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Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo
Capítulo 1: Números Reais
1.1- Conjuntos Numéricos
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto
N = { 1 , 2 , 3 , 4 ,...}.
Os números –1, –2, –3, –4, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos e o zero define o conjunto dos números inteiros que denotamos por
Ζ =^ {^0 , ± 1 ,± 2 ,± 3 ,± 4 ,...}.
Os números da forma q p , onde p e q são inteiros e q ≠ 0 são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. Denotamos por
Q = ; p ∈Ζ, q ∈ Ζ e q≠ 0 q p . Cada número racional q p possui, também, uma representação decimal. Para obtê-la, basta efetuar a divisão de p por q. Por exemplo: 0 , 416 , 12
0 , 142857 e 7
onde a barra acima dos algarismos indica que aquele grupo de algarismos repete-se indefinidamente. Dizemos, nesse caso, que se trata de uma dízima periódica. Observe que, dado o número racional q p , ao dividirmos p por q , temos, em cada passo da divisão, apenas um número finito de possibilidades para o resto, a saber, 0, 1, 2, ... , q – 1. Portanto, após no máximo q passos, chegaremos ao resto zero, que é o que ocorre com 4
, e a representação decimal será finita, ou repetiremos algum resto, que é o que ocorre com 12
e 7
, quando teremos uma representação decimal na forma de dízima periódica. Reciprocamente, se x possuir uma representação decimal finita ou for uma dízima periódica, então x será um número racional. Os exemplos a seguir podem ser generalizados para dízimas quaisquer e permitem entender como obter uma fração a partir de uma representação decimal. Exemplo 1 : 4
Exemplo 2 : Como x = 0 , 142857 possui um período de 6 dígitos, multiplicamos por 10^6 para obter 106 x = 142857 , 142857 .Assim, 10 6 x − x = 142857 ,demodoque( 106 − 1 ) x = 142857 eresulta 7
x = (^6) − = = = = =. Regra Geral : 999 ... 9
0 , 12 3 ... t^123^ t aaa a x = aaa a = , onde o denominador tem tantos dígitos iguais a 9 quantos forem os algarismos do período ( t , nesse caso).
Exemplo 3 : Como os dois primeiros dígitos da parte decimal de (^) x = 0 , 416 não fazem parte do período, multiplicamos x por 10^2 para obter 3
2
x = = + = + = + = ; portanto, 12
x = =. Existem números que não podem ser representados na forma q p , onde p e q são inteiros e q ≠ 0, ou seja, números cuja expansão decimal não é finita e nem periódica, tais como 2,101001000100001..., 2 = 1 , 41421 ..., π = 3 , 1415927 ..., e = 2 , 7182818 .... Estes^ números^ formam^ o^ conjunto^ dos^ números irracionais que denotaremos por Q C. Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotaremos por R = Q∪ Q^ C. Temos também os números da forma a + bi , onde a e b são números reais e (^) i^2^ = − 1 , que constituem o conjunto dos números complexos denotado por
C = { a + bi ; a ∈ R , b ∈ R ei = − 1 }.
Observação: As letras N, Q, R e C são as iniciais das palavras número (ou natural), quociente, real e complexo, respectivamente. A letra Z é a inicial da palavra zahl, que significa número em alemão.
1.2- O Corpo dos Números Reais
No conjunto dos números reais introduziremos duas operações, chamadas adição e multiplicação, as quais satisfazem os axiomas a seguir. A adição faz corresponder a cada par de elementos a, b ∈ R sua soma a + b ∈ R, enquanto a multiplicação associa a esses elementos o seu produto a. b ∈ R.
- Axiomas da adição A1. Associatividade: Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se (a + b) + c = a + (b + c). A2. Comutatividade: Quaisquer que sejam a, b ∈ R, tem-se a + b = b + a. A3. Elemento neutro: Existe 0 ∈ R tal que a + 0 = 0 + a = a, qualquer que seja a ∈ R. A4. Simétrico: Todo elemento a ∈ R possui um simétrico em R, denotado por –a, tal que a + (–a) = (–a) + a = 0. - Axiomas da multiplicação M1. Associatividade: Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se (a. b). c = a. (b. c). M2. Comutatividade: Quaisquer que sejam a, b ∈ R, tem-se a. b = b. a. M3. Elemento neutro: Existe 1 ∈ R tal que 1 ≠ 0 e a. 1 = 1. a = a, qualquer que seja a ∈ R. M4. Inverso multiplicativo: Todo elemento a ≠ 0 em R possui um inverso multiplicativo em R, denotado por a-1^ ou 1/a, tal que a. a-1^ = a-1. a = 1. D1. - Axioma da distributividade: Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se a. (b + c) = a. b + a. c e (a + b). c = a. c + b. c.
