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Guias e Dicas
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Campos de dipolo elétrico e magnético, Notas de estudo de Eletromagnetismo

aproximação de dipolo elétrico e magnético

Tipologia: Notas de estudo

2021

Compartilhado em 10/07/2023

jedson-amorim-1
jedson-amorim-1 🇧🇷

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Baixe Campos de dipolo elétrico e magnético e outras Notas de estudo em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! 1 Campos de Dipolo Magnético, Quadrupolo Elétrico e Antena Linear FIS9001 - Eletrodinâmica Clássica I Jedson Fernandes de Amorim 1 - Motivação Grande parte do eletromagnetismo estudado na graduação e no início da pós-graduação estamos lidando com fontes de carga e corrente que não dependem do tempo ou este não influencia de forma efetiva nos potenciais e campos eletromagnéticos. Neste trabalho li- daremos com regiões onde o tempo de evolução das fontes influencia na nossa medida, ou seja, lidaremos com as soluções de onda para os campos e potenciais eletromagnéticos. Aprenderemos nas próximas seções com a influencia do tempo no retardo e avanço de ondas, como é feita a expansão de multipolos considerando esses casos e trataremos de encontrar a variação da potência com ângulo sólido para o dipolo magnético e quadrupolo elétrico e finalizaremos tratando da antena linear e do arranjo de antenas aplicados no dia a dia. 2 - Potenciais Retardados Ao longo deste trabalho estaremos lidando essencialmente com radiação, ou seja, pro- pagação de ondas eletromagnéticas e em alguns casos estaremos em regimes de próximas e longas distâncias. As soluções para as equações de Maxwell que normalmente utilizamos são de interação “instantânea”, ou seja, independentemente da distância qualquer mu- dança nos potenciais φ e A teremos um impacto instantâneo dessa mudança em qualquer ponto do espaço. Buscaremos soluções gerais para os potenciais elétrico e magnético de forma que quando mudança sejam feitas em algum ponto espaço haja então, um retardo na mu- dança em outros pontos do espaço. Com intuito de encontrar esses potenciais retardados 2 faremos uso das funções de Green aplicada a uma quação de onda geral Ψ(x, t) com uma fonte f(x, t) pois sabemos que φ e A possuem equações deste tipo, as quais deduziremos mais tarde. Seja L um operador diferencial representado nesse caso pela equação de onda, ou seja, L = ∇2 − 1 c2 ∂2 ∂t2 logo, ( ∇2 − 1 c2 ∂2 ∂t2 ) Ψ(x, t) = f(x, t), (2.1) ( ∇2 − 1 c2 ∂2 ∂t2 ) G(x,x′|t, t′) = δ(3)(x− x′)δ(t− t′), (2.2) Ψ(x, t) = ∫∫ d(3)x′dt′G(x,x′|t, t′)f(x′, t′), (2.3) Para simplificar a obtenção de uma solução definiremos τ = t− t′ e r = |x− x′|, ou seja, consideraremos o problema radialmente simétrico. Portanto, em coordenadas esféricas a equação 2.2 toma a seguinte forma: 