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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ
FÍSICA 3
TURMA: ............................................................ PROF.: .......................................
ALUNO: ...................................................................................................................... ...
ATIVIDADE DE ESTUDO 2 – CAMPO ELÉTRICO DE CARGAS PUNTIFORMES
1. Introdução
Sabe-se que a presença de uma massa modifica a região do
espaço que a envolve, gerando o que se chama de campo gravitacional.
Se outra massa for inserida nessa região, essa sofrerá a ação de uma força
gravitacional. O mesmo ocorre com uma partícula eletrizada. Uma carga
elétrica q cria ao seu redor uma região onde ela exerce influência. Essa
região é denominada Campo Elétrico. O campo elétrico consiste em uma
distribuição de vetores campo elétrico 𝐸
, um para cada ponto de uma
região em torno de um objeto eletricamente carregado. É este campo
elétrico que atua sobre qualquer carga elétrica q o
contida nessa região,
permitindo que exista uma força elétrica atuando em qo.
Diferentemente do campo gravitacional citado acima, em que a
força entre a massa geradora do campo gravitacional e a massa inserida
nesse campo é sempre atrativa, no campo elétrico a força gerada em q o
pode ser atrativa ou repulsiva, dependendo do sinal da carga qo.
2. Intensidade do Campo Elétrico
Considere um ponto 𝑷 qualquer do espaço onde exista um campo elétrico 𝐸
. Se colocarmos nesse ponto 𝑷 uma pequena
carga positiva q 0 , que chamamos de carga de prova, sobre ela atuará uma força 𝐹. A relação entre o campo elétrico e a força que
atua sobre a carga q 0
é dada por:
𝑬
⃗⃗
=
𝟎
(eq. 2.1)
A unidade de campo elétrico no SI é Newton/Coulomb ( N/C).
A partir da eq. 2.1, podemos escrever a força elétrica atuante na partícula como:
𝑭
⃗⃗
= 𝒒
𝟎
𝑬
⃗⃗
(eq. 2.2)
Observação:
a) A expressão 𝐹 = 𝑞
0
mostra que os vetores 𝐹 e 𝐸
⃗
tem a mesma direção.
Se q 0
0 então 𝐹 e 𝐸
⃗
possuem mesmo sentido.
Se q 0
< 0 então 𝐹 e 𝐸
⃗
possuem sentidos contrário.
Figura 2 – Carga elétrica sujeita à força
elétrica 𝐹 devido à presença do campo
elétrico 𝐸
.
Figura 1 – Analogia entre Campo Gravitacional e Campo
Elétrico.
b) Podemos posicionar a carga de prova em vários pontos para medir o campo elétrico nesses pontos e assim levantar a
distribuição de campo elétrico nas vizinhanças do objeto carregado. Esse campo existe independentemente da carga de
prova; é algo que um objeto carregado cria no espaço em volta (ainda que esteja vazio), mesmo que não haja ninguém para
medi-lo. Na sequência, vamos calcular o campo elétrico que existe nas vizinhanças de partículas e de objetos de várias
formas geométricas. Antes, porém, vamos discutir uma forma de visualizar os campos elétricos.
3. Linhas de Campo Elétrico
As linhas de campo permitem que seja possível, de maneira esquemática, visualizar como o campo elétrico em torno de uma
carga se configura. São linhas que dão a direção do campo elétrico numa determinada região. O vetor campo elétrico e o
vetor força elétrica, com que o campo atua sobre uma carga colocada nesse campo, são sempre tangentes à linha de campo.
Pode-se observar que em relação às linhas de campo:
A intensidade do campo está relacionada com a distância entre as linhas de campo, ou seja, em um ponto em que as
linhas estejam próximas, o campo elétrico é mais intenso que em outro ponto no qual as linhas de força estejam mais
afastadas;
As linhas de campo elétrico se afastam das cargas positivas (onde começam) e se aproximam das cargas negativas (onde
terminam).
O número de linhas que saem ou entram em uma carga é proporcional ao valor da carga;
A representação do vetor campo elétrico será sempre tangente à linha de campo, no ponto considerado.
Exemplos de distribuições de linhas de campo de alguns arranjos de cargas:
4. Campo elétrico gerado por uma carga puntiforme 𝒒
Usando a lei de Coulomb pode-se obter a expressão do campo elétrico gerado por uma carga puntiforme. Seja a carga
puntiforme positiva 𝒒, geradora do campo, e uma carga 𝒒
𝟎
, positiva, situada num ponto 𝑷 a uma distância 𝒓 da carga 𝒒.
