da reta
τ τ τ u
A
u
A
u
A
z
z
y
y
x
x x y z r^ :
Se
nenhuma
das
coordenadas
do
vetor
diretor
AB
r^ u^ =
,^ for
nula,
podemos
isolar
o
parâmetro
τ^
de cada uma das equações acima, obtendo
xA x u x^ −= τ^
,^
yA yu y^ −= τ^
e^
zA zu z^ −= τ^
, ou
seja, temos a seguinte igualdade
A u
A u
A u
zz y
yy y
xx x
= τ
Definição:
O sistema de equações
A u
A u
A u
zz y
yy y
xx x r^
é chamado sistema de equações da reta
r^
na forma simétrica, ou simplesmente
equações
simétricas da reta
r.
Exercício:
Determinar as equações paramétricas e simétricas da reta
r^
que contém os pontos
A^
e^
B^
, e verificar se o ponto
E^
e a origem do sistema pertencem à reta.
Solução:
O vetor diretor da reta é
AB
. Seja
z yx P^ =
um ponto qualquer da reta,
então temos
(^
=^
z y x AP
e a equação vetorial:
(^
τ zy
x
Que resulta em nas equações paramétricas da reta
τ 1 τ 1 τ 1 3 0 1 : x y z r^
Isolando o parâmetro
τ^
das equações acima, obtemos as equações simétricas da reta:
:^
−^ −
z
y
x r^
, ou
−^
z y x r^
Para verificar que o ponto
= E
e a origem
O^
, pertencem à reta, basta substituir as
três coordenadas dos pontos nas equações simétricas da reta, se as igualdades forem satisfeitas,o ponto pertence à reta, caso contrário, não pertence, logo:
1
0
3
−=
=
=
O^
, não pertence a r;
2
2
2
=
=
=
E^
, pertence à reta r.
Por um ponto e um vetor Considere
um
ponto
A^
qualquer
do
espaço
tridimensional e um vetor
r u , não nulo, como na figura 7.
As condições de um ponto
P
qualquer pertencer à
reta
r^
são as mesmas utilizadas anteriormente para uma reta definidos por dois pontos, pois só foram utilizados, defato, o ponto
A
e o vetor diretor
AB
r^ u^ =
Por dois planos Considere
dois
planos,
não
paralelos
e
não
coincidentes, quaisquer, como na figura 8.
Para determinar a reta
r^
interseção destes
dois
planos,
vamos
considerá-los
definidos
por
:^
+^
d cz by ax α^
e^
:^
+^
s rz qy px β^
,^ logo
a
reta é a solução do sistema:
:^
s rz qy px
d cz by ax r
Lembre-se que para definir uma reta, é necessário: ^
Dois pontosNeste caso podemos achar duas soluções para o sistema acima, não necessariamente tendoque resolver o sistema. Como fazer isso?
“ Será que esta reta tem algum ponto cuja primeira coordenada seja 0?
o^
Fazendo
x^
, o sistema acima, fica apenas com duas variáveis, que é bem mais fácil
de resolver, ou seja,
:^
s rz qy
d cz by r^
. Se tiver solução, achamos o primeiro ponto,
caso contrário, faça
y^
,^
z^
ou qualquer outro valor para uma das coordenadas.
o^
Para achar o segundo ponto, siga a mesma idéia de achar o primeiro ponto.
^
Um ponto e um vetor diretorAche um ponto como anteriormente e observe que o vetor diretor da reta é perpendicular aosvetores
r^ n e^ α
r^ n , ou seja, podemos considerar o vetor diretor^ β
β α^
n n u^
r r r^
×
=^
Figura 8
Reta definida por dois planos. Figura 7
Reta definida por um ponto
e um vetor
Exercício:
Determinar as equações paramétricas e simétricas da reta
r^
dada pela interseção dos
planos
:^
+^
z y x α^
e^
+^
z y x β^
Solução: ^
Vamos primeiro determinar esta reta r, como solução do sistema
z z y y x^ x
, usando o
método do escalonamento, temos:
^
2 1 1 1 2 2 L L L L L L
O que resulta no sistema equivalente
z z x^ y
, escolhendo
τ= z^
e substituindo no
sistema equivalente, obtemos as equações paramétricas da reta
τ 2 τ 1 τ 1 (^320)
: x y z r^
e destas,
obtemos as equações simétricas
:^
z
y
x r^
^
Se
não
gostar
de
escalonamento,
podemos
então
determinar
dois
pontos
da
reta
r
escolhendo, por exemplo,
o^
y^
, reduzindo o sistema para
z z x^ x
, tendo como solução
x^
e^
= z
, ou
seja, um primeiro ponto da reta é
1 (^
= A
o^
z^
, reduzindo o sistema para
y^ y x^ x
, tendo como solução
= x
e^
y^
ou seja, um segundo ponto da reta é
B^
Logo um vetor diretor é o vetor
r^ =^ ABu
e, portanto, as equações paramétricas da
reta
são
τ 4 τ 2 τ 2 1 0 2 : x y z r^
e,^
destas
equações,
obtemos
as
equações
simétricas
:^
z y x r^
^
Pode-se também determinar um ponto e um vetor diretor da reta.
o^
Para
encontrar
um
ponto,
fazemos
como
acima.
Vamos
utilizar,
então,
o
ponto
1 (^
= A
o^
Para
determinar
um
vetor
diretor,
basta
calcular
β α^
n n u^
r r r^
×
=^
,^
logo
k j i k j i n n
u^
r r r r r r r r
r^
×
=^
β α^
Portanto
as
equações
paramétricas
da
reta
são
τ 2 τ 1 τ 1 1 0 2 : x y z r^
e^
destas,
obtemos
as
equações simétricas
:^
z y x r^
Observação:
Apesar das equações paramétricas e simétricas da reta
r , encontradas no exercício
acima, serem diferentes, elas representam a mesma reta
r , o que as diferencia é a escolha de um
ponto inicial e de um “novo” vetor diretor, múltiplo do vetor diretor obtido anteriormente. 3.
Posição relativa^ Para o estudo de posições
relativas, é importante “enxergar”
as
retas
e os
planos,
juntamente com os elementos que o definem, ou seja, FAÇA vários esboços, por exemplo, duasretas paralelas, uma reta perpendicular a um plano, etc.
Para resolver problemas, como ângulos, distâncias e interseções, envolvendo retas e
planos, não como eles estão definidos pelas suas equações, mas genericamente, é necessáriosaber como eles estão colocados no espaço, ou seja, em que posição um está em relação aooutro. 3.4.
Entre retas
Existem quatro possibilidades para a posição relativa entre duas retas.Vamos considerar, para efeito de estudos das posições relativas:
^
A reta
r^ definida pelo ponto
R
e pelo vetor diretor
r^ r e
^
A reta
s^
definida pelo ponto
S
e pelo vetor diretor
r^ s
Retas coincidentes Observando as duas retas
r^ e^ s
paralelas coincidentes, na
figura 9, concluímos que: ^
Representam a mesma reta; ^
Os vetores diretores
r r e
r s são paralelos, logo são
LD;
^
O ponto
r S^ ∈
e^
s R^ ∈
Figura 9
Retas coincidentes.