1 r2 ∂ ∂r ( r2 ∂G ∂r ) − 1 c2 ∂2G ∂t2 = δ(r)δ(τ), (2.4) Utilizando a definição da transformada de Fourier inversa do tempo na equação acima teremos que: 1 r2 ∂ ∂r ( r2 ∂G̃ ∂r ) + ω2 c2 G̃ = δ(r), (2.5) A derivada acima pode ser reescrita da seguinte forma: 1 r2 ∂ ∂r ( r2 ∂G̃ ∂r ) = ∂2G̃ ∂r2 + 2 r ∂G̃ ∂r = 1 r ( r ∂2G̃ ∂r2 + 2 ∂G̃ ∂r ) = 1 r ∂2 ∂r2 ( rG̃ ) , (2.6) Portanto, a equação diferencial toma a seguinte forma: ∂2 ∂r2 ( rG̃ ) + ω2 c2 ( rG̃ ) = rδ(r), (2.7) Para r 6= 0 teremos que: ∂2 ∂r2 ( rG̃ ) + ω2 c2 ( rG̃ ) = 0, (2.8) A solução para a equação acima é do tipo oscilador harmônico como segue: rG̃(r, ω) = Aei ω c r +Be−iω c r, (2.9) 5 o tempo retardado são escritas como seguem: A(x, t) = µ0 4π ∫ d(3)x′ 1 |x− x′| J ( x′, t− |x− x′| c ) , (2.15) φ(x, t) = 1 4πε0 ∫ d(3)x′ 1 |x− x′| ρ ( x′, t− |x− x′| c ) , (2.16) Ao longo do texto iremos considerar que a dependência temporal dos campos, dos po- tenciais e das fontes serão harmônicos no tempo, da forma e−iωt e que ω c = k as nossas soluções tomarão a seguinte forma: A(x) = µ0 4π ∫ d(3)x′ J(x′) |x− x′| eik|x−x′|, (2.17) φ(x) = 1 4πε0 ∫ d(3)x′ ρ(x′) |x− x′| eik|x−x′|, (2.18) Antes de prosseguirmos para os cálculos de multipolos é importante ressaltar aqui que somente utilizamos o potencial vetor em nossos cálculos. Sabemos pela lei de Ampere que: ∇×B(x, t) = µ0J(x, t) + 1 c2 ∂E(x, t) ∂t , (2.19) Como o tempo é harmônico nos campos podemos reescrever a equação acima como segue: ∇×B(x) = µ0J(x)− iω c2 E(x), (2.20) O campo elétrico pode ser encontrado como segue: E(x) = µ0c 2 iω J(x)− c2 iω ∇×B(x), (2.21) Como sabemos que B = ∇ ×A e a corrente saberemos ao iniciar o problema então, só precisaremos do potencial vetor. Em problemas de radiação como mencionei no início estamos interessados em ondas eletromagnéticas propagação para locais distantes da fonte, ou seja, x  x′ mas seria interessante analisar também o que ocorre com o potencial vetor em expansões para locais próximos da fonte e também distantes para entender o por que escolhemos apenas uma única região para tratar de radiação e esse tipo de análise é denominada zonas de radiação. 6 z ‖x′‖ ‖x‖ Figura 1: Ilustração de um material com correntes ou cargas que é a esfera na cor azul que emite uma onda para o observação à uma distância |x|. Região próxima (zona estática): Nesse caso considera-se que a fonte como sendo pequena e o ponto de observação está distante da fonte mas não é distante o suficiente para que o tempo retardado tenha influência, de outra forma temos que: |x′| |x| λ (2.22) Nesse caso, a exponencial que aparece no potencial vetor da equação 2.17 toma seguinte forma: eik|x−x′| ' eik|x| −→ 1, (2.23) O potencial vetor ficará igual ao do caso estático como já trabalhamos no caso magnetos- tático. A(x) = µ0 4π ∫ d(3)x′ J(x′) |x− x′| , (2.24) Região distante (zona de