2
𝑟̂ (eq. 2.3)
Lembrando que k =
1
4 𝜋Ɛ 0
, o módulo de 𝐸
pode ser calculado por:
1
4 𝜋Ɛ 0
2
(eq. 2.4)
Para calcular o campo elétrico total produzido em um ponto por duas ou mais cargas pontuais, utiliza-se o mesmo princípio
de superposição utilizado para o cálculo da força resultante:
𝑇
1
2
𝑛
(eq. 2.5)
Figura 3 – (a) Partícula com carga positiva; (b) Partícula com carga negativa; (c) Dipolo elétrico; (d) Duas partículas com mesma
carga positiva; (e) Duas partículas com cargas +2q e – q; (f) Disco com carga uniforme.
Na figura 7 podemos ver de forma simplificada o campo elétrico gerado em um ponto P , situado sobre o eixo z , pelo dipolo
formado por duas cargas de mesmo módulo e sinais contrários, separadas por uma distância d. O ponto P localiza-se a uma distância
z do centro do dipolo, sobre a reta que liga as duas partículas, conhecida como eixo do dipolo.
Figura 7 – (a) Um dipolo elétrico. Os vetores campo elétrico 𝐸
⃗
(+)
e 𝐸
⃗
(–)
no ponto P do eixo do dipolo são produzidos pelas duas cargas do dipolo.
As distâncias entre o ponto P e as duas cargas que formam o dipolo são r (+)
e r (–)
. (b) O momento dipolar ( 𝑝 ) do dipolo aponta da carga negativa
para a carga positiva (Fonte: HALLIDAY, RESNICK e WALKER, 2016).
A figura 7 mostra os campos elétricos criados em um ponto P pelas duas partículas. A partícula mais próxima, de carga +q,
produz um campo 𝐸
(+)
, de módulo E (+)
, no sentido positivo do eixo z (para longe da partícula). A partícula mais distante, de carga –
q, produz um campo 𝐸
(–), de módulo E(–), no sentido negativo do eixo z (para perto da partícula). Estamos interessados em calcular
o campo total, 𝐸
𝑇
, no ponto P , o que pode ser feito aplicando o princípio da superposição, dado pela eq. 2. 5.
𝐸
⃗
𝑇
= 𝐸
⃗
(+)
⃗
(−)
Da figura 7, observa-se que o campo elétrico resultante no ponto P deve estar sobre o eixo do dipolo. Sendo assim, o
módulo do campo elétrico pode ser obtido fazendo-se a diferença entre os módulos dos vetores, tal que:
E T
= E (+)
𝐸 =
1
4 𝜋Ɛ
0
𝑞
𝑟
(+)
2
1
4 𝜋Ɛ
0
𝑞
𝑟
(−)
2
𝐸 =
1
4 𝜋Ɛ
0
𝑞
(𝑧−
1
2
𝑑)
2
1
4 𝜋Ɛ
0
𝑞
(𝑧+
1
2
𝑑)
2
O desenvolvimento dessa relação nos leva à equação 2.6, abaixo, que permite a determinação do módulo do campo elétrico
originado pelo dipolo elétrico no ponto P :
𝐸 =
0
3
(eq. 2.6)
O produto qd , que envolve os dois parâmetros q e d que definem o dipolo, é o módulo p de uma grandeza conhecida como
momento dipolar elétrico 𝑝 do dipolo (a unidade de 𝑝 é o Coulomb-metro). Assim, podemos escrever a eq. 2. 6 na forma
𝐸
⃗
=
0
3
(eq. 2.7)
Aplique seu conhecimento
I) Uma carga positiva 𝑞 1
= 8 , 0 μ𝐶 é posicionada na origem do sistema
de coordenadas mostrado na figura ao lado. Uma segunda carga 𝑞 2
12 , 0 μ𝐶, é colocada sobre o eixo 𝑥 em 𝑎 = 4 , 0 𝑚. Calcule o campo
elétrico resultante:
a) no ponto 𝑃 1
em 𝑥 = 7 , 0 𝑚;
b) no ponto 𝑃 2
em 𝑥 = 3 , 0 𝑚.
II) Considerando ainda as duas cargas da distribuição anterior, determine o
campo elétrico sobre o eixo 𝑦, em 𝑦 = 3 𝑚, do sistema mostrado na figura ao
lado:
Exercícios Introdutórios
1 ) Na figura, as linhas de campo elétrico do lado esquerdo têm uma separação duas vezes maior
que as linhas do lado direito. (a) Se o módulo do campo elétrico no ponto 𝐴 é 40 𝑁/𝐶, qual é o
módulo da força a que é submetido um próton no ponto 𝐴? (b) Qual é o módulo do campo elétrico
no ponto 𝐵?
2 ) Duas partículas são mantidas fixas no eixo x : a partícula 1, de carga – 2 , 00 × 10
− 7
𝐶, no ponto 𝑥 = 6 , 00 𝑐𝑚, e a partícula 2, de
carga + 2 , 00 × 10
− 7
𝐶, no ponto 𝑥 = 21 , 0 𝑐𝑚. Qual é o campo elétrico total a meio caminho entre as partículas, na notação dos
vetores unitários?
