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Cap´ıtulo 2
Probabilidade axiom´atica
Uma das dificuldades em desenvolver uma teoria matem´atica das probabili- dades tem sido a de chegar a uma defini¸c˜ao simples e precisa o suficiente para usar em matem´atica, mas abrangente para ser aplic´avel a uma vasta gama de fenˆomenos. A busca de uma defini¸c˜ao amplamente aceit´avel levou quase trˆes s´eculos e foi marcado por muita controv´ersia. A quest˜ao foi finalmente resolvida no s´eculo 20, tratando a teoria das probabilidades em uma base axiom´atica. Em 1933, uma monografia do matem´atico russo A. Kolmogorov delineou uma abordagem axiom´atica que forma a base para a moderna teoria^1. Desde ent˜ao, as ideias foram aperfei¸coadas e um pouco da teoria das probabilidades ´e agora parte de uma disciplina mais geral conhecida como teoria da medida. Dedicaremos este cap´ıtulo `a defini¸c˜ao moderna da fun¸c˜ao de probabili- dade ou simplesmente probabilidade. Entendemos por defini¸c˜ao moderna a defini¸c˜ao axiom´atica e, portanto, defini¸c˜ao matematicamente fundamentada e proposta por A.N.Kolmogorov em 1933. Para entender a defini¸c˜ao moderna de probabilidades devemos compre- ender primeiro os conceitos de ´algebra e σ-´algebra de eventos aleat´orios e, ainda, entender uma situa¸c˜ao particular destes conjuntos quando aplicados estes conceitos na reta real, a chamada σ-´algebra de Borel.
2.1 Algebra e´ σ-´algebra de eventos aleat´orios
Vamos supor que a classe dos eventos aleat´orios possua certas propriedades b´asicas intuitivas, as quais ser˜ao primordiais para o desenvolvimento poste- rior da teoria das probabilidades. Se o espa¸co amostral n˜ao ´e enumer´avel,
(^1) A monografia de Kolmogorov, original em russo, est´a dispon´ıvel em tradu¸c˜ao ao inglˆes
como Fundamentos da Teoria da Probabilidade
34 CAP´ITULO 2. PROBABILIDADE AXIOM ATICA´
muitas vezes n˜ao ´e poss´ıvel encontrar fun¸c˜oes n˜ao triviais que me¸cam to- dos os conjuntos de Ω, enquanto que a aditividade ainda se mant´em. Neste caso, ´e necess´ario a medida, pelo menos, ser aplic´avel a uma grande classe de subconjuntos, esperando que o classe ´e grande o suficiente e de grande relevˆancia para os conjuntos que surgem na pr´atica. Tal cole¸c˜ao de sub- conjuntos ´e chamado de σ-´algebra, e devem satisfazer propriedades fechadas agrad´aveis. Lembremos que se dados dois eventos A e B no espa¸co amostral Ω, dize- mos que A ⊂ B se ω ∈ A implica que ω ∈ B. Em palavras, a ocorrˆencia de A implica a ocorrˆencia de B. A uni˜ao de dois eventos A e B ´e definida como A ∪ B = {ω : ω ∈ A ou ω ∈ B} e representa o evento de que pelo menos um dos dois eventos A ou B ocorrem. A interse¸c˜ao de dois eventos A e B ´e A ∩ B = {ω : ω ∈ A e ω ∈ B} e representa o evento de que ambos A e B ocorrem. Tamb´em, dois eventos A e B s˜ao disjuntos ou mutuamente exclusivos se A ∩ B = ∅, sendo ∅ o evento vazio. Isso significa que A e B n˜ao ocorrem simultaneamente. Para qualquer evento A, o complementar de A ´e Ac^ = {ω : ω ∈/ A} e representa o evento de que A n˜ao ocorre. Ainda temos que as opera¸c˜oes bin´arias ∪ e ∩ satisfazem as leis de distributivas: para quaisquer eventos A, B e C, temos que
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
e
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)·
Estas e outras propriedades de eventos foram estudadas na Se¸c˜ao 1.1. Acontece que muitas vezes ´e conveniente ou mesmo necess´ario transformar as combina¸c˜oes de eventos em formas alternativas. Nesse sentido propriedades interessantes s˜ao as chamadas Leis de Morgan 2.
Teorema 2.1 (Leis de Morgan). Sejam A e B eventos no mesmo espa¸co amostral Ω. Ent˜ao se satisfaz que
(a) (A ∪ B) c^ = A c^ ∩ B c^ ,
(b) (A ∩ B)c^ = A c^ ∪ B c^.