radiação): Aqui consideraremos o ponto de observação como sendo muito distante da fonte e a fonte é pequena. Além disso, o tempo redardado aqui é influente, ou seja, o ponto de observação é muito maior que o comprimento de onda. |x′| λ  |x| (2.25) Os cálculos que seguem são úteis tanto para a zona estática quanto para zona de radiação pois, as expansões serão feitas considerando o quão grando |x| é em relação à |x′| mas, o comprimento de onda λ estará presente para distinguirmos ambos os casos quando forem necessário. Na equação do potencial vetor (2.17) irei expandir a exponencial 7 eik|x−x′| e 1 |x− x′| em torno de −2 x · x′ |x|2 + |x′|2 |x|2 = 0 como segue: |x− x′| = [(x− x′) · (x− x′)] 1/2 , (2.26) = |x| [ 1− 2 x · x′ |x|2 + |x′|2 |x|2 ]1/2 , (2.27) = |x| [ 1 + 1 2.1! ( −2 x · x′ |x|2 + |x′|2 |x|2 ) − 1 4.2! ( −2 x · x′ |x|2 + |x′|2 |x|2 )2 + . . . ] , (2.28) = |x| [ 1− x · x′ |x|2 + 1 2 |x′|2 |x|2 − 1 2 (x · x′)2 |x|4 +O ( |x′|3 |x|3 )] , (2.29) = |x| [ 1− (x̂ · x̂′) |x′| |x| + 1 2 ( 1− (x̂ · x̂′)2 ) |x′|2 |x|2 +O ( |x′|3 |x|3 )] , (2.30) Já conhecemos o resultado do inverso da expansão acima que é: 1 |x− x′| = +∞∑ l=0 |x′|l |x|l+1 Pl(x̂ · x̂′), (2.31) = 1 |x| [ 1 + (x̂ · x̂′) |x′| |x| − 1 2 ( 1− (x̂ · x̂′)2 ) |x′|2 |x|2 + . . . ] , (2.32) Aplicando o resultado da equação 2.30 na exponencial, teremos que: eik|x−x′| = exp { ik|x| [ 1− (x̂ · x̂′) |x′| |x| + 1 2 ( 1− (x̂ · x̂′)2 ) |x′|2 |x|2 +O ( |x′|3 |x|3 )]} , (2.33) ' exp { ik|x| [ 1− (x̂ · x̂′) |x′| |x| + 1 2 ( 1− (x̂ · x̂′)2 ) |x′|2 |x|2 ]} , (2.34) = exp (ik|x|) exp ( −ik(x̂ · x̂′)|x′| ) exp ( ik|x| 2 ( 1− (x̂ · x̂′)2 ) |x′|2 |x|2 ) , (2.35) Expandindo as 2 últimas exponenciais da expressão acima teremos que: eik|x−x′| ' exp (ik|x|) +∞∑ l,n=0 (−ik(x̂ · x̂′)|x′|)l l! ( ik 2 |x| ( 1− (x̂ · x̂′)2 ) |x′|2 |x|2 )n n! , (2.36) = exp (ik|x|) ( 1− ik(x̂ · x̂′)|x′|−1 2 k2(x̂ · x̂′)2|x′|2+ik 2 |x| ( 1− (x̂ · x̂′)2 ) |x′|2 |x|2 + . . . ) , (2.37) Antes de reescrevermos o potencial vetor façamos o produto entre a exponencial na equa- 10 seguinte relação: 0 = ∫ V d(3)x′∇ · [ x′ ix ′ jJ ] (2.56) = ∫ V d(3)x′ [ x′ iJ · ∇x′ j + x′ jJ · ∇x′ i + x′ ix ′ j∇ · J ] , (2.57) = ∫ V d(3)x′ [ x′ iJ · (ej) + x′ jJ · (ei) + iωx′ ix ′ jρ ] , (2.58) = ∫ V d(3)x′ [ x′ iJj + x′ jJi + iωx′ ix ′ jρ ] , (2.59) Da segunda para a terceira linha utilizamos a conservação carga e lembrando que os potenciais são harmônicos no tempo como segue: ∇ · J(x′, t) = −∂ρ(x′, t) ∂t , (2.60) ∇ · J(x′) = iωρ(x′), (2.61) Podemos utilizar finalmente o resultado da equação 2.59 na equação 2.55 para o potencial vetor como segue: A(1)(x) = µ0 4π eik|x| |x| ( 1 |x| − ik ){ 1 2 ∫ d(3)x′x̂ · [ 3∑ i,j=1 eiej ( − iωx′ ix ′ jρ(x ′) )] − ∫ d(3)x′ ( x̂×M (x′) )} , (2.62) = µ0 4π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ){ iω 2 x̂ · [∫ d(3)x′ρ(x′)x′x′ ] + x̂× ∫ d(3)xM (x′) } , (2.63) Sabemos