3 ) Qual é o valor absoluto de uma carga pontual cujo campo elétrico a 50 𝑐𝑚 de distância tem um módulo de 2 , 0 𝑁/𝐶?
4 ) Na figura abaixo, as quatro partículas formam um quadrado de lado 𝑎 = 5 , 00 𝑐𝑚 e têm cargas 𝑞 1
2
3
= + 20 , 0 𝑛𝐶 e 𝑞
4
= – 10 , 0 𝑛𝐶. Qual é o campo elétrico no centro do quadrado, na notação dos vetores unitários?
5 ) Duas partículas são mantidas fixas no eixo x : a partícula 1, de carga 𝑞 1
= 2 , 1 × 10
− 8
𝐶, no ponto 𝑥 = 20 𝑐𝑚, e a partícula 2, de
carga 𝑞 2
1
, no ponto 𝑥 = 70 𝑐𝑚. Em que ponto do eixo 𝑥 o campo elétrico total é nulo?
Exercícios especializados
6 ) Quatro partículas, mostradas na figura abaixo, são mantidas fixas e têm cargas 𝑞 1
2
= + 5 𝑒, 𝑞 = + 3 𝑒 e 𝑞 = – 12 𝑒. A distância
𝑑 = 5 , 0 𝜇𝑚. Qual é o módulo do campo elétrico no ponto 𝑃?
7 ) A figura ao lado mostra duas partículas carregadas mantidas fixas no eixo 𝑥: – 𝑞 = – 3 , 20 × 10
− 19
𝐶, no ponto 𝑥 = – 3 , 00 𝑚, e
𝑞 = 3 , 20 × 10
− 19
𝐶, no ponto 𝑥 = + 3 , 00 𝑚. Determine (a) o módulo e (b) a orientação (em relação
ao semieixo x positivo) do campo elétrico no ponto 𝑃, para o qual 𝑦 = 4 , 00 𝑚.
8 ) A Fig. (a) mostra duas partículas carregadas mantidas fixas no eixo a uma distância 𝐿 uma da outra. A razão 𝑞 1
2
entre os
valores absolutos das cargas das duas partículas é 4 , 00. A Fig. (b) mostra 𝐸 𝑡𝑜𝑡,𝑥
, a componente 𝑥 do campo elétrico total, em função
de 𝑥, para a região à direita da partícula 2. A escala do eixo x é definida por 𝑥 𝑠
= 30 , 0 𝑐𝑚. (a) Para qual valor de 𝑥 > 0 o valor de
𝑡𝑜𝑡,𝑥
é máximo? (b) Se a carga da partícula 2 é – 𝑞
2
= – 3 𝑒, qual é o valor do campo máximo?
9 ) Na figura, a partícula 1, de carga 𝑞
1
= – 5 , 00 𝑞, e a partícula 2, de carga 𝑞
2
= + 2 , 00 𝑞, são mantidas fixas no eixo 𝑥. (a) Em que
ponto do eixo, em termos da distância 𝐿, o campo elétrico total é nulo? (b) Faça um esboço das linhas de campo elétrico.
10 ) Na figura abaixo, as três partículas são mantidas fixas no lugar e têm cargas 𝑞 1
2
= +𝑒 e 𝑞
3
= + 2 𝑒. A distância 𝑎 =
6 , 00 𝜇𝑚. Determine (a) o módulo e (b) a direção do campo elétrico no ponto 𝑃.
11 ) (a) Qual é o módulo da aceleração de um elétron submetido a um campo elétrico uniforme de 1 , 40 × 10
6
𝑁/𝐶? (b) Quanto
tempo o elétron leva, partindo do repouso, para atingir um décimo da velocidade da luz? (c) Que distância o elétron percorre nesse
período de tempo?
12 ) Na figura, oito partículas estão no perímetro de um quadrado de lado 𝑑 = 2 , 0 𝑐𝑚. As cargas das partículas são 𝑞 1
2
3
4
5
6
7
= – 5 𝑒 e 𝑞
8
= +𝑒. Na notação dos vetores unitários, qual é o campo elétrico
produzido pelas partículas no centro do quadrado?
13 ) Duas partículas, ambas com uma carga de valor absoluto 12 𝑛𝐶, ocupam dois vértices de um triângulo equilátero com 2 , 0 𝑚 de
lado. Determine o módulo do campo elétrico no terceiro vértice (a) se as duas cargas forem positivas e (b) se uma das cargas for
positiva e a outra for negativa.
