Estudo da reta: Intersecções de retas e planos, Notas de estudo de Urbanismo

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Elementos Principais de Geometria Descritiva

Alexandre Kawano Jo˜ao Petreche

22 de Agosto de 2000

Conte ´udo

Cap´ıtulo 3

Planos

3.1 Objetivos

Prosseguiremos analisando os principais elementos da Geometria Descritiva. Ver- mos agora “planos”, e suas relac¸ ˜oes com pontos e retas que vimos no cap´ıtulo 2. Temos agora trˆes elementos; assim o n´umero de combinac¸ ˜oes, interrelac¸ ˜oes en- tre eles, ´e necessariamente maior que quando t´ınhamos apenas pontos e retas para estudar. Concretamente, as relac¸ ˜oes a ser estudadas s˜ao:

• Intersecc¸˜ao de plano com os quadros de projec¸ ˜ao π 1 e π 2.
• Pertinˆencia de ponto a plano;
• Intersecc¸˜ao de plano com plano;
• Intersecc¸˜ao de reta e plano. Esses itens s˜ao os que veremos nas sec¸ ˜oes seguintes.

3.2 Intersecc¸ ˜ao de plano com os quadros de projec¸ ˜ao

A intesecc¸˜ao de um plano qualquer com um quadro de projec¸˜ao se chama trac¸o. Assim, a intersec¸˜ao de um plano α com π 1 se chama trac¸o de α em π 1 e ´e simbo- lizado por α ∩ π 1. Caso an´alogo acontece com a intesecc¸˜ao com π 2 (veja figura 3.1). Se vocˆe atentar bem, α∩π 1 e α∩π 2 , que s˜ao retas, se interseptam em um ponto P 1 pertencente `a linha de terra. Isso deveria realmente acontecer, pois a linha de terra ´e resultado da intersecc¸˜ao π 1 ∩ π 2 , e interesecc¸˜ao de reta e plano ´e um ponto. Da´ı:

(π 1 ∩ π 2 ) ∩ α = P (π 1 ∩ α) ∩ (π 2 ∩ α) = P (^1) A rigor, {P}, mas vamos relaxar.

Quadro de proje

ção

π^1

Quadro de proje

ção

π 2

Plano no espaço

Traços

P α (^) ∩ π 1

α^

π^2

Figura 3.1: Trac¸os de um plano no espac¸o.

A ´epura fica ent˜ao como a figura 3.2. A figura 3.2 ´e realmente importante. Note que cada trac¸o do plano α, que s˜ao retas, tem duas projec¸ ˜oes. Por exemplo, a reta α ∩ π 1 tem as projec¸ ˜oes (α ∩ π 1 ) 1 e (α ∩ π 1 ) 2. Ocorre que a reta (α ∩ π 1 ) 1 est´a exatamente sobre o plano π 1 e a reta (α∩π 2 ) 2 , exatamente sobre π 2. Ent˜ao, para evitarmos confus˜ao de linhas, s´ımbolos e ´ındices, convencionaremos que quando um elemento geom´etrico (ponto, reta, plano, figura, etc.) estiver sobre^2 um dos planos de projec¸˜ao 3 , representaremos apenas a projec¸˜ao mais significativa, ou seja aquela que n˜ao coincidir com a linha de terra. Deste modo, como essa simplificac¸˜ao, a ´epura da figura 3.2 fica sendo como mostrada na figura 3. Um plano no espac¸o fica definido quando s˜ao dados trˆes de seus pontos, um ponto e uma reta a ele pertencentes; duas retas coplanares; sua normal (lembra-se do curso de Algebra Linear´ ?) e um ponto, uma reta contida no plano e o requisito de que o plano deve ser paralelo a uma outra reta, etc, etc, etc. Realmente, existem v´arias formas de se especificar um plano no espac¸o, mas convencionaremos que um plano somente ´e conhecido se os trac¸os nos planos de projec¸˜ao s˜ao dados.

(^2) Um ponto pertence a um plano e retas, planos e figuras est˜ao contidas em um plano (^3) Se um elemento est´a sobre um dos planos de projec¸˜ao, ent˜ao sua projec¸˜ao sobre o outro plano ser´a coincidente com a linha terra

Traços plano

A

B

C

Traços retas

Traços retas

Figura 3.4: Trac¸os de um plano e trac¸os de retas nele contidas.

Exerc´ıcio 1: Determinar os trac¸os do plano α definido pelos pontos A , B e C indicados na ´epura abaixo.

.

.

A 1

A 2

B 1

B 2

C 1

C 2

3.3 Pertinˆencia de ponto a plano

Para se determinar se um ponto P pertence a um plano α, deve-se recair primeiro no problema da pertinencia de ponto a reta. Seˆ r ⊂ α e P ∈ r, entao˜ P ∈ α.

Exerc´ıcio 2: Seja α dado pelos seus trac¸os nos planos de projec¸˜ao. Fornec¸a uma reta qualquer r contida em α e seus trac¸os.

2

α^1 ∩ (^) π 1

α^ ∩

π^2

Exerc´ıcio 3: Verifique se o ponto P pertence `a α.

2

α^1 (^) ∩ (^) π 1

α^ ∩

π^2 P 1

P 2

Um problema natural que pode surgir para vocˆe e a determinac´ ¸ ˜ao do ponto de uma determinada reta que tem distanciaˆ zero a um plano, ou seja, a intersecc¸˜ao

α ∩^1

(^) π 1

α^ ∩

π^2

β^

π

1

β (^) ∩ (^) π 2

A 1

B 2

B 1

A 2

(α ∩ β) 2

(α ∩ β) 1

Figura 3.6: Intersecc¸ ˜ao de dois planos: soluc¸˜ao

Exerc´ıcio 4: Sejam dois planos α e β e uma reta r ⊂ β. Determine r ∩ α.

