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Exercicios de Programação linear. 1.1 Resolução geométrica de problemas lineares. Exercicio 1.1.1 Para cada um dos casos a seguir indicados represente a ...
Tipologia: Notas de estudo
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ExercÌcio 1.1.1 Para cada um dos casos a seguir indicados represente a regi„o admissÌvel e determine os valores m·ximo e mÌnimo da funÁ„o z:
a) z = 2 x 1 + 3x 2 + 2 x 1 + x 2 1
x 1 2
2 x 1 x 2 5 x 1 + x 2 2
x 2 4
b) z = 2 x 1 x 2 + 5
x 1 0
x 2 0 x 1 x 2 1
x 1 + 2x 2 4
x 1 + 2x 2 5
ExercÌcio 1.1.2 Resolva graÖcamente os seguintes problemas de programaÁ„o linear
f) M in z = x 1 + x 2
2 x 1 + 3x 2 7 4 x 1 6 x 2 14
x 2
x 1 + x 2 2
x 1 0 x 2 0
ExercÌcio 1.1.3 Para a regi„o admissÌvel deÖnida por
x 1 + x 2 1
6 x 1 + 4x 2 24 x 2 2
x 1 0
x 2 0 obtenha a soluÁ„o Ûptima para cada um dos seguintes objectivos:
a) M ax z = x 1
b) M in z = x 1 + x 2
c) M in z = x 2
d) M ax z = x 2
e) M in z = x 1 x 2
f) M in z = x 1
g) M in z = x 1 + x 2
h) M in z = 3x 1 + 2x 2
ExercÌcio 1.1.4 Uma empresa produz dois tipos de cintos, A e B. Os lucros unit·rios respectivos s„o de 80 cÍntimos e 35 cÍntimos. Cada cinto do tipo A exige o dobro
do tempo necess·rio ‡ fabricaÁ„o de um cinto do tipo B. A empresa pode fabricar diariamente 1000 cintos tipo B. A quantidade de cabedal fornecido ‡ empresa È ape- nas suÖciente para fabricar diariamente 800 cintos. O cinto de tipo A necessita de uma Övela de luxo e sÛ se dispıe diariamente de 400 dessas Övelas. Para o cinto de tipo B pode-se dispor diariamente de 700 Övelas.
a) Formalize e resolva graÖcamente o problema.
b) Haver· alteraÁ„o da soluÁ„o Ûptima no caso do lucro unit·rio para os cintos de tipo A ser de um euro?
c) Suponha que era imposta uma produÁ„o de pelo menos 300 cintos de tipo B. Obtenha a nova soluÁ„o Ûptima.
ExercÌcio 1.2.1 Mostre que os seguintes conjuntos s„o convexos
a) S = f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) 2 R^3 : x 1 + 2x 2 x 3 = 4g
b) S = f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) 2 R^3 : x 1 + 2x 2 x 3 4 g
c) S = f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) 2 R^3 : x 1 + 2x 2 x 3 4 ^ 2 x 1 x 2 + x 3 6 g
d) S = f(x 1 ; x 2 ) 2 R^2 : x 2 jx 1 jg
e) S = f(x 1 ; x 2 ) 2 R^2 : x^21 + x^22 4 g
ExercÌcio 1.2.2 Mostre que se S 1 e S 2 s„o conjuntos convexos ent„o:
a) S 1 \ S 2 È convexo
b) S 1 S 2 = fx + y : x 2 S 1 ^ y 2 S 2 g È convexo
c) S 1 S 2 = fx y : x 2 S 1 ^ y 2 S 2 g È convexo
ExercÌcio 1.2.3 Determine graÖcamente os pontos extremos e as direcÁıes (se as houver) e direcÁıes extremas dos seguintes conjuntos:
a) S = f(x 1 ; x 2 ) 2 R^2 : x^21 + x^22 1 g
ExercÌcio 1.3.3 Uma empresa de refrigerantes tem que planear a sua produÁ„o para o prÛximo mÍs. Na composiÁ„o do refrigerante a fabricar a empresa utiliza trÍs variedades diferentes de fruta - Tipo I, II e III - com custos por kg de 12, 20 e 30 cÍntimos, respectivamente. Da fruta Tipo I extrai-se 0.35 litros de sumo por kg, enquanto que das frutas Tipo II e III se extraem, respectivamente, 0.4 e 0.6 litros por kg. Cada litro de refrigerante tem que apresentar pelo menos 90% de sumo de fruta e 1 mg de vitamina C. A fruta do Tipo I contÈm 0.5 mg dessa vitamina por kg, enquanto que a Tipo II contÈm 0.75 mg, e a Tipo III 1 mg tambÈm por Kg. Para manter o sabor agrad·vel, em cada 10 litros de sumo n„o pode haver mais de 8 Kg de fruta de Tipos I e II. Formalize um problema que permita ‡ empresa determinar a quantidade de fruta de cada tipo a utilizar para cada 10 litros de sumo fabricado, de modo a minimizar os custos.