19 ) Durante o experimento de Millikan usado para determinar a carga do elétron, uma microesfera de poliestireno carregada é
liberada em ar parado na presença de um campo elétrico vertical conhecido. A microesfera carregada será acelerada na direção da
força resultante até atingir a velocidade terminal. A carga na microesfera é determinada medindo-se a velocidade terminal. Durante
um desses experimentos, a microesfera tem raio 𝑟 = 5 , 50 × 10
− 7
𝑚, e o campo elétrico tem módulo 𝐸 = 6 , 00 × 10
6
𝑁/𝐶. O
módulo da força de arreste na esfera é dado por 𝐹 𝐴
= 6 𝜋𝜂𝑟𝑣, onde 𝑣 é a rapidez da esfera e 𝜂 é a viscosidade do ar (𝜂 = 1 , 80 ×
− 5
𝑠
𝑚
2
). A massa da específica do poliestireno é 1 , 05 × 10
3
3
. (a) Se o campo elétrico aponta para baixo e a microesfera
de poliestireno está subindo com uma velocidade terminal de 1 , 16 × 10
− 4
𝑚/𝑠, qual é a carga da esfera? (b) Quantos elétrons em
excesso estão na esfera? (c) Se o sentido do campo elétrico for invertido, mas seu módulo permanecer o mesmo, qual será a nova
velocidade terminal?
- A necessidade de impressoras mais rápidas e de alta resolução levou os fabricantes a procurarem alternativas para a impressão
por impacto usada nas antigas máquinas de escrever. Uma das soluções encontradas foi o emprego de campos elétricos para controlar
o movimento de pequenas gotas de tinta. Alguns modelos de impressoras de jato de tinta utilizam esse sistema.
A figura mostra uma gota de tinta negativamente carregada que se move entre duas placas defletoras de uma impressora
eletrostática de jato de tinta, usadas para criar um campo elétrico uniforme dirigido para baixo de módulo 1 , 4 × 10
6
A gota de tinta, com massa 𝑚 de 1 , 3 × 10
− 10
𝑘𝑔 e carga de valor absoluto 𝑄 = 1 , 5 × 10
− 13
𝐶, penetra na região entre as
placas, movendo-se inicialmente na direção do eixo 𝑥 positivo com uma velocidade 𝑣 = 18 𝑚/𝑠. O comprimento 𝐿 de cada placa
é 1 , 6 𝑐𝑚. As placas estão carregadas e, portanto, produzem um campo elétrico em todos os pontos da região entre elas. Qual é a
deflexão vertical da gota ao deixar a região entre as placas? (A força gravitacional é pequena em comparação com a força
eletrostática, e pode ser desprezada).
Referências:
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl, Fundamentos de Física , vol. 3 , 9 ª ed., Rio de
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S/A, 2015.
TIPLER, Paul A., Física. Vol. 2, 6ª ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2014
BAUER, W.; WESTFALL, G.D.; DIAS, H., Física para Universitários , vol. 3, 1ª ed., São Paulo: McGraw-Hill, 2012.
MACHADO, Kleber D., Eletromagnetismo , vol. 1, Ponta Grossa: 1ª ed, Toda a Palavra, 2012.
Gabarito:
1 ) (a) 𝐹 = 6 , 4 × 10
− 18
𝐵
𝑡𝑜𝑡
= −( 6 , 39 × 10
5
= ( 1 , 02 × 10
5
𝑡𝑜𝑡
7 ) (a) 𝐸 𝑡𝑜𝑡
= 1 , 38 × 10
− 10
; (b) 𝜃 = 180°
8 ) (a) 𝑥 = 34 𝑐𝑚; (b) 𝐸 𝑡𝑜𝑡
= 2 , 2 × 10
− 8
9 ) (a) 𝑥 ≈ 2 , 72 𝐿
10 ) (a) 𝐸 𝑡𝑜𝑡
= 160 𝑁 ⁄𝐶 ; (b) 𝜃 = −45°
11 ) (a) 𝑎 = 2 , 6 × 10
17
2
⁄ ; (b) 𝑡 = 1 , 22 × 10
− 10
𝑠; (c) ∆𝑥 = 1 , 83 × 10
− 3
= ( 1 , 08 × 10
− 5
13 ) (a) 𝐸 𝑡𝑜𝑡,𝑦
𝑡𝑜𝑡,𝑥
𝑒𝑥𝑝
× 10
− 19
15 ) (a) 𝑥 = 6 , 0 𝑚𝑚; (b) 𝜃 = 180°
16 ) (a) 𝐸 𝑡𝑜𝑡
𝑞𝑑
4 𝜋𝜀 0
𝑟
3
; (b) 𝜃 = −90°
= (− 5 , 6 × 10
5
- (a) 𝑦 = − 6 , 40 𝑚𝑚; (b) 𝜃 = − 17 ,8°; (c) 𝑦 𝑡𝑜𝑡
- (a) 𝑁 𝑒
= 4 , 8 × 10
− 19
𝐶; (b) 𝑁 = 3 ; (c) 𝑣 = 0 , 19 𝑚𝑚/𝑠