(^2) Augustus De Morgan (1806 - 1871), matem´atico e l´ogico inglˆes. Em particular, foi ele
quem definiu e introduziu o termo indu¸c˜ao matem´atica.
36 CAP´ITULO 2. PROBABILIDADE AXIOM ATICA´
Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao de (a) ´e evidente do item (b) na defini¸c˜ao 2.1, se Ω ∈ F, ent˜ao Ω c^ = ∅ ∈ F. Pela defini¸c˜ao de ´algebra de eventos, sabemos que A 1
A 2 ∈ F, ent˜ao (A (^1)
A 2 )
A 3 ∈ F. Por indu¸c˜ao,
∪^ n
i=
A (^) i ∈ F·
Observando que ∩n
i=
Ai =
( (^) n ∪
i=
Aci
) (^) c ,
segundo o item (b) da Lei de Morgan e, aplicando sucessivamente o item (b) na Defini¸c˜ao 2.1, temos que
∩ (^) n i=1 A^ i^ ∈^ F. Fizemos-no a pergunta de se ´algebras de subconjuntos de um espa¸co amostral n˜ao vazio sempre existem. Acontece que, quando Ω ´e finito sem- pre ´e poss´ıvel definir a ´algebra de todas as partes de Ω, isto ´e, F = P(Ω), este conhecido como conjunto potˆencia. Por exemplo, no Exemplo 2.1 onde Ω = {cara, coroa} temos F = P(Ω) = {∅, Ω, {cara}, {coroa}}. A classe P(Ω) tem 2 2 = 4 elementos, de modo que h´a 4 eventos aleat´orios associados a este experimento. No caso finito geral, se Ω tem n elementos, P(Ω) tem 2n elementos.
Exemplo 2.2. Se Ω = { 1 , 2 , 3 }, ent˜ao |P(Ω)| = 2 |Ω|^ = 2 3 = 8, estamos denotando cardinalidade ou n´umero de elementos de um conjunto por | · |. Neste caso
P(Ω) = {∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1 , 2 }, { 1 , 3 }, { 2 , 3 }, Ω}·
Exemplo 2.3. Seja Ω um espa¸co amostral. As seguintes classes de subcon- juntos de Ω s˜ao ´algebras:
(a) F 1 = {∅, Ω},
(b) F 2 = {∅, A, Ac^ , Ω}, sendo A ⊆ Ω,
(c) F 3 = P(Ω).
A demonstra¸c˜ao que as classes de conjuntos definidos acima s˜ao ´algebras ´e um exerc´ıcio para o leitor.
Quando Ω ´e finito uma ´algebra ´e uma classe adequada para o c´alculo de probabilidades. Isto deve-se a que uma ´algebra cont´em o evento imposs´ıvel, o evento certo, o evento contr´ario de qualquer evento que perten¸ca a classe, a
2.1. ALGEBRA E´ σ- ALGEBRA DE EVENTOS ALEAT ´ ORIOS´ 37
uni˜ao e interse¸c˜ao de eventos que perten¸cam `a classe, isto ´e, em regra todos os acontecimentos interessantes. No caso Ω infinito, mesmo que enumer´avel, uma ´algebra deixa de servir para a constru¸c˜ao de uma teoria que seja mais forte. Resulta que quando Ω ´e infinito existem acontecimentos interessantes expressos pela uni˜ao infinita de outros acontecimentos ou de acontecimentos elementares. Ent˜ao ao inv´es de utilizarmos ´algebra de eventos, deve-se utilizar σ-´algebra de eventos.
Defini¸c˜ao 2.2. Seja F uma classe de eventos aleat´orios definidos no espa¸co amostral Ω. Para que F seja uma σ-´algebra de eventos, deve satisfazer as condi¸c˜oes:
(a) Ω ∈ F,
(b) Se A ∈ F, ent˜ao Ac^ ∈ F,
(c) Se Ai ∈ F, para n = 1, 2 , · · · , ent˜ao
∪^ ∞
i=
Ai ∈ F.
Uma σ-´algebra ´e sempre uma ´algebra. Seja F uma σ-´algebra, ent˜ao se A, B ∈ F A ∪ B = A ∪ B ∪ B ∪ · · · ∈ F,
logo F ´e ´algebra. O contr´ario n˜ao ´e verdade, nem toda ´algebra ´e σ-´algebra.