ExercÌcio 1.3.4 Uma moeda deve ser cunhada numa liga contendo pelo menos 40% de prata e pelo menos 50% de cobre. Para o fabrico dessa liga est„o disponÌveis quatro tipos diferentes de outras ligas com as seguintes composiÁıes e custos (em euros por kg):
A B C D
%prata 30 35 50 40
%cobre 60 35 50 45
custo 3000 3200 4000 3500
Construa um modelo que permita obter a mistura das ligas A, B, C e D que corresponda ao custo mÌnimo.
ExercÌcio 1.3.5 Uma f·brica de tintas fabrica tintas para interior e para exterior usando dois tipos diferentes de matÈria prima A e B.
toneladas de matÈria prima por tonelada de tinta
exterior interior m·ximo disponÌvel
MatÈria prima A 1 2 6
MatÈria Prima B 2 1 8
AlÈm disso, uma pesquisa de mercado estabeleceu que por dia a procura de tinta interior n„o excede em mais do que 1 unidade a procura de tinta exterior e que n„o
s„o gastas mais do que 2 toneladas de tinta interior. A tonelada de tinta interior custa 2000 euros e a tonelada de tinta exterior custa 3000 euros. Sendo o objectivo maximizar o volume de vendas, qual dever· ser a produÁ„o di·ria de cada tipo de tinta?
ExercÌcio 1.3.6 Uma empresa produz dois produtos: comida para p·ssaros e co- mida para c„es. A empresa tem dois departamentos: mistura e empacotamento. Os requisitos em cada departamento para produzir uma tonelada de qualquer dos produtos s„o os seguintes:
Tempo por tonelada em horas Mistura Empacotamento
Comida de p·ssaro 0.25 0.
Comida de c„o 0.15 0.
Cada departamento dispıe de 8 horas por dia de trabalho. A comida de c„o È feita de trÍs ingredientes: carne, pasta de peixe e cereais. A comida de p·ssaro È feita de trÍs ingredientes: sementes, pequenos seixos e cereais. A composiÁ„o destes 5 materiais È a seguinte:
DescriÁ„o dos materiais em percentagens
ProteÌnas Carbohidratos Minerais Abrasivos Custo por ton.
Carne 12 10 1 0 600
Pasta de peixe 20 8 2 2 900
Cereais 3 30 0 0 200
Sementes 10 10 2 1 700
Pedras 0 0 3 100 100
Os requisitos mÌnimos da composiÁ„o dos dois produtos s„o os seguintes (em percentagem do peso total):
ProteÌnas Carbohidratos Minerais Abrasivos Sementes
C. de p·ssaro 5 18 1 2 10
C. de c„o 11 15 1 0 0
r·pido, em que uma toalha È lavada em 1 dia (o que quer dizer que uma toalha usada na segunda se encontra disponÌvel novamente para uso na quarta) e um serviÁo lento, em que uma toalha È lavada em 2 dias. Cada toalha lavada no serviÁo r·pido tem um custo de 1,5 euros, enquanto que no serviÁo lento tem um custo de 0,5 euros. De segunda a domingo s„o necess·rias, respectivamente, 110, 100, 160, 120, 180, 200 e 120 toalhas. No Öm de cada semana todas as toalhas s„o vendidas por 1 euro cada. Formule o problema de determinar a forma de se satisfazer as necessidades em toalhas, com um custo mÌnimo.
