Aula de Capitalização Simples: Definição, Variáveis e Cálculo, Notas de aula de Matemática Financeira

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Capitalização Simples

Equipe IGM

JUROS

• Esta é nossa primeira aula de matemática financeira em que trataremos de juros simples ou capitalização simples.
• Para começar esta aula, iremos definir o que é juro. Tal conceito está relacionado com a remuneração do capital emprestado. Por exemplo: Se uma pessoa empresta dinheiro para outra ela deverá exigir uma compensação por não ter a possibilidade de usar o próprio dinheiro neste momento.
• Tal compensação são os juros que serão recebidos. É a mesma coisa de cobrar alugue de uma casa que é sua, mas que outra pessoa está usando ao invés de você.

Identificando as variáveis

• Antes de prosseguir iremos definir quais são as variáveis que compõe este tipo de problemas. São elas:
• VP - valor presente - que pode ser tanto uma quantidade de dinheiro emprestado ou financiado hoje como também um capital investido em uma aplicação financeira.
• Outra é o VF – valor futuro – também chamado de montante que pode ser visto como o dinheiro que será utilizado para a quitação de um empréstimo ou alternativamente, como um dinheiro que será resgatado de uma aplicação financeira no futuro.
• Outra variável é o prazo, n, que se refere a quanto tempo o empréstimo ou investimento irá durar. Tal valor pode ser expressos em dias, meses, anos ou qualquer outra unidade de tempo.
• Temos também a taxa de juros, i, que se refere ao percentual da liberação do capital, seja para pagamento de financiamentos ou também como percentual que irá remunerar seus investimentos.
• E por fim, existe a variável juro, J, que significa quanto de dinheiro é cobrado de empréstimo ou quanto se ganha de dinheiro em uma aplicação financeira.

Resumindo

Analisando o problema

• Veja a representação a seguir:
• Temos uma linha do tempo onde o zero representa a data de hoje e os números de um a cinco os meses que se passarão até que se quite o empréstimo.
• Já sabemos que o empréstimo foi de 100 reais e não sabemos o valor que deveremos pagar ao final de cinco meses.
• Para calculá-lo precisamos da definição de capitalização simples apresentada na aula anterior

Taxa de juro incide sobe o capital inicial.

• Dessa forma deveremos calcular 3 por cento em cima do capital inicial de 100 reais chegando no valor de cento e três reais do saldo devedor do primeiro mês.

Os meses seguintes

• O que se nota é que todo mês a dívida irá aumentar em três reais como podemos ver nos seguintes meses: cento e nove reais no terceiro mês, cento e doze reais no quarto mês e cento e quinze reais no quinto mês, resultando em um valor final, para a quitação da dívida, de cento e quinze reais.

concluindo

• Veja, portanto, que em capitalização simples, a dívida aumenta de maneira constante, ou seja, nesse exemplo, três reais a cada mês.
• E a variável juro, representada por J?
• Ela será simplesmente a subtração do valor futuro de cento e quinze reais pelos 100 reais do valor presente.
• Tal valor é quanto de dinheiro se teve que pagar a mais, além dos cem reais emprestados.

Fórmulas

• Para isso vamos derivar cada uma destas três fórmulas necessárias para resolver exercícios de capitalização simples.
• Tomando por base o exemplo anterior, temos que o valor emprestado foi de 100 reais e este deverá ser quitado após cinco meses no valor de cento e quinze reais.
• Portanto, uma primeira fórmula que podemos obter é a dos juros que significa simplesmente a diferença entre o valor futuro (VF) e o valor presente (VP)
• Para o nosso exemplo, J é o valor futuro menos o valor presente, cento e quinze menos cem, que dá o juro de quinze reais.

Uma segunda fórmula

• Outra fórmula importante para o cálculo do juro advém do conceito de capitalização simples que diz que a taxa de juro incide sempre sobre o capital inicial.
• Desse conceito tiramos que para calcular J basta multiplicar os juros recebidos mensalmente pelo número de meses, de onde sai a fórmula J é igual ao valor presente vezes a taxa de juros multiplicado pelo número de meses.
• No exemplo seria: o valor J que é igual aos cem reais emprestado, vezes 0,03, que é a taxa de juros expressa em forma decimal (para chegarmos a este valor basta que a gente divida o valor de 3 por cem) multiplicado por cinco que é o número de meses. Isso dá um resultado de J igual a quinze reais.

A terceira fórmula

• Uma terceira e última fórmula interessante é aquela que aparece o valor futuro ao invés do juro.
• Tomemos o seguinte exemplo: uma situação em que tenha um valor futuro de 120 reais, uma taxa de juros de 4 por cento ao mês, um período de oito meses e eu quero saber o valor presente desta capitalização simples.
• Veja que com tais variáveis não é possível utilizar a fórmula do J pois nela não temos o valor futuro VF.

Continuando...

• Para que isto aconteça, vamos encontrar uma fórmula em que apareça o valor futuro (VF) para que seja possível resolver o problema acima.
• Vamos utilizar as duas fórmulas que já conhecemos: a primeira delas é
• Sabemos também que J é igual a diferença entre o Valor futuro (VF) menos o valor presente (VP)

Concluindo...

• Esta terceira fórmula também será bastante utilizada pois em vários problemas teremos o VF e não teremos os juros J.
• Para o nosso exemplo acima, aplicando a terceira fórmula teremos: cento e vinte, que é o valor futuro de 120 reais que devemos quitar, por exemplo, o empréstimo, que é igual a VP que é o valor do empréstimo tomado que nós não sabemos vezes um mais quatro por cento, também expresso na forma decimal, basta dividir o quatro por cem para chegar a este 0,04 vezes oito meses.
• Resolvendo esta equação, sempre lembrando que é preciso primeiro multiplicar o 0,04 por oito para depois somar o um, chegamos ao valor presente de 90 reais e noventa centavos, ou seja, poderia tomar emprestado este valor para depois de oito meses e sendo uma taxa de juros de capitalização simples de 4 por cento ao mês, este empréstimo seria quitado por 120 reais.

Resumindo