Exemplo 2.4. Vamos considerar outro exemplo importante aqui, o espa¸co amostral associado a um n´umero infinito de jogadas de uma moeda. Seja
Ω = {ω = (ω 1 , ω 2 , · · · ) : ωj = 0 ou 1 }·
Pensamos em 0 como resultado coroa e 1 como cara. Para cada inteiro positivo n, seja
Ω (^) n = {(ω 1 , ω 2 , · · · , ω (^) n ) : ωj = 0 ou 1 }·
Cada Ω (^) n ´e um conjunto finito de 2 n^ elementos. Denotemos por Fn as σ- ´algebras consistindo de todos os eventos que dependem apenas dos primeiros n lan¸camentos. Mais formalmente, definimos Fn como a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos de A ⊂ Ω, tais que exista um E ∈ P(Ω) com
A = {(ω 1 , ω 2 , · · · ) : (ω 1 , ω 2 , · · · , ω (^) n ) ∈ E}·
2.1. ALGEBRA E´ σ- ALGEBRA DE EVENTOS ALEAT ´ ORIOS´ 39
Exemplo 2.6. Sejam F 1 e F 2 duas σ-´algebras definidas em Ω. Sejam Ω = { 1 , 2 , 3 }, F 1 = {∅, { 1 }, { 2 , 3 }, Ω} e F 2 = {∅, { 1 , 2 }, { 3 } Ω}. Observemos que F 1 ∪ F 2 = {∅, { 1 }, { 1 , 2 }, { 2 , 3 }, { 3 }, Ω},
e que o subconjunto { 2 , 3 } \ { 3 } = { 2 } ∈/ F 1 ∪ F 2.
No caso Ω finito P(Ω), o conjunto das partes de Ω ou conjunto potˆencia de Ω, ´e uma σ-´algebra. No caso Ω infinito, em especial cont´ınuo, a constru¸c˜ao de uma σ-´algebra de eventos Ω ´e mais complexa. Este assunto ser´a objeto de estudo sa Se¸c˜ao 2.1.1.
Defini¸c˜ao 2.3. Uma σ-´algebra F definida em Ω ´e m´ınima em rela¸c˜ao a todas as σ-´algebras que cont´em a classe de conjuntos C se satisfaz:
(a) C ⊆ F,
(b) Se G ´e uma outra σ-´algebra definida em Ω e C ⊆ G, ent˜ao F ⊆ G.
Exemplo 2.7. Seja Ω um espa¸co amostral enumer´avel. Nestas condi¸c˜oes sempre podemos construir duas σ-´algebras F 0 = {∅, Ω} e F 1 = P(Ω). Ob- servemos que se F ´e uma outra σ-´algebra definida em Ω, se satisfaz que F 0 ⊂ F ⊂ F 1. Assim, podemos dizer que F 0 ´e a menor σ-´algebra poss´ıvel e F 1 ´e a maior σ-´algebra poss´ıvel.
Devemos esclarecer que a menor σ-´algebra poss´ıvel F 0 sempre existe, mais isso n˜ao significa que F 0 seja sempre a σ-´algebra m´ınima. Observe que o conceito de σ-´algebra m´ınima depende da classe de conjuntos C.
Defini¸c˜ao 2.4 (σ-´algebra gerada). Seja Ω um espa¸co amostral e C uma classe de subconjuntos de Ω. Dizemos que σ(C) ´e uma σ-´algebra gerada por C se σ(C) cont´em C e ´e m´ınima em rela¸c˜ao a todas as σ-´algebras que cont´em C.
Exemplo 2.8. Sejam A, B ⊆ Ω tais que A ∩ B = ∅. Definamos a classe C = {A, B}. A menor σ-´algebra que cont´em a classe C ou σ-´algebra m´ınima que cont´em C ´e
σ(C) = {∅, A, B, (A ∪ B), (A ∪ B) c^ , A c^ , B c^ , Ω},
e, portanto, ´e a σ-´algebra gerada por C.
40 CAP´ITULO 2. PROBABILIDADE AXIOM ATICA´
Teorema 2.5. Sejam C 1 e C 2 duas classes de subconjuntos de Ω tais que C 1 ⊆ C 2. Ent˜ao σ(C 1 ) ⊆ σ(C 2 )·
Demonstra¸c˜ao. Sabemos que C 1 ⊆ C 2 ⊆ σ(C 2 ). Ent˜ao σ(C 2 ) ´e uma σ-´algebra que cont´em C 1 , portanto σ(C 1 ) ⊆ σ(C 2 ).