ExercÌcio 1.3.9 Um armazenista, que comercializa um determinado produto ali- mentar, deseja programar as suas compras para os primeiros 4 meses do ano: Janeiro, Fevereiro, MarÁo e Abril. O preÁo praticado pelo seu fornecedor habitual È de 100 u.m. por cada unidade de produto comprada nos 3 primeiros meses e de 150 u.m. por cada unidade comprada em Abril. O fornecedor habitual pode fornecer no m·- ximo 3500 unidades de produto por mÍs. Caso o armazenista deseje comprar mais do que esta quantidade, num determinado mÍs, poder· adquirir atÈ ao m·ximo de 1000 unidades a um outro fornecedor cujos preÁos s„o 25% mais elevados do que os praticados pelo fornecedor habitual. O armazenista pode criar stock do produto, sendo o custo de armazenagem por unidade e por mÍs de 40 u.m.. A procura a satisfazer pelo armazenista nos 4 meses È a seguinte: 1500, 3500, 4500, 4000. O stock em armazÈm no inÌcio de Janeiro È de 100 unidades. Sabendo que no Önal de Abril n„o deve existir qualquer stock de produto, construa um modelo de programaÁ„o linear que permita deÖnir o plano de compras Ûptimo.
ExercÌcio 1.4.1 Considere as seguintes restriÁıes de um problema de programaÁ„o linear:
x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 x 2 + x 4 = 0 xi 0 ; i = 1; ; 4
Determine todas as soluÁıes b·sicas do problema, indicando se s„o ou n„o admis- sÌveis e, em caso aÖrmativo, se s„o ou n„o degeneradas.
ExercÌcio 1.4.2 Considere o seguinte problema de programaÁ„o linear:
M ax z = 5x 1 3 x 2 x 1 x 2 2 2 x 1 + 3x 2 4 x 1 + 6x 2 = 10 x 1 0
Escreva o problema na forma standard.
ExercÌcio 1.4.3 Resolva os seguintes problemas de programaÁ„o linear atravÈs do algoritmo simplex:
a)
M ax z = 4x 1 + 3x 2 x 1 + x 2 3 4 x 1 + x 2 8 x 1 0; x 2 0
b)
M in z = 6 x 1 3 x 2 2 x 1 + 4x 2 720 4 x 1 + 4x 2 880 x 1 160 x 1 0; x 2 0
c)
M ax z = 2x 1 + 3x 2 4 x 1 + 2x 2 1 x 1 + 2x 2 6 x 1 0; x 2 0
ExercÌcio 1.4.5 Aplicando o mÈtodo das duas fases, resolva os seguintes problemas:
e) M in z = x 1 + x 2 3 x 1 + 2x 2 4 x 1 + 2x 2 6 x 1 2 x 2 4 x 1 0
ExercÌcio 1.4.6 Suponha que tem dois pontos extremos soluÁıes Ûptimas de um programa linear: X e Y. Demonstre que qualquer ponto da aresta que une X e Y tambÈm È soluÁ„o Ûptima.
ExercÌcio 1.4.7 Considere o seguinte quadro do simplex, correspondente a uma soluÁ„o intermÈdia na resoluÁ„o de um problema de maximizaÁ„o:
v. b·sicas x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
x 1 4 1 2 = 3 0 0 4 = 3 0
x 4 2 0 7 = 3 3 1 2 = 3 0
x 6 2 0 2 = 3 2 0 2 = 3 1
z 8 0 8 = 3 11 0 4 = 3 0
Sabendo que a inversa da matriz dos coeÖcientes das vari·veis b·sicas a que esta
soluÁ„o corresponde È B ^1 =
e que cTB =
h 1 3 1
i ,
formule o problema original.