P.6. Se a, b ∈ R tais que a. b = 0 então a = 0 ou b = 0. Se a = 0, não temos nada a mostrar. Vamos supor, então, a ≠ 0. Assim existe a-1^ ∈ R e obtemos: a.b = 0 ⇒ a-1^ (a.b) = a-1.0 ⇒ (a-1.a).b = 0 ⇒ 1.b = 0 ⇒ b = 0. P.7. Se a, b, c ∈ R então, a – b = c ⇔ a = b + c. Temos: a – b = c ⇒ a + (–b) = c ⇒ [a + (–b)] + b = c + b ⇒ a + [(–b) + b] = b + c ⇒ a + 0 = b + c ⇒ a = b + c. a = b + c ⇒ (–b) + a = (–b) + (b + c) ⇒ a + (–b) = [(–b) + b] + c ⇒ a – b = 0 + c ⇒ a – b = c. P.8. Se a, b, c ∈ R, com b ≠ 0, então, c a bc b a = ⇔ =.. Temos:
...^ (^ .)^. (^ .).^. 1..
....... 1... 1 1 1 1 1 1 1 1 c b a a bc b a b bc ab b bc ab c c ab c ab b cb ab b bc a bc a b c b a = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − − − − − − − − P.9. Se a, b, c ∈ R então, a + c = b + c ⇒ a = b. Temos: a + c = b + c ⇒ (a + c) + (–c) = (b + c) + (–c) ⇒ a + [c + (–c)] = b + [c + (–c)] ⇒ a + 0 = b + 0 ⇒ a = b. P.10. Se a, b, c ∈ R, com c ≠ 0, então, a. c = b. c ⇒ a = b. Temos: a.c = b.c ⇒ (a.c).c-1^ = (b.c).c-1^ ⇒ a.(c.c-1) = b.(c.c-1) ⇒ a.1 = b.1 ⇒ a = b. P.11. Se a, b ∈ R então, – a = (– 1). a;
- ( – a) = a; (– a) b = a (– b) = – (a b); (– a) (– b) = a b.
- (–1).a + a = (–1).a + 1.a = [(–1) + 1].a = 0.a = 0; logo o simétrico de a é (–1).a, ou seja, – a = (–1).a.
- a + (–a) = 0; logo o simétrico de (–a) é a, isto é, – (–a) = a.
- (–a).b + a.b = [(–a) + a].b = 0.b = 0; logo (–a).b é o simétrico de a.b, isto é, (–a).b = – (a.b). a.(–b) + a.b = a.[(–b) + b] = a.0 = 0; logo a.(–b) é o simétrico de a.b, ou seja, a.(–b) = – (a.b).
- (–a).(–b) = – [a(–b)] = – [ – (a.b)] = a.b. P.12. Se a, b ∈ R então, a^2 = b^2 se, e somente se, a = ± b. Temos:
2 2 2 2 a = b ⇔ a − b = ⇔ a − b a + b = ⇔ a − b = ou^ a + b = 0 ⇔ a = b ou^ a = − b.
1.4- Desigualdades e suas propriedades
- Axioma de Ordem No conjunto dos números reais, existe um subconjunto denominado de conjunto dos números positivos tal que as seguintes condições são satisfeitas: (i) dado a ∈ R, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou a = 0, ou a é positivo ou
- a é positivo; (ii) a soma de dois números positivos é positiva; (iii) o produto de dois números positivos é positivo.
- Definições
- O número real a é negativo se, e somente se, – a é positivo.
- Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos como segue: (i) a < b ⇔ b – a é positivo; (ii) a > b ⇔ a – b é positivo.
- Os símbolos ≤ (menor que ou igual a) e ≥ (maior que ou igual a) são definidos como segue: (i) a ≤ b ⇔ a < b ou a = b; (ii) a ≥ b ⇔ a > b ou a = b.