Exemplo 2.9. Sejam A, B, C ⊆ Ω disjuntos dois a dois. Definamos as classes C 1 = {A, B} e C 2 = {A, B, C}. Do Exemplo 2.8 temos que
σ(C 1 ) = {∅, A, B, (A ∪ B), (A ∪ B)c^ , A c^ , B c^ , Ω}·
E claro que^ ´ C 1 ⊆ C 2 e
σ(C 2 ) = {∅, A, B, C, (A ∪ B), (A ∪ C), (B ∪ C), (A ∪ B ∪ C), (A ∪ B)c^ , (A ∪ C) c^ , (B ∪ C) c^ , (A ∪ B ∪ C) c^ , A c^ , B c^ , C c^ , Ω},
portanto, σ(C 1 ) ⊆ σ(C 2 ).
Teorema 2.6. Se C ´e uma σ-´algebra, ent˜ao σ(C) = C.
Demonstra¸c˜ao. Sabemos que C ⊆ σ(C). Dado que C ´e σ-´algebra, ent˜ao σ(C) ⊆ C, o que demonstra a igualdade.
A interse¸c˜ao de σ-´algebras ´e uma σ-´algebra (ver Exerc´ıcio 18), isto per- mite definir de maneira diferente σ-´algebra gerada.
Teorema 2.7. Seja C uma classe de subconjuntos de Ω. A σ-´algebra gerada por C ´e
σ(C) =
{F : F ´e uma σ-´algebra e C ⊆ F}· (2.1)
Demonstra¸c˜ao. A σ-´algebra definida em (2.1) cont´em a cole¸c˜ao C e se G for uma σ-´algebra que contenha C, ent˜ao σ(C) ⊆ G. Isto mostra que σ(C) ´e uma σ-´algebra m´ınima em rela¸c˜ao a todas as σ-´algebras que cont´em a classe de conjuntos C e, portanto, a σ-´algebra em (2.1) ´e uma σ-´algebra gerada por C segundo a Defini¸c˜ao 2.4. A conclus˜ao da demonstra¸c˜ao ´e exerc´ıcio para o leitor.
42 CAP´ITULO 2. PROBABILIDADE AXIOM ATICA´
um Boreliano ´e um conjunto que pode ser obtido de um n´umero enumer´avel de conjuntos abertos aplicando-se as opera¸c˜oes ∩ e ∪, assim como o comple- mento um n´umero enumer´avel de vezes. O seguinte teorema carateriza os conjuntos reais abertos e ser´a de grande utilidade.
Teorema 2.8. Seja E ⊆ R um conjunto aberto. Ent˜ao existe, pelo menos, uma quantidade enumer´avel de intervalos abertos disjuntos Ik , k = 1, 2 , · · · , tais que
E =
∪^ ∞
k=
I (^) k ·
Demonstra¸c˜ao. A ideia ´e definir a rela¸c˜ao de equivalˆencia em E da seguinte maneira. Se a, b ∈ E, dizemos que a ´e equivalente a b, escrevemos a ∼ b, se o intervalo aberto (a, b) estiver contido em E. Esta rela¸c˜ao de equivalˆencia particiona E na uni˜ao de conjuntos disjuntos. N˜ao sabemos a priori se existe uma quantidade enumer´avel destes conjuntos. Assim sendo, denotemos estes conjuntos por I (^) k , k ∈ J, onde J ´e um conjunto de ´ındices qualquer. Obser- vemos que I (^) k , de fato, ´e um intervalo pelo seguinte motivo: se ak , b (^) k ∈ I (^) k , ent˜ao ak ∼ b (^) k de modo que o intervalo aberto (ak , b (^) k ) est´a contido em I (^) k. dado que a (^) k e b (^) k s˜ao arbitr´arios vemos que Ik ´e um intervalo. O pr´oximo passo ´e provar que I (^) k ´e um conjunto aberto. Seja x ∈ I (^) k , um elemento ar- bitr´ario. Dado que x ∈ E e E ´e aberto, sabemos existe um ϵ > 0 de maneira que (x − ϵ, x + ϵ) ⊆ E. Contudo, temos claramente que a ∼ x para todo a ∈ (x − ϵ, x + ϵ), o qual implica que a ϵ-vizinhan¸ca de x est´a contida em Ik. Portanto, I (^) k ´e um conjunto aberto, como requerido. Por ´ultimo, vamos mos- trar que h´a, no m´aximo, um n´umero enumer´avel de Ik. Isto resulta do fato de que, cada Ik deve conter pelo menos um n´umero racional. Uma vez que existem enumer´aveis n´umeros racionais, pode haver no m´aximo enumer´aveis intervalos I (^) k.
