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Capítulo 8
Cascas, Tensões e Deformações
8.1 Sistema de Eixos
Uma estrutura tipo casca fina é uma estrutura para a qual uma das dimensões é
significativamente menor do que as outras duas e caracteriza-se pela forma da
superfície média, no caso da superfície média ser uma superfície de revolução a casca é
dita de revolução. À semelhança do que acontece com as vigas e com as placas o estado
de tensão não é considerado tridimensional, sendo usual considerar-se para efeitos de
equilíbrio, em lugar das tensões, esforços generalizados, os quais são obtidos
considerando a resultante das tensões ao longo da espessura da casca na direcção
normal à superfície média que passa pelo ponto.
Para efeitos de análise de tensões, uma casca fina é uma estrutura que materializa
uma superfície angulosa ou não que é a superfície média. O facto de se representar uma
casca pela sua superfície média implica que externamente se considerem duas
superfícies distanciadas entre si de um vector igual à espessura da casca, sendo a
superfície média o lugar geométrico dos pontos igualmente distantes dessas superfícies.
A fim de definir o estado de tensão num ponto é necessário definir um sistema de
eixos, o qual pode ser definido do seguinte modo: o eixo dos x 3 x 3 tem a direcção
normal à superfície média no ponto que estamos a considerar, os eixos dos x 2 x 2 e dos
x 1 x 1 estão no plano tangente à superfície média que passa pelo ponto e são ortogonais
entre si, como se representa na figura 8.1. Os eixos dos x 1 x 1 e x 2 x 2 permitem a
localização do ponto na superfície média.
X 1
X 2
X 3
Figura 8.1 : Sistema de Eixos.
A espessura da casca é designada por e. A superfície média é uma superfície de
curvatura dupla cujos raios de curvatura principais ocorrem nos planos Ox 1 x 3 e Ox 2 x 3 e
podem designar-se por R 1 e R 2 respectivamente.
eixo
θ
dθ
φ
R 1
R 2
dφ
R
Figura 8.2: Coordenadas Esféricas.
No caso de se tratar de uma casca de revolução, figura 8.2 podemos considerar
que a posição de um ponto sobre a casca fica definida pelos ângulos θ e φ e por uma
distância R. O eixo Ox 3 foi considerado coincidente com o eixo de revolução da casca e
3 2
2 3 11
e/ 2
e/ 2
11 dx R
R x N
= σ
−
De modo análogo se define o esforço unitário N 12 que corresponde à resultante
das tensões σ 12 ao longo da espessura, ou seja:
3 2
2 3 12
e/ 2
e/ 2
12 dx R
R x N
= σ
−
R 2
R 1
x (^3)
d (^3)
x 1 = const y 1
= const
σ 11
σ 13
σ 12 σ 21 σ 22
σ 23
e / 2
ds 2 ds (^1) e / 2
x (^3)
x (^1) x 2
dS´ 2
Figura 8.3: Tensor das Tensões.
Os esforços de membrana N 11 e N 12 foram definidos na secção x 1 = constante, no
caso de se considerar a secção, x 2 = constante, obtém-se os esforços unitários de
membrana N 22 e N 21 que são resultantes das tensões σ 22 e σ 21 e que são:
3 1
1 3 22
e/ 2
e/ 2
22 dx R
R x N
= σ
−
e
3 1
1 3 21
e/ 2
e/ 2
21 dx R
R x N
= σ
−
Nestas condições a simetria do tensor das tensões σ 12 = σ 21 não implica a
simetria do tensor dos esforços, N 12
≠ N
21
. No caso de se tratar de uma casca esférica
existe simetria do tensor dos esforços por ser R 1
= R
2
. No caso de ser possível
considerar que x 3
/R
1 e x 3
/R
2 são muito pequenos quando comparados com a unidade, a
variação do comprimento do arco ao longo da espessura não precisa de ser considerada.
Considerando este tipo de aproximação é possível considerar simetria dos esforços.
X 2
X 1
e
N 2 ds 1
T 2 ds 1 N 21 ds 1 N^12 ds^2
T 1 ds (^2)
N 1 ds (^2)
ds 1
N 2 ds 1
T 2 ds 1
N 21 ds (^1)
N 12 ds (^2)
T 1 ds (^2)
N 1 ds (^2)
ds (^2)
P 1
P 2
P 3
Figura 8.4: Esforços de Membrana e Transversos.
As tensões de corte distribuídas ao longo da espessura produzem esforços
transversos unitários que são definidos do seguinte modo:
X 2
X 1
e
ds 1
ds (^2)
P 1
P 2
P 3
M 22 ds (^1)
M 21 ds 1 M 12 ds 2
M 11 ds 2
M 22 ds (^1)
M 12 ds (^2)
M 11 ds 2
M 21 ds 1
Figura 8.5: Esforços de Flexão.