- Expressões envolvendo os símbolos <, >, ≤ ou ≥ são chamadas desigualdades. Expressões do tipo a < b e a > b são desigualdades estritas, enquanto a ≤ b e a ≥ b são desigualdades não estritas. - Propriedades Sejam a, b, c e d números reais. Temos: P.1. a > 0 ⇔ a é positivo a > 0 ⇔ a – 0 é positivo ⇔ a é positivo P.2. a < 0 ⇔ a é negativo a < 0 ⇔ 0 – a é positivo ⇔ – a é positivo ⇔ a é negativo P.3. a > 0 ⇔ – a < 0 a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ – a é negativo ⇔ – a < 0 P.4. a < 0 ⇔ – a > 0 a < 0 ⇔ a é negativo ⇔ – a é positivo ⇔ – a > 0 P.5. Se a ∈ R e a ≠ 0 então a^2 > 0. Em particular, 1 > 0. Como a ∈ R e a ≠ 0 temos, pelo axioma de ordem, que a > 0 ou – a > 0. Também pelo axioma de ordem obtemos que se a > 0 então a^2 = a.a > 0 e se – a > 0 então a^2 = a.a = (– a).( – a) > 0. Em particular, 1 ≠ 0 e 1 = 1^2 ; logo 1 > 0. P.6. Dados a, b ∈ R, ocorre exatamente uma das alternativas seguintes: ou a = b, ou a < b ou a > b. Sendo a, b ∈ R então b – a ∈ R e, pelo axioma de ordem, temos: ou b – a = 0, ou b – a > 0 ou – (b – a) > 0. Assim, ou a = b, ou a < b ou a > b. P.7. Se a < b e b < c então a < c. Temos: a < b e b < c ⇒ b – a > 0 e c – b > 0 ⇒ (b – a) + (c – b) > 0 ⇒ c – a > 0 ⇒ a < c. P.8. Se a < b então a + c < b + c. Temos: a < b ⇒ b – a > 0 ⇒ b + c – c – a > 0 ⇒ (b + c) – (a + c) > 0 ⇒ a + c < b + c.
- Geometricamente, o conjunto dos números reais pode ser visto como uma reta, através de uma correspondência entre os números reais e os pontos da reta. Para tanto, escolhemos um ponto arbitrário da reta, que denominamos origem, e uma unidade de medida. A origem fica em correspondência com o número 0 (zero). Na semi-reta da direita representamos os números reais positivos e, na semi-reta da esquerda, os números reais negativos. Essa reta, provida da origem e da correspondência com os números reais, costuma ser denominada reta real e denotada, também, por R. Na correspondência com a reta real, a < b significa que a fica à esquerda de b.
1.5- Valor absoluto de um número real
Se quisermos obter, para cada número real x , a distância entre x e a origem, devemos considerar os seguintes casos: Nos dois primeiros casos, dizemos que a distância entre x e 0 é o próprio x. No terceiro caso, a distância é – x.
- Definição O valor absoluto (ou módulo) de um número real x , denotado por x^ , é definido por:
x se x x se x x De acordo com a definição temos que se x ∈ R então x^ ≥^0 , e x^ =^0 se, e somente se, x = 0. Além disso, se x ∈ R, ou x e – x são ambos zero, ou um é positivo e o outro é negativo. Aquele, dentre x e – x , que não for negativo, é x^. Logo, x^ é o maior dos elementos x e – x , ou seja, x^ = máx { x , – x }. Temos, portanto, x^ ≥^ x e x^ ≥^ − x. Esta última desigualdade pode ser escrita −^ x^ ≤ x e obtemos − x ≤ x ≤ x. Pelo que vimos, geometricamente, o valor absoluto de um número real x é a distância entre x e 0 (zero). Para encontrarmos a distância entre dois números reais a e b quaisquer, devemos analisar três situações possíveis para pontos a e b arbitrários da reta real: No primeiro caso, como b − a > 0 , temos b^ −^ a = b − a ; no segundo caso, como b − a = 0 , temos
b − a = 0 = b − a ; no terceiro caso, como b − a < 0 , temos b − a = −( b − a ) = a − b. Assim, em qualquer
caso, temos b^ −^ a =distânciaentre a e b.
- Propriedades P.1. Para todo a ∈ R temos (^22) a = a. Como a^ é um dos elementos a ou -a então (^22)
a = a ou (^ )^
(^222) a = − a = a. Logo, a^2 = a^2 . P.2. Se a ∈ R então −^ a^ = a. Se a = 0 então –a = 0 e − a = 0 = a.
Se a > 0 então –a < 0; assim −^ a^ = −(^ − a )^ = a e a^ =^ a.
Se a < 0 então –a > 0; segue que −^ a^ = − a e a^ =^ − a. Portanto, − a = a. P.3. Se x = a então x = a ou x = – a , onde x , a ∈ R e a ≥ 0. Como x^ =^ a e x^ é um dos elementos x ou – x então x = a ou – x = a. Logo, x = a ou x = – a. P.4. Se a, b ∈ R e a^ =^ b então a = b ou a = – b. Como a^ = a ou – a, b^ = b ou – b e a^ =^ b então a = b ou a = – b. P.5. x^ <^ a se, e somente se, −^ a^ < x < a , onde x ,^^ a ∈^ R e a >^0. Temos:
x = max { x ,− x } < a ⇔ x < a e− x < a ⇔ x < a e x >− a ⇔ − a < x < a.