a segunda integral dá o momentode dipolo m e a primeira integral vamos utilizar a definição da equação 2.44 e fazer o produto escalar com x̂ como segue: x̂ · ↔ Q = x̂ · ∫ d(3)x′(3x′x′ − |x′|2)ρ(x′), (2.64) x̂ · ∫ d(3)x′ρ(x′)x′x′ = 1 3 x̂ · ↔ Q+ 1 3 ∫ d(3)x′|x′|2ρ(x′)x̂ (2.65) O potencial vetor toma a seguinte forma: A(1)(x) = µ0 4π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| )[ iω 6 x̂ · ↔ Q+ 1 3 ∫ d(3)x′|x′|2ρ(x′)x̂+ x̂×m ] , (2.66) 11 Ainda é possível simplificar a expressão acima pois, precisamos tirar o rotacional do potencial vetor para encontrar o campo magnético e consequentemente o campo elétrico, ou seja, B(1) = ∇×A(1) mas sabemos que de maneira geral ∇× x̂ = 0 logo, o potencial vetor pode ser reescrito descartando a integral acima pois, esse termo não faz diferença nos campos. A(1)(x) = µ0 4π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| )[ iω 6 x̂ · ↔ Q+ x̂×m ] , (2.67) Note que o primeiro termo entre colchetes refere-se ao potencial vetor para um quadrupolo e o segundo termo refere-se ao dipolo magnético e nas seções que seguem pegaremos esse potencial separadamente, como queríamos inicialmente. 3 - Dipolo Magnético Quando estamos lidando com problemas de radiação estamos interessados tanto nos campos elétricos e magnéticos quanto a radiação que se propaga da fonte até um ponto de observação. Anteriormente encontramos que o potencial vetor para um dipolo magnético é dado por: A (1) DM(x) = µ0 4π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) x̂×m, (3.1) O campo magnético do dipolo pode ser encontrado apenas pelo rotacional do potencial vetor acima e o campo elétrico dado pela equação 2.21 para a zona de radiação teremos que a densidade de corrente será nula e o campo elétrico será dado por. E(x) = µ0c 2 iω J(x)− c2 iω ∇×B(x) ' − c2 iω ∇×B(x), (3.2) O campo magnético do dipolo pode ser calculado por BDM(x) = ∇ × A (1) DM(x) como segue: BDM(x) = ∇× [ µ0 4π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) x̂×m ] , (3.3) Temos um triplo produto vetorial e podemos utilizar a seguinte identidade ∇× (a×b) = a(∇·b)−b(∇·a)+(b ·∇)a− (a ·∇)b com a = µ0 4π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) x̂ e b = m. Ressalto 12 que m é constante logo, BDM(x) = (m · ∇) [ µ0 4π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) x̂ ] −m∇ · [ µ0 4π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) x̂ ] , (3.4) = µ0 4π { (m · ∇) [ eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) x̂ ] −m∇ · [ eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) x̂ ]} , (3.5) Para a primeira parte da equação acima podemos utilizar que (f ·∇)(x̂g(|x|)) = g(|x|) |x| (f− (f · x̂)x̂) + (f · x̂)x̂∂g(|x|) ∂|x| com g(|x|)x̂ = eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) x̂ e f = m logo, (m · ∇) [ eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) x̂ ] = eik|x| |x|2 ( ik − 1 |x| )[ m− (m · x̂)x̂ ] + (m · x̂)x̂ ∂ ∂|x| [ eik|x| |x| ( ik − 1 |x| )] , (3.6) = eik|x| |x|2 ( ik − 1 |x| )[ m− (m · x̂)x̂ ] + (m · x̂)x̂ [ ik eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) − eik|x| |x|2 ( ik − 1 |x| ) + eik|x| |x|3 ] , (3.7) = eik|x| |x|2 ( ik − 1 |x| )[ m− (m · x̂)x̂ ] + eik|x| |x| (m · x̂)x̂ ( −k2 − 2ik |x| + 2 |x|2 ) , (3.8) Para a segunda parte da equação 3.5 podemos simplificar com a seguinte identidade ∇ · (x̂g(|x|)) = 2 |x| g(|x|) + ∂g(|x|) ∂|x| teremos então, ∇ · [ eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) x̂ ] = 2 |x| eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) x̂+ ∂ ∂|x| [ eik|x| |x| ( ik − 1 |x| )] , (3.9) = 2 eik|x| |x|2 ( ik − 1 |x| ) x̂+ eik|x| |x| ( −k2 − 2ik |x| + 2 |x|2 ) , (3.10) = −k2 e ik|x| |x| , (3.11) 15 elétrico e magnético nessa aproximação podem ser reescritos como seguem: EDM(x) ' −ck2µ0 4π eik|x| |x| x̂×m, (3.29) BDM(x) ' µ0k 2 4π eik|x| |x| [ m− (m · x̂)x̂ ] , (3.30) Fazendo o produto vetorial do campo elétrico com o magnético e utilizando que a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c, teremos que: EDM ×B∗ DM = − ck4µ2 0 16π2|x|2 (x̂×m)× [ m− (m · x̂)x̂ ] , (3.31) = ck4µ2 0 16π2|x|2 [m× (x̂×m)− (m · x̂)x̂× (x̂×m)] , (3.32) = ck4µ2 0 16π2|x|2 [ |m|2x̂− (x̂ ·m)m− (x̂ ·m) ((x̂ ·m)x̂−m) ] , (3.33) = ck4µ2 0 16π2|x|2 [ |m|2−(x̂ ·m)2 ] x̂, (3.34) = ck4µ2 0 16π2|x|2 |m|2sin2 θx̂, (3.35) A potência por unidade de ângulo sólido é dada pela seguinte expressão: dP dΩ = ck4µ0 32π2 |m|2sin2 θ, (3.36) 4 - Quadrupolo Elétrico O potencial vetor de quadrupulo elétrico é o primeiro termo da equação 2.67 que é mostrado abaixo. A (1) QE(x) = −µ0kω 24π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) x̂ · ↔ Q, (4.1) A partir da equação acima, assim como fizemos para o dipolo magnético, iremos deduzir os campos eletromagnéticos e a potência por unidade de ângulo sólido para o quadrupolo elétrico. 16 BQE(x) = ∇×A (1) QE(x) = ∇× ( −µ0kω 24π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) x̂ · ↔ Q ) , (4.2) = ∇ ( −µ0kω 24π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| )) × (x̂ · ↔ Q) − µ0kω 24π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| ) ∇× (x̂ · ↔ Q), (4.3) = x̂ ∂ ∂|x| ( −µ0kω 24π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| )) × (x̂ · ↔ Q) − µ0kω 24π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| )∑ jlon εjlnej ∂ ∂xl [ (x̂)o( ↔ Q)on ] , (4.4) = −x̂× (x̂ · ↔ Q) µ0kω 24π [( ik eik|x| |x| − eik|x| |x|2 )( ik − 1 |x| ) + eik|x| |x|3 ] − µ0kω 24π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| )∑ jlon εjlnej ∂ ∂xl [( x |x| ) o ] ( ↔ Q)on, (4.5) = −x̂× (x̂ · ↔ Q) µ0kω 24π eik|x| |x| ( −k2 − 2ik |x| + 2 |x|2 ) , − µ0kω 24π eik|x| |x| ( ik − 1 |x| )∑ jlon εjlnej ∂ ∂xl [ xo |x| ] ( ↔ Q)on, (4.6) 17 Vamos focar especialmente na última