No caso de se tratar de uma casca fina de um material isotrópico e homogéneo é
possível considerar que x 3
/R
1 e x 3
/R
2 são muito menores que a unidade, sendo os
esforços definidos do seguinte modo:
22 3
e/ 2
e/ 2
12 3 22
e/ 2
e/ 2
11 3 12 12
e/ 2
e/ 2
N 11 = σ dx ;N =N = σ dx ;N = σ dx
− − −
23 3
e/ 2
e/ 2
13 3 2
e/ 2
e/ 2
T 1 = σ dx ;T = σ dx
− −
e
22 3 3
e/ 2
e/ 2
12 3 3 22
e/ 2
e/ 2
11 3 3 12 12
e/ 2
e/ 2
M 11 = σ x dx ;M =M = σ x dx ;M = σ x dx
− − −
As tensões resultantes no caso de se distribuírem uniformemente e linearmente ao
longo da espessura como se representa na figura 8.6 podem ser calculadas a partir dos
esforços unitários, do seguinte modo:
3
11 11 3 11 e
12 M x
e
N
σ = − 8.
sendo σ 11 definido num ponto a uma distância x 3 da superfície média.
N 11 / e 12 M 11 X 3 / e 3
Figura 8.6: Distribuição de Tensões ao Longo da Espessura.
As tensões σ 22 , σ 12 e σ 21 são definidas de modo análogo.
8.3 Deformações
A casca sujeita a esforços de flexão deforma-se sendo admissível considerar que
elementos lineares normais à superfície média da casca se mantêm lineares e que são
normais à superfície média flectida após o processo de deformação como se representa
na figura 8.7 a. No caso da casca estar sujeita só a esforços de flexão a superfície média
é indeformável. Os raios de curvatura da superfície média são R 1 e R 2 antes da
deformação e são R´ 1 e R´ 2 após a deformação. Considere-se um segmento no plano
Ox 1 x 3 , colocado a uma distância x 3 da superfície média, tem um comprimento não
deformado dl 1 e um comprimento deformado dl´ 1 quando a casca está sujeita à flexão,
como se representa na figura 8.7 a.
dl
dl 1 D x 3
R 1
(a)
dl
D x dl 1 3
R 1
(b)
ε 11 dl
ε =
2
3
2 2
3
22
R
x 1
R
R
x
No caso da casca estar sujeita a esforços de flexão e membrana, existe também
extensão da superfície média sendo a deformação ε 11 definida do seguinte modo:
1
1 1 11 d
d d
A
A ′ − A
ε = 8.
sendo ( ) ( )
1
11 1 1 3 1
1 3 1
3 1 R
d d ed R x R
d R x R
x d d 1 ′
+ε′ = − ′ = ′ −
A A
A
A
A A onde ε´ 11
representa a extensão da superfície média devida aos esforços de membrana, ou seja:
+ε′
ε′ ε = 1 1
11
1
3
3
1
3
11 11 R
R
R
x 1
x
R
x 1
e
+ε′
ε′ ε = 2 2
22
2
3
3
2
3
22 22 R
R
R
x 1
x
R
x 1
No caso de se considerar que a espessura é muito menor que o raio de curvatura,
pode considerar-se que x3/ R1 = x3/ R2 ≈ 0, podendo dar-se ás equações 8.14 a forma
seguinte:
11 11 3 1 1
11 11 3 x R
R
ε ε x =ε′ −χ
22 22 3 2 2
22 22 3 x R
R
ε ε x =ε′ −χ
onde χ 1 e χ 2 representam mudanças de curvatura.
Admitindo que é possível considerar estas expressões para as deformações e que
σ 33 << σ 11 e σ 22 , obtém-se atendendo à lei de Hooke as expressões seguintes para as
tensões:
11 [^1111 x 3 (^1122 )]
E
ε′ +υε′ − χ +υχ −υ
σ =
22 [^2222 x 3 (^2211 )]
E
ε′ +υε′ − χ +υχ −υ
σ = 8.
Substituindo estas expressões nas equações 8.2 e 8.5, tendo em conta que
x 3 /R 1 ≈ 0, constata-se que as extensões só contribuem para os esforços de membrana e
que curvaturas só contribuem para os esforços de flexão, obtendo-se por integração as
expressões seguintes:
( )
( )
2 11 22 22 2 11 1
Ee ;N 1
Ee N ε′ +υε′ −υ
ε′ +υε′ = −υ
M 11 = −D ( χ 11 +υχ 22 ) eM 22 =−D( χ 22 +υχ 11 ) 8.
onde D é o módulo de rigidez à flexão e é tal que:
( )
2
3
Ee D −υ
No caso mais geral de deformação têm de considerar-se os efeitos das tensões de
corte σ 12 que provocam a existência de esforço de membrana N 12 na superfície média
que tendem a produzir uma distorção que pode ser medida em termos de ε´ 12 e de um
momento torsor M 12 que tende a provocar uma mudança de curvatura de torção χ 12.