P.6. x^ ≤^ a se, e somente se, − a ≤ x ≤ a , onde x ,^^ a ∈^ R e a >^0. Demonstração análoga a P.5. P.7. x^ >^ a se, e somente se, x^ >^ a ou^ x < − a , onde x ,^^ a ∈^ R e a >^0. ( ) ( ) Se ecomo temos. Se então ecomo obtemos a. Como e ou então ou ; logo ou. ⇐ > ≥ > < − − > ≥ − > ⇒ > = − > − > > < − x a x x x a x a x a x x x x a x x x x a x a x a x a P.8. x^ ≥^ a se, e somente se, x^ ≥^ a ou^ x ≤ − a , onde x ,^^ a ∈^ R e a >^0. Demonstração análoga a P.7. P.9. Se a, b ∈ R então a^.^ b =^ a. b. Temos: a. b ( a. b ) a. b a. b ( a. b ) a. b a. b 2 2 2 2 2 2 2 = = = = ⇒ = ±. Como a^. b^ e a. b são reais não negativos obtemos a^.^ b =^ a. b.
Por exemplo: (^5 32) = 2 , pois 2 (^5) = 32 (^7 0) = 0 , pois 0 (^7) = 0 9 = 3 , pois 3^2 = 9^6 1 = 1 , pois 1^6 = 1 Conseqüências:
1. Da definição decorre que ( a ) a
n n =.
- Pela definição temos que (^36) = 6 e não (^36) = ± 6. Mas, − 3 8 = − 2 , − 4 = − 2 , ± 9 = ± 3 são sentenças verdadeiras, onde o radical não é o causador do sinal que o antecede.
- Note que no cálculo da raiz quadrada de um quadrado perfeito temos: a^2 = a. De fato, (^) a^2 é, por definição, o único número real positivo ou nulo que elevado ao quadrado resulta (^) a^2. Como 2 2 a = a e a^ ≥^0 , segue que a^2 = a.
Por exemplo, ( − 5 ) 2 = − 5 = 5 e não ( − 5 ) 2 = − 5.
1.6- Intervalos
- Definições Sejam a e b números reais, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R definidos a seguir são chamados intervalos:
[ ] { } ( ] { }
[ ) { } [ ) { }
( ] { } ( ) { }
R
ab x Ra x b a x Ra x ab x Ra x b a x Ra x ab x Ra x b b x Rx b ab x Ra x b b x Rx b −∞ + ∞ =
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [ a , b ] é um intervalo fechado, ( a , b ) é aberto,
[ a , b ) é fechado à esquerda, ( a , b ] é fechado à direita. Os cinco intervalos da direita são ilimitados: ( − ∞, b ] é a
semi-reta esquerda, fechada, de origem b; ( − ∞, b ) é a semi-reta esquerda, aberta, de origem b; [ a , + ∞) é a semi-
reta direita, fechada, de origem a; ( a ,+ ∞) é a semi-reta direita, aberta, de origem a; ( − ∞,+ ∞) pode ser
considerado aberto ou fechado. Quando a = b, o intervalo fechado [ a , b ] reduz-se a um único elemento
[ a , a ] = { a }, chama-se um intervalo degenerado, e os outros três intervalos da esquerda, neste caso, são vazios.
- Observações:
- Os símbolos – ∞ (leia-se menos infinito) e +∞ (leia-se mais infinito) não representam números reais.
- Todo intervalo não-degenerado é um conjunto infinito e contém números racionais e números irracionais.
1.7- Exemplos
- Encontre um número racional c e um número irracional d tais que a < c < d < b , para os números reais a e b dados, com a < b. a) 3
e 4
a = b = b) (^) a = 0 , 994327 e b = 0 , 994328 c) (^) a = 0 , 871479 e b = 0 , 8714799 ... d) a =^0 ,^10010001 ...e b =^0 ,^10010002
- “O resultado da soma de dois números irracionais é um número irracional.” Verifique se é verdadeira ou falsa essa afirmação, justificando sua resposta.
- Encontre os números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica na reta real. a) 2 + 3x < 5x + 8 b) 4 < 3x – 2 ≤ 10 c) 2 , 0
> x ≠ x d) 4 , 3 3
x x x e) (x + 3) (x + 4) > 0
- Resolva as seguintes equações: a) 3 x +^2 =^5 b) 2 x −^1 =^4 x +^3 c) 5 x +^4 = −^3 d) x^ +^2 x −^2 =^1 +^4 x
- Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades: a) x − 5 < 4 b) 4 , 2 2
x x x c) 3 x + 2 > 5
1.8- Exercícios
Páginas 10 e 11 do livro texto.