Em momento algum dizemos que B(R) seja o conjunto das partes dos reais ou, em outras palavras, n´os n˜ao provamos que n˜ao existam conjuntos reais que n˜ao sejam Borelianos. Exemplos de conjuntos reais n˜ao Boreli- anos podem ser encontrados em Royden (1988). De fato, n˜ao existe um procedimento simples para determinar quando um dado conjunto A ⊆ R ´e um Boreliano ou n˜ao. No entanto, uma maneira para entendermos melhor a σ-´algebra de Borel B(R) ´e demonstrando que ela pode ser gerada pelos intervalos da forma (−∞, a], isso ser´a provado no Teorema 2.10.
2.1. ALGEBRA E´ σ- ALGEBRA DE EVENTOS ALEAT ´ ORIOS´ 43
Antes disso apresentamos um resultado auxiliar.
Teorema 2.9. Sejam x, y ∈ R com x < y. Ent˜ao, podemos escrever:
1- (x, y] = (−∞, y] \ (−∞, x],
2- {x} =
∩^ ∞
n=
x −
n
, x
]
3- (x, y) = (x, y] \ {y},
4- [x, y] = (x, y] ∪ {x},
5- [x, y) = {x} ∪ (x, y] \ {y},
6- (x, +∞) = (−∞, x] c^.
Demonstra¸c˜ao. Exerc´ıcio.
Exemplo 2.10. Observemos que, segundo os resultados apresentados no Te- orema 2.9, para escrever o intervalo aberto (x, +∞) podemos utilizar uma sequˆencia de intervalos com extremos direitos divergentes. Assim, podemos escrever que
(x, +∞) =
∪^ ∞
n=
(x, x + n)·
Significa que qualquer seja y ∈ R tal que y > x ent˜ao
y ∈
∪^ ∞
n=
(x, x + n)·
As rela¸c˜oes apresentadas no teorema anterior ser˜ao frequentemente usadas nas demonstra¸c˜oes de resultados. A seguir demonstramos um teorema muito importante porque nos mostra uma forma de encontrar elementos de B(R).
Teorema 2.10. Seja I a classe dos intervalos I = {(−∞, a] : a ∈ Q}, Q ´e o conjunto dos n´umeros racionais. Ent˜ao, a σ-´algebra de Borel B(R) ´e gerada por I, isto ´e, B(R) = σ(I)·
2.1. ALGEBRA E´ σ- ALGEBRA DE EVENTOS ALEAT ´ ORIOS´ 45
Al´em da defini¸c˜ao estabelecida, existem outras formas equivalentes de gerar a σ-´algebra de Borel. Esse ´e o conte´udo do seguinte resultado.
Teorema 2.12. Estas σ-´algebras s˜ao todas idˆenticas a B(R).
1- σ({(x, y) : x ≤ y}).
2- σ({[x, y] : x ≤ y}).
3- σ({(x, y] : x ≤ y}).
4- σ({[x, y) : x ≤ y}).
5- σ({[x, +∞) : x ∈ R}).
Demonstra¸c˜ao. Apresentamos somente a demonstra¸c˜ao da primeira situa¸c˜ao, as outras situa¸c˜oes demonstram-se de maneira similar. Para demonstrar que B(R) = σ({(x, y) : x ≤ y}) verificamos as duas senten¸cas:
⊆ Primeiro (x, y) ∈ B(R), ent˜ao {(x, y) : x ≤ y} ⊆ B(R), portanto σ({(x, y) : x ≤ y}) ⊆ B(R).
⊇ Sabemos que (−∞, y] ∈ σ({(x, y) : x ≤ y}), devido a que (−∞, y] = (∞, y) ∪ {y} e (−∞, y) =
n=1 (x^ −^ n, y). Ent˜ao^ {(−∞, y] :^ y^ ∈^ R}^ ⊆ σ({(x, y) : x ≤ y}). Portanto B(R) ⊆ σ({(x, y) : x ≤ y}).
De forma equivalente, pode definir-se B(R) como a σ-´algebra m´ınima gerada por todos os subconjuntos abertos de R. Em ambos os casos, a σ- ´algebra gerada ´e B(R). E natural perguntar-se se `´ a cole¸c˜ao B(R) pertencem todos os subconjuntos de R, pergunta que nos fizemos atr´as. Mesmo com todos os esclarecimentos acerca dos conjuntos que pertencem a σ ´algebra de Borel a resposta ´e ne- gativa, ou seja, pode-se demonstrar que existem subconjuntos dos n´umeros reais que n˜ao pertence a B(R). A constru¸c˜ao de tais conjuntos n˜ao ´e simples e alguns exemplos podem ser consultados tamb´em em Halmos (1950) e Cohn (1980). Tamb´em ´e poss´ıvel considerar, se interessante for, a σ-´algebra dos conjun- tos de Borel restrita a uma por¸c˜ao dos n´umeros reais, por exemplo, restrita ao intervalo [0, 1] ⊂ R. Nesta situa¸c˜ao, a σ-´algebra de Borel em [0, 1] ´e a σ-´algebra gerada pela cole¸c˜ao dos conjuntos abertos em [0, 1], a qual pode ser pensada como a restri¸c˜ao de B(R) ao intervalo [0, 1], como demonstrado no pr´oximo teorema.