2

β (^) ∩^1 (^) π 1

β^ ∩

π^2

α

π 1

α (^) ∩ (^) π 2

A 1

B 2

B 1

A 2

r 2

r 1

No ´ultimo exerc´ıcio, voce deve ter concluido que a interseccˆ ¸˜ao r ∩ α ´e dada por r ∩ (α ∩ β), sendo que α ∩ β foi determinado em exerc´ıcio anterior. A grande lic¸˜ao e que para se determinar a intersecc´ ¸˜ao de uma reta com um plano, ´e funcamental ter `a disposic¸˜ao um plano que passe pela reta. Se esse plano nao˜ e dado, criamos um em uma posic´ ¸˜ao arbitr´aria^5.

3.5 Intersecc¸ ˜ao de reta com plano

Da ultima sec´ ¸ ˜ao tiramos que para se determinar a intersecc¸˜ao de reta com plano, e necess ´ ario primeiro criarmos um plano que contenha a reta.´ Existem infinitos planos, basta escolher um! Suponha que seja dada uma reta no espac¸o e seja pedido que se passe um plano qualquer por ela. Pensando em termos de epura, a´ unica restric´ ¸˜ao ´e que os trac¸os do plano passem pelos trac¸os da reta nos planos de projec¸˜ao. So.´

Exerc´ıcio 5: Seja a reta r. De um plano arbitrˆ ario que contenha´ r.

2

1

r 2

r 1

Agora suponha que no exerc´ıcio anterior seja acrescido um plano α, e que seja pedido a intersecc¸˜ao de α com r. Sei que voce sabe resolver!ˆ

(^5) Arbitr´aria, e n˜ao “aleatoria´ ” como muitos estudantes dizem. Esse erro da at´ e arrepios!´

3.6 Exerc´ıcios Gerais

Exerc´ıcio 7: Sao dados tr˜ es planos no espacˆ ¸o. Pede-se a intersecc¸˜ao entre eles. Quais s˜ao as possibilidades para o resultado da intersecc¸˜ao?

Exerc´ıcio 8: Verifique se a reta r pertence ou nao ao plano˜ α dado pelos seus trac¸os.

1

r 2 2

r 1

α ∩ π 1

α ∩ π 2

Exerc´ıcio 9: Verifique se o ponto P pertence ou nao ao plano˜ α definido pelas retas r e s concorrentes.

1

2

r 1

r 2

s 1

s 2

P 1

P 2

Exerc´ıcio 10: Sao dados um plano˜ α e uma reta r ⊂ α. Determine a projec¸˜ao de r sobre o plano horizontal π 1.

1

2

r 2

α ∩ π 1

α ∩ π 2

Cap´ıtulo 4

M´etodos

4.1 Objetivos

Veremos agora m´etodos geom´etricos poderosos para atacar problemas mais dif´ıceis, e ao mesmo tempo que estudamos, voce verˆ ´a que a sua compreensao da Geome-˜ tria Descritiva aumenta. Se voce realmenteˆ aprender o conteudo dessa aula,´ ficara´ bem claro que a resoluc¸˜ao de problemas em Geometria Descritiva nao se baseia em˜ um amontoado de regras arbitr´arias, mas sim em operac¸ ˜oes bem fundamentadas na geometria projetiva. Concretamente, veremos dois metodos: Resoluc´ ¸˜ao de problemas na ´epura por rotac¸˜ao de objetos e por mudanc¸a de planos de projec¸˜ao.

4.2 Rotac¸ ˜oes

Um problema classico´ e a determinac´ ¸ ˜ao da verdadeira grandeza^1 de entes geom´etricos, como segmentos de reta e areas de pol´ ´ıgonos, quando estes est˜ao representados na epura. Suponha que voc ´ e deva obter o comprimento do segmentoˆ AB representado na epura da´ figura 4.1. Naturalmente, voce pode usar o teorema de Pitˆ ´agoras, mas queremos que vocˆe use m´etodos puramente geometricos (r´ egua e compasso). Como fazer?´ Uma sa´ıda seria rotacionar AB em torno de um eixo perpendicular a π 2 passando por B, ate que´ AB fique paraleloa π 1. Da´ı ´e s´o medir com a regua a projec´ ¸˜ao de AB na nova posic¸˜ao. A operac¸ ˜ao esta descrita na´ figura 4.2.

(^1) Vimos o que e verdadeira grandeza na aula de Geometria Cotada no primeiro semestre´

B 1

B 2

A 1

A 2

Figura 4.1: Segmento de reta na ´epura: obter sua VG.

eixo

Nova posição

linha de chamada

B 1

B 2

A 1

A 2

A 1 ′

A 2 ′

Figura 4.2: Rotac¸ ˜ao de Segmento.

necessariamente este eixo esta numa posic´ ¸˜ao conveniente, isto e, perpendicular ´ a π 2 , fazemos uma rotac¸˜ao de h e de toda a figura, de forma que h se posicione perpendicularmentea π 2. O segundo passo ´e rotacionar a figura em torno da nova posic¸˜ao de h. A operac¸ ˜ao e ilustrada na´ figura 4.3. Resolva novamente o exerc´ıcio da intersecc¸˜ao do cone, mas agora note que a reta r esta em uma posic´ ¸˜ao generica no espac´ ¸o.

reta horizontal

reta horizontal

(^8) reta horizontal

eixo

reta horizontal

new

new

new

new

new

new

Primeiro passo: Idenficar horizontal

Segundo passo: Rotacionar horizontal

new

newer

new (^) newer^5

new

new

new

new

V.G

Terceiro passo: Obter V.G.

Figura 4.3: Rotac¸ ˜ao de uma figura no espac¸o. (^36)