Baixe Solução de Exercícios: Capítulo 3 - Gás Ideal e outras Notas de estudo em PDF para Termodinâmica, somente na Docsity!
Solu¸c˜ao dos exerc´ıcios do cap´ıtulo 3, pp. 49-
Equa¸c˜oes de um g´as ideal
pV = N RT U = N cT → U =
c R
pV
Exerc´ıcio 1. Ver se¸c˜ao 3.1. Alternativamente podemos usar a express˜ao para a entropia dada pela equa¸c˜ao (2.44)
S = N (c + R) ln V + N c ln p + K
Escrevendo S como funcao de T e V
S = N R ln V + N c ln T + K′
obtemos CV = T (∂S/∂T )V = N c. Escrevendo S como funcao de T e p
S = −N R ln p + N (c + R) ln T + K′′
obtemos Cp = T (∂S/∂T )p = N (c + R).
Exerc´ıcio 2. Corpo c´ubico de volume V = L^3 :
α =
V
∂V
∂T
L^3
3 L^2
∂L
∂T
L
∂L
∂T
= 3β
β =
L
∂L
∂T
L 0
L − L 0
T − T 0
L 0
L − L 0
∆T
β∆T =
L − L 0
L 0
→ L = L 0 (1 + β∆T )
Exerc´ıcio 3. Ao longo de uma isoc´orica
∆S =
∫ (^) T 2
T 1
Cv T
dT = N c
∫ (^) T 2
T 1
T
dT = N c ln
T 2
T 1
Ao longo de uma isob´arica
∆S =
∫ (^) T 2
T 1
Cp T
dT = N (c + R)
∫ (^) T 2
T 1
T
dT = N (c + R) ln
T 2
T 1
y
x
y = x −
y = ln x
0 0 1
Figure 1: Exerc´ıcio 5.
Exerc´ıcio 4. Varia¸c˜ao de entropia
∆S =
∫ (^) T 2
T 1
Cp T
dT =
∫ (^) T 2
T 1
A + BT
T
dT =
∫ (^) T 2
T 1
A
T
+B)dT = A ln
T 2
T 1
+B(T 2 −T 1 )
Exerc´ıcio 5. Admitimos que volume do corpo seja mantido constante. Sob essa condi¸c˜ao, o corpo passa de um estado inicial a temperatura T 1 para um estado finala temperatura T 0. Durante esse processo h´a uma varia¸c˜ao da energia interna ∆U e uma varia¸c˜ao da entropia ∆S que s˜ao determinados por meio de um processo isoc´orico:
∆U =
∫ (^) T 0
T 1
CdT = C(T 0 − T 1 )
∆S =
∫ (^) T 0
T 1
C
T
dT = C ln
T 0
T 1
A varia¸c˜ao total da energia ∆Utotal, do reservat´orio mais o sistema, ´e dada por ∆Utotal = QRT + ∆U
em que QRT ´e o calor recebido pelo reservat´orio t´ermico. A varia¸c˜ao total da entropia Stotal vale
∆Stotal = ∆SRT + ∆S =
QRT
T 0
+ ∆S
Substituindo esse resultado na equa¸c˜ao para a varia¸c˜ao total da entropia
∆Stotal = C ln
(T 1 + T 2 )^2
4 T 2 T 1
Para mostrar que ∆Stotal ≥ 0 basta demonstrar que o argumento do loga- ritmo ´e maior ou igual `a unidade, isto ´e, provar que
(T 1 + T 2 )^2 ≥ 4 T 1 T 2
Mas essa desigualdade ´e equivalente `a desigualdade
(T 1 − T 2 )^2 ≥ 0
que ´e sempre v´alida.
b) O m´aximo trabalho ´e obtido quando ∆Stotal = 0, ou seja quando
T 1 T 2 = T 02 → T 0 =
√ T 1 T 2
Substituindo esse resultado na express˜ao para a varia¸c˜ao total da energia, obtemos
Wmax = −∆Utotal = C(T 1 + T 2 − 2 T 0 ) = C
( T 1 + T 2 − 2
√ T 1 T 2
)
No caso (a), a temperatura final ´e a m´edia aritm´etica e, no caso (b), a temperatura final ´e a m´edia geom´etrica. Mas a m´edia aritm´etica ´e sempre maior ou igual `a m´edia geom´etrica. De fato
(T 1 + T 2 )^2 ≥ 4 T 1 T 2 →
(T 1 + T 2 ) ≥
√ T 1 T 2
Portanto, a temperatura final ´e maior no primeiro caso.
Exerc´ıcio 7. A varia¸c˜ao total da energia
∆Utotal = C(T 0 − T 1 ) + C(T 0 − T 2 ) + C(T 0 − T 3 )
A varia¸c˜ao total da entropia
∆Stotal = C ln
T 0
T 2
T 0
T 1
T 0
T 3
= C ln
T 03
T 1 T 2 T 3
a) Quando os corpos s˜ao colocados em contato t´ermico direto, ∆Utotal = 0, e portanto
T 0 =
(T 1 + T 2 + T 3 )
∆Stotal = C ln
(T 1 + T 2 + T 3 )^2
27 T 3 T 2 T 1
b) O m´aximo trabalho ´e obtido quando ∆Stotal = 0, ou seja quando
T 1 T 2 T 3 = T 03 → T 0 = (T 1 T 2 T 3 )^1 /^3
Substituindo esse resultado na express˜ao para a varia¸c˜ao total da energia, obtemos
Wmax = −∆Utotal = C(T 1 +T 2 +T 3 − 3 T 0 ) = C
( T 1 + T 2 + T 3 − 3(T 1 T 2 T 3 )^1 /^3
)
Exerc´ıcio 8 Primeira parte. Varia¸c˜ao de energia do corpo
∆U =
∫ (^) T 0
T 1
CdT = C(T 0 − T 1 )
Varia¸c˜ao de entropia do corpo
∆S =
∫ (^) T 0
T 1
C
T
dT = C ln
T 0
T 1
Varia¸c˜ao de energia dos reservat´orios
∆UR = Q 1 + Q 2 + ... + Qn Qj = C∆T
e portanto ∆UR = Cn∆T = C(T 1 − T 0 ) = −∆U
Varia¸c˜ao de entropia do corpo
∆SR =
Q 1
T 0 + (n − 1)∆T
Qn− 2 T 0 + 2∆T
Qn− 1 T 0 + ∆T
Qn T 0
∆SR = C∆T
( 1 T 0 + (n − 1)∆T
T 0 + 2∆T
T 0 + ∆T
T 0
)
Exerc´ıcio 10. A solu¸c˜ao deste exerc´ıcio ´e an´aloga `a do anterior. Substitu- imos a expans˜ao
S(U, V ) = S 0 + S 1 ∆U + S 2 ∆V +
S 11 (∆U )^2 + S 12 ∆U ∆V +
S 22 (∆V )^2
no princ´ıpio da m´axima entropia na forma
S − S 0 −
T 0
∆U +
p 0 T 0
∆V ≤ 0
para obter 1 2
S 11 (∆U )^2 + S 12 ∆U ∆V +
S 22 (∆V )^2 ≤ 0
Colocando ∆V = 0, conclui-se dessa desigualdade que S 11 ≤ 0. Colo- cando ∆U = 0, conclui-se que S 22 ≤ 0. Colocando ∆U = μ∆V , obt´em-se
S 11 μ^2 + 2S 12 μ + S 22 ≤ 0
desigualdade que deve ser v´alida para qualquer valor de μ o que ocorre se
S 122 − S 11 S 22 ≤ 0