46 CAP´ITULO 2. PROBABILIDADE AXIOM ATICA´
Teorema 2.13. Suponhamos que Ω seja o espa¸co amostral e que Ω′^ ⊆ Ω. Ent˜ao
(a) se F ´e uma σ-´algebra de subconjuntos de Ω e F ′^ = {A ∩ Ω ′^ : A ∈ F}, temos que F ′^ ´e uma σ-´algebra de subconjuntos de Ω′^ e
(b) se a classe de subconjuntos C gera a σ-´algebra F em Ω e C ′^ = {A ∩ Ω′^ : A ∈ C}, temos que C ′^ gera a σ-´algebra F ′^ em Ω′^.
Demonstra¸c˜ao. Exerc´ıcio.
O conceito de σ-´algebra de Borel pode ser estendido para dimens˜oes mais elevadas.
2.2 Defini¸c˜ao axiom´atica de probabilidade
A no¸c˜ao cl´assica da teoria da probabilidade, que come¸ca com a no¸c˜ao de casos igualmente prov´aveis, dominou por 200 anos. Seus elementos foram postos em pr´atica no in´ıcio do s´eculo XVIII e permaneceram assim at´e o in´ıcio do s´eculo XX. Ainda hoje a probabilidade cl´assica ´e utilizada no c´alculo de probabilidades. No in´ıcio do s´eculo XX, muitos matem´aticos estavam insatisfeitos com o que viram como uma falta de clareza e rigor no c´alculo de probabilida- des. A chamada mais c´elebre de esclarecimento veio de David Hilbert^4. O sexto dos vinte e trˆes problemas ent˜ao em aberto que Hilbert apresentou ao Congresso Internacional de Matem´aticos, em Paris, em 1900, foi para tratar axiomaticamente a teoria das probabilidades. A teoria matem´atica da probabilidade, como a conhecemos hoje, ´e de origem relativamente recente. Foi A.N. Kolmogorov que axiomatiza a proba- bilidade em sua obra fundamental “Foundatins of the Theory of Probability” em 1933 (Kolmogorov, 1933). De acordo com este desenvolvimento, eventos aleat´orios s˜ao representados por conjuntos e probabilidade ´e apenas uma medida padronizada definida nesses conjuntos.
(^4) David Hilbert (1862-1943) foi um matem´atico alem˜ao. David Hilbert ´e um dos mais
not´aveis matem´aticos, e os t´opicos de suas pesquisas s˜ao fundamentais em diversos ramos da matem´atica atual. Hilbert ´e frequentemente considerado como um dos maiores ma- tem´aticos do s´eculo XX, no mesmo n´ıvel de Henri Poincar´e. Devemos a ele principalmente a lista de 23 problemas, alguns dos quais n˜ao foram resolvidos at´e hoje, apresentada em 1900 no Congresso Internacional de Matem´aticos em Paris.
48 CAP´ITULO 2. PROBABILIDADE AXIOM ATICA´
Demonstra¸c˜ao. Sejam A 1 , A 2 , · · · , A (^) n ∈ F disjuntos. Notemos inicialmente que P (∅) = 0, j´a que
P (Ω) = P (Ω ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ · · · ) = P (Ω) + P (∅) + P (∅) + · · ·
Definamos Ak = ∅, para k = n+1, n+2, · · ·. Ent˜ao A 1 , A 2 , · · · s˜ao disjuntos, logo
P
( (^) n ∪
k=
A (^) k
= P
k=
A (^) k
∑^ ∞
k=
P (A (^) k ) =
∑^ n
k=
P (A (^) k )+
= P (∅) + P (∅) + · · · =
∑^ n
k=
P (A (^) k )·
Exemplo 2.12. Vejamos duas situa¸c˜oes nas quais todo evento simples tˆem probabilidade um. Uma primeira situa¸c˜ao ´e quando Ω = {ω}, F = {∅, Ω}, P (∅) = 0 e P ({ω}) = P (Ω) = 1. Uma segunda situa¸c˜ao ´e considerando Ω = [0, 1], F = {∅, { 0 }, (0, 1], Ω}, P (∅) = P ((0, 1]) = 0 e P ({ 0 }) = P (Ω) = 1.