derivada da expressão acima como segue: ∑ jlon εjlnej ∂ ∂xl [ xo |x| ] ( ↔ Q)on = ∑ jlon εjlnej [ δlo |x| + xo ∂ ∂xl ( 1 |x| )] ( ↔ Q)on, (4.7) = ∑ jlon εjlnej [ δlo |x| + xo ∂ ∂xl ( 1√ x2 1 + x2 2 + x2 3 )] ( ↔ Q)on, (4.8) = ∑ jlon εjlnej [ δlo |x| − xo x1δ1l + x2δ2l + x3δ3l ( √ x2 1 + x2 2 + x2 3) 3 ] ( ↔ Q)on, (4.9) = ∑ jlon εjlnej [ −xo x1δ1l + x2δ2l + x3δ3l |x|3 ] ( ↔ Q)on, (4.10) ≡ − ∑ jlon εjlnej [ xoxl |x|3 ] ( ↔ Q)on, (4.11) = − ∑ jlon εjlnej [ (x)o(x)l |x|3 ] ( ↔ Q)on, (4.12) = − ∑ jln εjlnej [ (x̂)l |x| ] (x̂ · ↔ Q)n, (4.13) = − 1 |x| x̂× (x̂ · ↔ Q), (4.14) O campo magnético de quadrupolo pode ser escrita em sua forma final como segue: BQE(x) = x̂× (x̂ · ↔ Q) µ0ck 24π eik|x| |x| ( k2 + 3ik |x| − 3 |x|2 ) , (4.15) O campo elétrico pode ser calculado através da equação 3.2 como segue: EQE(x) ' − c2 iω ∇×BQE(x) = ic k ∇×BQE(x), (4.16) = ic k x̂ ∂ ∂|x| [ µ0ck 24π eik|x| |x| ( k2 + 3ik |x| − 3 |x|2 )] × [ x̂× (x̂ · ↔ Q) ] + ic k µ0ck 24π eik|x| |x| ( k2 + 3ik |x| − 3 |x|2 ) ∇× (x̂× (x̂ · ↔ Q)), (4.17) = iµ0c 2 24π x̂× [ x̂× (x̂ · ↔ Q) ]eik|x| |x| [( ik − 1 |x| )( k2 + 3ik |x| − 3 |x|2 ) + ( − 3ik |x|2 + 6 |x|3 )] + iµ0c 2 24π eik|x| |x| ( k2 + 3ik |x| − 3 |x|2 ) ∇× (x̂× (x̂ · ↔ Q)), (4.18) = iµ0c 2 24π x̂× [ x̂× (x̂ · ↔ Q) ]eik|x| |x| ( ik3 − 4k2 |x| − 9ik |x|2 + 9 |x|3 ) + iµ0c 2 24π eik|x| |x| ( k2 + 3ik |x| − 3 |x|2 ) ∇× (x̂× (x̂ · ↔ Q)), (4.19) 20 5 - Antena Linear e Arranjo de Antenas Aqui discutiremos duas aplicações interessantes que é a antena linear e um arranjo de antenas sendo que a primeira servirá para treinar a matemática deste tipo de problema e o segundo serve para recepção de sinais em determinadas frequências. Para calcular o potencial vetor aqui utilizaremos outra versão do potencial vetor, que é considerando todas as ordens de approximação que é diferente daquela feita para o dipolo magnético que é utilizando os 2 primeiros termos da zona de radiação da equação 2.35 e que 1 |x− x′| ' 1 |x| aplicados na equação 2.40 como segue: A(x) = µ0 4π ∫ d(3)x′ J(x′) |x− x′| eik|x−x′| ' µ0 4π eik|x| |x| ∫ d(3)x′J(x′)e−ik(x̂·x̂′)|x′|, (5.1) Antena Linear: Aqui consideramos uma corrente variando com a posição ao longo do eixo z na região [−d, d] como mostra na figura abaixo. z I • P θ d −d Figura 2: Ilustração de uma antena com corrente variável de acordo com a posição sendo P um ponto de observação. A densidade de corrente para este problema é dado como segue: J(x′) = J0 sin (kd− k|z′|)δ(x′)δ(y′), (5.2) Aplicando a densidade de corrente acima na equação 5.1 e da figura temos que |x′|= z′ e 21 x̂ · x̂′ = cos θ logo, A(x) = µ0 4π eik|x| |x| ∫ d(3)x′J0 sin (kd− k|z′|)δ(x′)δ(y′)e−ikz′ cos θ, (5.3) = µ0I0 4π eik|x| |x| ∫ d −d dz′ sin (kd− k|z′|)e−ikz′ cos θ, (5.4) = µ0I0 4π eik|x| |x| ∫ d −d dz′ ei(kd−k|z′|) − e−i(kd−k|z′|) 2i e−ikz′ cos θ, (5.5) = µ0I0 8iπ eik|x| |x| ∫ d −d dz′ [ ei(kd−k|z′|−kz′ cos θ) − e−i(kd−k|z′|+kz′ cos θ) ] , (5.6) = µ0I0 8iπ eik|x| |x| {∫ d 0 dz′ [ ei(kd−kz′−kz′ cos θ) − e−i(kd−kz′+kz′ cos θ) ] + ∫ 0 −d dz′ [ ei(kd+kz′−kz′ cos θ) − e−i(kd+kz′+kz′ cos θ) ]} , (5.7) = µ0I0 8iπ eik|x| |x| {∫ d 0 dz′ [ ei(kd−kz′−kz′ cos θ) − e−i(kd−kz′+kz′ cos θ) ] + ∫ d 0 dz′ [ ei(kd−kz′+kz′ cos θ) − e−i(kd−kz′−kz′ cos θ) ]} , (5.8) = µ0I0 4π eik|x| |x| ∫ d 0 dz′ [sin (kd− kz′ − kz′ cos θ) + sin (kd− kz′ + kz′ cos θ)] , (5.9) = µ0I0 4π eik|x| |x| [ cos (kd− kz′ − kz′ cos θ) k + k cos θ + cos (kd− kz′ + kz′ cos θ) k − k cos θ ]∣∣∣∣∣ z=d z=0 , (5.10) = µ0I0 4π eik|x| k|x| [ cos (kd− kz′ − kz′ cos θ) 1 + cos θ + cos (kd− kz′ + kz′ cos θ) 1− cos θ ]∣∣∣∣∣ z=d z=0 , (5.11) = µ0I0 4π eik|x| k|x| [ cos (kd cos θ)− cos (kd) 1− cos θ + cos (kd cos θ)− cos (kd) 1 + cos θ ] , (5.12) = −µ0I0 2π eik|x| k|x| [ cos (kd cos θ)− cos (kd) sin2 θ ] , (5.13) Vale ressaltar que a corrente I0 aponta para o eixo z positivo assim como a densidade corrente que definimos no início. Utilizamos nas outras seções que a variação da potência por unidade de ângulo sólido como sendo dada por: dP dΩ = |x|2x̂ · S, (5.14) Os campos elétricos e magnéticos para esse problema será somente considerado potências de eik|x| |x| em 1ª ordem, ou seja, os campos elétricos e magnéticos como fizemos para calcular 22 a potência será dado por: B = ∇×A ' ikx̂×A, (5.15) E = ic k ∇×B ' −c∇× (x̂×B) ' −ickx̂× (x̂×A), (5.16) Utilizando a identidade a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c no campo elétrico teremos que: E = −ick [ (x̂ ·A)x̂− (x̂ · x̂)A ] = −ick [ (x̂ ·A)x̂−A ] (5.17) Aplicando o resultado para o produto vetorial entre os campos. E ×B∗ = −ck2 [ (x̂ ·A)x̂−A ] × (x̂×A∗), (5.18) = −ck2 { (x̂ ·A) [ (x̂ ·A∗)x̂−A∗ ] − (A ·A∗)x̂+ (A · x̂)A∗ } , (5.19) = −ck2 { (A · x̂)(A∗ · x̂)− (A ·A∗) } x̂, (5.20) Aplicando o potencial vetor que obtivemos para a antenar linear na expressão anterior teremos que: E×B∗ = ck2 { µ0 2π 1 k|x| [ cos (kd cos θ)− cos (kd) sin2 θ ]}2{ (I0 ·x̂)(I∗ 0 ·x̂)−(I0 ·I∗ 0) } x̂, (5.21) A corrente I0 é real e está ao longo de z logo, I0 · x̂ = I0 cos θ e podemos reescrever a expressão acima como segue: E ×B∗ = ck2I20 { µ0 2π 1 k|x| [ cos (kd cos θ)− cos (kd) sin2 θ ]}2 sin2 θx̂, (5.22) = c { µ0I0 2π 1 |x| [ cos (kd cos θ)− cos (kd) sin θ ]}2 x̂, (5.23) 25 A densidade de corrente para este problema é dado por: J(x′) = N−1∑ m=0 J0 cos (kz ′)δ(x′ −ma)δ(y′)H ( −|z′|+d 2 ) , (5.30) O vetor que descreve as antenas é x′ = x′ex + z′ez e o ponto de observação, diferente do problema anterior, é ao longo do plano x−y, ou seja, x = ρeρ. Aplicando as ideias acima na equação do 2.40 do potencial vetor para a zona de radiação teremos que, A(x) = µ0 4π ∫ d(3)x′ J(x′) |x− x′| eik|x−x′| ' µ0 4π eik|x| |x| ∫ d(3)x′J(x′)e−ik(x̂·x̂′)|x′|, (5.31) = µ0 4π eikρ ρ N−1∑ m=0 ∫ d(3)x′e−ikx′ cosφJ0 cos (kz ′)δ(x′ −ma)δ(y′)H ( −|z′|+d 2 ) , (5.32) = ez µ0I0 4π eikρ ρ (∫ d 2 − d 2 dz′ cos (kz′) )( N−1∑ m=0 e−ikma cosφ ) , (5.33) = ez µ0I0 4π eikρ ρ [ sin (kz′) k ] ∣∣∣∣ d2 − d 2 ( N−1∑ m=0 e−ikma cosφ ) , (5.34) = ez µ0I0 2π eikρ kρ sin ( kd 2 )(N−1∑ m=0 e−ikma cosφ ) , (5.35) Para o somatório acima utilizaremos o resultado da série geométrica que é: h∑ m=0 rm = 1− rh+1 1− r , (5.36) Aplicando a soma acima no potencial vetor, teremos que: A(x) = ez µ0I0 2π eikρ kρ sin ( kd 2 ) 1− ( e−ika cosφ )N−1+1 1− e−ika cosφ , (5.37) = ez µ0I0 2π eikρ kρ sin ( kd 2 ) 1− e−ikNa cosφ 1− e−ika cosφ , (5.38) = ez µ0I0 2π eikρ kρ sin ( kd 2 ) e− 1 2 ikNa cosφ e− 1 2 ika cosφ e 1 2 ikNa cosφ − e− 1 2 ikNa cosφ e 1 2 ika cosφ − e− 1 2 ika cosφ , (5.39) = ez µ0I0 2π eikρ kρ sin ( kd 2 ) e− 1 2 ik(N−1)a cosφ sin ( 1 2 kNa cosφ ) sin ( 1 2 ka cosφ ) , (5.40) Para calcular o a potência por unidade de ângulo sólido podemos utilizar o resultado da 26 equação 5.20 como segue: E ×B∗ = −ck2 { (A · x̂)(A∗ · x̂)− (A ·A∗) } x̂, (5.41) = ck2 ∣∣∣∣∣µ0I0 2π eikρ kρ sin ( kd 2 ) e− 1 2 ik(N−1)a cosφ sin ( 1 2 kNa cosφ ) sin ( 1 2 ka cosφ ) ∣∣∣∣∣ 2 x̂, (5.42) = µ2 0I 2 0 4π2 c ρ2 sin2 ( kd 2 ) sin2 ( 1 2 kNa cosφ ) sin2 ( 1 2 ka cosφ ) x̂, (5.43) A potência por unidade de ângulo φ, não é por ângulo sólido pois θ = π 2 pois, estamos apenas analisando no plano x− y, é escrita como segue: dP dφ = |x|2x̂ · S, (5.44) = cµ0I 2 0 8π2 sin2 ( kd 2 ) sin2 ( 1 2 kNa cosφ ) sin2 ( 1 2 ka cosφ ) , (5.45) A potência é escrita como segue: P := 1 2 I20R, (5.46) = 1 2 I20 ∫ 2π 0 dφ cµ0 4π2 sin2 ( kd 2 ) sin2 ( 1 2 kNa cosφ ) sin2 ( 1 2 ka cosφ ) , (5.47) A integral influencia somente os senos com o ângulo φ e é interessante analisar um gráfico desse fator dividido por N à medida que ele cresce.∣∣∣F(1 2 ka cosφ) ∣∣∣ N = ∣∣∣∣∣ sin ( 1 2 kNa cosφ ) N sin ( 1 2 ka cosφ )∣∣∣∣∣ (5.48) O fator de N serve só para deixar o gráfico normalizado com amplitude máxima em 1. Na figura abaixo, apertando na seta > o valor de N começa de 0 e pode ir até 19. 27 Percebemos que a medida que o N vai aumentando o fator F vai se concentrando em para 1 2 ka cosφ ≡ x =→ mπ onde m é um número inteiro e podemos demonstrar isso utilizando a regra de L’hôpital como segue, lim x→mπ sin (Nx) N sin (x) = 1 N lim x→mπ N cos (Nx) cos (x) = lim x→mπ cos (Nx) cos (x) −→ ±1, (5.49) Esta aplicação é interessante por 2 motivos, o primeiro deles é o fato de que ao invés de aumentarmos o tamanho da antena para aumentar a potência como é o caso de 1 antena a amplitude aumenta muito rápido também e o segundo motivo é o fato de que para um determinado λ o sinal se concentra. Este tipo de aplicação é comumente vista pelo uso de antenas sobre telhados para captação de sinal para TV’s como é mostrado na figura abaixo. Figura 6: Arranjo de antenas sobre o telhado de uma casa.