ExercÌcio 1.5.1 Considere o problema
M in z = 3x 1 + 2x 2 x 1 x 2 1 x 1 + x 2 3 x 1 0; x 2 0
- z = x 1 + x - 2 x 1 x 2 - x 1 + x 2 - 3 x 1 + x 2 - x 1 - x 2 e)
M in z = 7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 4x 4 2 x 1 + 4x 2 + 7x 3 + x 4 5 8 x 1 + 4x 2 + 6x 3 + 4x 4 8 3 x 1 + 8x 2 + x 3 + 4x 4 4 x 1 0 ; i = 1; ; 4
ExercÌcio 1.5.4 Considere um problema de programaÁ„o linear em que o objectivo
È: M in z = 16x 1 + 10x 2 + 4x 3 : Seja A =
a matriz dos coeÖcientes
das suas restriÁıes. Quanto ao respectivo problema dual sabe-se que o vector dos
coeÖcientes das vari·veis na funÁ„o objectivo È
h 4 2 2
i , que a primeira vari·vel
de decis„o n„o tem restriÁ„o de sinal e que a segunda vari·vel de decis„o È positiva ou quando muito nula. AlÈm disso, sabe-se que na soluÁ„o Ûptima a terceira restriÁ„o do primal È veriÖcada 8 unidades acima do limite mÌnimo, a terceira restriÁ„o do dual È veriÖcada 9 unidades acima do limite mÌnimo, e as restantes restriÁıes do primal e do dual s„o veriÖcadas em igualdade. Deve determinar os valores de todas as vari·veis do primal e do dual (decis„o e afastamento), sem utilizar o algoritmo simplex para a resoluÁ„o do problema. JustiÖque teoricamente as suas conclusıes.
ExercÌcio 1.5.5 Ao resolver o problema de programaÁ„o linear
M in z = 6 x 1 5 x 2 0 : 2 x 1 + 0: 1 x 2 9 0 : 3 x 1 + 0: 1 x 2 6 0 : 3 x 1 + 0: 6 x 2 18 0 : 2 x 1 + 0: 2 x 2 14 x 1 0; x 2 0
a) EstabeleÁa o problema linear original.
b) Escreva o problema dual.
c) Escreva as soluÁıes Ûptimas do primal e do dual.
ExercÌcio 1.5.8 Considere o seguinte programa linear:
M in z = 3x 1 + 4x 2 x 1 + 2x 2 14 2 x 1 + x 2 9 7 x 1 + 6x 2 14 0 x 1 6; 0 x 2 6
a) Resolva-o graÖcamente, indicando com clareza quais os limites da regi„o admissÌvel.
b) Escreva o problema dual e, a partir do resultado da alÌnea anterior, diga quais as vari·veis que ser„o nulas na soluÁ„o Ûptima do problema dual.
c) Resolva o problema inicial usando a vers„o do mÈtodo simplex que achar mais conveniente e indique no gr·Öco que desenhou em a) o percurso efectuado pelo mÈtodo.
ExercÌcio 1.6.1 Resolveu-se o problema de programaÁ„o linear
Maximizar z = x 1 + x 2 sujeito a 2 x 1 x 2 0
x 1 + x 2 140
3 x 1 + x 2 300 x 1 0; x 2 0
e obteve-se a soluÁ„o Ûptima x 1 = 60; x 2 = 120 e z = 180. Entretanto pretende-se
fazer as seguintes alteraÁıes: alterar o termo independente para b(t) =
t
140 + t
300 t
e o custo de x 1 para c 1 (t) = 1 4 t. Para que valores de t a presente soluÁ„o continua a ser Ûptima?
ExercÌcio 1.6.2 Ao resolver o problema de programaÁ„o linear
Maximizar z = 2x 1 + x 2 x 3
sujeito a x 1 + 2x 2 + x 3 8
x 1 + x 2 2 x 3 4
x 1 0; x 2 0; x 3 0
a) Se for proposta uma nova actividade associada ‡ coluna a 6 =
h 1 2
iT e com lucro c 6 = 4, ser· essa actividade atractiva? Em caso aÖrmativo determine a nova soluÁ„o Ûptima.
b) Determine a nova soluÁ„o Ûptima no caso do coeÖciente de x 3 na segunda restriÁ„o mudar de 2 para 1.
c) Determine a nova soluÁ„o Ûptima no caso do coeÖciente de ser acrescentada a restriÁ„o x 2 + x 3 2 :
ExercÌcio 1.6.3 Para o seguinte problema
Maximizar z = x 1 + 32 x 2 + 2x 3
sujeito a x 1 + x 2 + x 3 20 x 1 + 12 x 2 + 32 x 3 15
x 1 0; x 2 0; x 3 0