Percebemos que um modelo probabil´ıstico para um experimento, ou sim- plesmente um modelo probabil´ıstico, ´e constitu´ıdo de um conjunto n˜ao vazio Ω de resultados poss´ıveis, o espa¸co amostral, uma σ-´algebra F de eventos aleat´orios e uma probabilidade P definida em F. Agora vamos definir o conceito abstrato matem´atico de espa¸co de probabilidade.
Defini¸c˜ao 2.7. Um espa¸co de probabilidade ´e um trio (Ω, F, P ) onde:
(a) Ω ´e um conjunto n˜ao vazio de resultados poss´ıveis de um experimento,
(b) F ´e uma σ-´algebra de subconjuntos de Ω,
(c) P ´e uma fun¸c˜ao de probabilidade definida em F.
Devemos esclarecer que esta defini¸c˜ao significa que, uma vez escolhido o espa¸co amostral, somente aos subconjuntos deste que perten¸cam `a σ-´algebra F ser˜ao atribu´ıdos valores de probabilidade. Um outro esclarecimento que devemos fazer ´e que a fun¸c˜ao de probabilidade n˜ao ´e ´unica.
2.2. DEFINIC¸ AO AXIOM ˜ ATICA DE PROBABILIDADE´ 49
Exemplo 2.13. Seja o experimento o lan¸camento de uma moeda, o espa¸co amostral Ω = {cara, coroa} e F a σ-´algebra de todos os subconjuntos de Ω. Definamos a fun¸c˜ao de probabilidade como
P ({cara}) = 1/ 2 , P ({coroa}) = 1/ 2 ·
Ent˜ao P ´e uma probabilidade bem definida. Similarmente, podemos definir P ({cara}) = 2/ 3 e P ({coroa}) = 1/ 3 ou P ({cara}) = 1 e P ({coroa}) = 0. De maneira geral, podemos definir
P ({cara}) = p, P ({coroa}) = 1 − p (0 ≤ p ≤ 1)·
como sendo a fun¸c˜ao de probabilidade no espa¸co amostral Ω.
A importˆancia de todos os elementos do espa¸co de probabilidade fica claro no exemplo a seguir, no qual todo evento simples tˆem probabilidade zero.
Exemplo 2.14. Considere o espa¸co de probabilidade (Ω, F, P ), onde Ω = (0, 1), F denota a σ-´algebra de todos os subintervalos de Ω e P ´e a fun¸c˜ao de probabilidade que atribui a cada intervalo da forma (a, b), 0 < a ≤ b < 1 , o comprimento b − a. Este espa¸co de probabilidade est´a bem definido e ser´a considerado o espa¸co de probabilidade padr˜ao no intervalo (0, 1). No entanto, para cada n´umero real x ∈ (0, 1), o evento simples {x} tˆem probabilidade zero, segundo P. Isto significa que P ({x}) = 0. Para demonstrar isto, observemos que, para todo ϵ > 0
P ({x}) ≤ P
{(x − ϵ/2; x + ϵ/2)}
= ϵ,
logo P ({x}) = 0.
Vocˆe poderia pensar que, se o espa¸co amostral Ω fosse enumer´avel, seguir- se-ia que nem todo evento simples poderia ter probabilidade zero. Caso todo evento simples pertencesse `a σ-´algebra, vocˆe estaria correto. No entanto, n˜ao existe espa¸co amostral enumer´avel, nem mesmo finito, no qual todo evento simples tˆem probabilidade zero. Considere o seguinte caso: espa¸co amostral Ω = {a, b, c}, F = {∅, {a}, {b, c}, Ω} e a fun¸c˜ao de probabilidade
P (∅) = 0, P ({a}) = 0, P ({b, c}) = 1 e P (Ω) = 1·
E claro que esta axiom´^ ´ atica n˜ao foi a primeira proposta por´em, mostrou- se mais pr´atica e ´util do que teorias anteriores. Al´em disso, proporcionou um espa¸co de probabilidade preciso para cada experimento aleat´orio e criou um marco totalmente abstrato o qual possibilitou o desenvolvimento da te- oria moderna das probabilidades. Uma situa¸c˜ao interessante foi apresentada
2.2. DEFINIC¸ AO AXIOM ˜ ATICA DE PROBABILIDADE´ 51
Teorema 2.15. Seja (Ω, F, P ) um espa¸co de probabilidade. Uma fun¸c˜ao sa- tisfazendo os axiomas I e II na defini¸c˜ao de probabilidade e ainda finitamente aditiva ´e uma probabilidade se, e somente se, ´e cont´ınua no vazio.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que P ´e cont´ınua no vazio. Sejam A 1 , A 2 , · · · ∈ F disjuntos, queremos provar que
P
n=
An
∑^ ∞
n=
P (A (^) n )·
Seja A =
n=1 A^ n^ , ent˜ao^ A^ = (
∪ (^) k n=1 A^ n^ )^
n=k+1 An^ ) e, pela aditividade finita,
P (A) =
∑^ k
n=
P (A (^) n ) + P
n=k+
An
Seja B (^) k =
n=k+1 An^ , ent˜ao^ {B^ k^ }^
∞ n=k+1 ↘ ∅^ e, portanto, lim^ k→∞^ P^ (B^ k^ ) = 0. Logo lim (^) k→∞
∑k n=1 P^ (A^ n^ ) =^ P^ (A) e ent˜ao^ P^ (A) =^
n=1 P^ (A^ n^ ). Suponhamos agora P uma fun¸c˜ao de probabilidade, queremos provar que ´e cont´ınua no vazio. Sejam A 1 , A 2 , · · · ∈ F tais que A (^) n ⊇ A (^) n+1 e {A (^) n }∞ n=1 ↘ ∅, queremos provar que lim (^) n→∞ P (A (^) n ) = 0. Temos A 1 = (A 1 \ A 2 )
(A 2 \ A 3 )
A 1 =
∪^ ∞
k=
(A (^) k \ Ak+1 )
Cada Ak \ A (^) k+1 s˜ao disjuntos, ent˜ao
P (A 1 ) =
∑^ ∞
k=
P (A (^) k \ A (^) k+1 ),
portanto, a s´erie ´e convergente e
lim n→∞
∑^ n−^1
k=
P (A (^) k \ A (^) k+1 ) = P (A 1 )·
Pela aditividade finita
P (A (^) k \ A (^) k+1 ) = P (A (^) k ) − P (A (^) n+1 ),
52 CAP´ITULO 2. PROBABILIDADE AXIOM ATICA´
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P (A 1 ) = lim n→∞
∑^ n−^1
k=
P (A (^) k \ A (^) k+1 )
= lim n→∞
[P (A 1 ) − P (A (^) n )] ,
e ent˜ao lim n→∞
P (A 1 ) = 0·
Este teorema afirma que, se P ´e uma fun¸c˜ao de probabilidade e se {An } (^) n≥ 1 for uma sequˆencia de eventos que decresce para o vazio (Defini¸c˜ao 2.8), ent˜ao lim (^) n→∞ P (A (^) n ) = 0. Estamos agora em condi¸c˜oes de apresentar uma defini¸c˜ao axiom´atica alternativa de probabilidade.
Teorema 2.16. Seja (Ω, F, P ) um espa¸co de probabilidade. Os dois seguin- tes sistemas de axiomas s˜ao equivalentes:
Sistema I: P (A) ≥ 0 , para todo A ∈ F, P (Ω) = 1 e se {An } ∞ n= ´e uma sequˆencia de conjuntos disjuntos de F, ent˜ao P (
∑ (^) ∞^ n=1^ An^ ) = n=1 P^ (A^ n^ ), Sistema II: P (A) ≥ 0 , para todo A ∈ F, P (Ω) = 1, se {Ak } nk= ´e uma sequˆencia de conjuntos disjuntos de F, ent˜ao P (
∪ (^) n ∑ (^) n k=1^ A^ k^ ) = k=1 P^ (A^ k^ )^ e se^ {B^ n^ }^
∞ n=1 ´e uma outra sequˆencia de eventos em^ F^ que decresce para o vazio, ent˜ao lim (^) n→∞ P (B (^) n ) = 0.
Demonstra¸c˜ao. Exerc´ıcio.
Ent˜ao, para verificar se a fun¸c˜ao P ´e uma probabilidade em F, basta verificar os axiomas do sistema I ou os axiomas do sistema II apresentados no Teorema 2.16. Se o espa¸co amostral Ω for discreto e contiver ao menos n(< ∞) pontos, cada conjunto de um ´unico ponto {wk }, k = 1, · · · , n ´e um evento elementar e ´e suficiente atribuir probabilidade a cada {wk }. Ent˜ao, se A ∈ F, onde F ´e a classe de todos os subconjuntos de Ω,
P (A) =
w∈A
P ({w})·
