Escoamento de Fluidos: Equações e Parâmetros, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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TRANSFERÊNCIA

DE CALOR II

TRANSFERÊNCIA DE CALOR

1. Convecção - conceitos e relações básicas 1.1. Escoamento sobre corpo 1.2. Escoamento no interior de duto 1.3. Equação do movimento 1.4 .Equação da energia 1.5 Parâmetros adimensionais 1.6 Camada limite cinética e térmica
2. Convecção forçada no interior de dutos 2.1. Escoamento laminar hidrodinamicamente e termicamente desenvolvido 2.2. Escoamento limar com desenvolvimento simultâneo 2.3. Escoamento turbulento no interior de tubos 2.4. Analogia entre transferência de calor e massa 2.5. Escoamento em torno de feixe de tubo
3. Convecção forçada em escoamento sobre corpos 3.1. Coeficiente de arraste no escoamento sobre uma placa plana 2.2. Coeficiente de TRC no escoamento sobre uma placa plana 2.3. Escoamento transversal em um cilindro circular isolado 2.4. Escoamento em torno de uma esfera isolada 2.5. Escoamento em torno de feixe de tubos
4. Trocadores de calor 4.1. Classificação dos trocadores de calor 4.2. Distribuição de temperatura mos trocadores de calor 4.3. Coeficiente de transferência de calor global 4.4. O método DTML para análise de trocadores de calor 4.5. Correção do DTML para trocadores com correntes cruzadas e multipasse 4.6. Método e-NUT para análise de trocadores de calor
5. Aulas de laboratório 5.1. Prática de convecção natural sobre uma placa plana vertical 5.2. Prática de convecção forçada sobre uma placa plana vertical 5.3. Prática de convecção natural sobre uma placa plana horizontal 5.4. Prática de convecção forçada sobre uma placa plana horizontal

υ = viscosidade cinemática do fluido

Re (^) x =força de inércia / forças viscosas

Para uma placa plana o número de Reynolds crítico que marca a transição de camada laminar para turbulenta é tido como RE (^) x =5x10^5 Comentar a figura 6.2 ( escoamento sobre corpo curvo)

1.1.2 Coeficiente de arraste e força de arraste

É sabido que a tensão de cisalhamento τx ao longo da superfície é dado por:

τx

( ) = (^) =

u x y y y

0

Na prática na engenharia a tensão de cisalhamento em força de arraste local τx por unidade de área está associada com coeficiente local de arraste Cx:

τx 2

∞^2

U

C (^) x

Igualando as duas equações acima teremos:

μ∂ ( )

u x y y y

∞^2

U

C (^) x

→ (^2 2) ∗ (^ , )^ = 0 ∞ x =^ y y

ux y U

C

onde :

( ) C U

u x y x (^) y y

2 0

Por definição o coeficiente de arraste médio é dado por Cm de 0 a L:

C

L

m C dxx

L = (^) ∫

0 De posse desse valor podemos calcular a força de arraste F em uma placa com 0 ≤ x ≤ L e largura W:

F

A

C

U

= (^) m

ρ ∞^2

→ F = LWCm (^ )

ρ U

N

Exemplo 6.

U x y ( ) U

y x

y x

∞

3

∂ ( )

U x y y y

( ) 0

3

2

2

y x

y

δ x δ

∂ ( )

U x y y y

U

x

∞

( ) C U

u x y x (^) y y

2 0

C

U

U

x

C

x x xU

∞

2

problema nos dá que:

x

x U

U

x

C (^) x

13

U ∞

x U 13

2

2 2

280

xU

U

C ( (^) x ) = (^) U x (^) U x

⇒ C (^) x = x

Re

x

L m Cxd L

C = (^) ∫ 0

⇒ C = (^) ∫ L m d

L

x

x

0

Re

( ) x

L m x d L U

C (^) ∫ − ∗ ∞

0

(^12) 280

( )

L C (^) m (^) L U x 0

∗ ∞∗^2 ∗

U L

L

L

C (^) m

C (^) ( m ) (^) ∗ U ∞∗ L

C (^) m x

Re

Assim conclui-se que o Cm é duas vezes maior que Cx. Pedir para eles fazerem o exemplo 6.

1.1.3 - Camada Limite Térmica:

O estudo é feito por analogia ao conceito da camada limite cinética:

Q = w.L hm.(T∞ -Tw) fazer exemplos 6.3 e 6.4.

=> Relação entre Cx e hx :

Dos problemas estudados verificamos que: C x x II 2

(^12)

− , Re e Nu (^) x = 0 332 (^2) x

(^13 ) , Pr Re I

Por definição o número de Stanton local Stx é:

( ) ∗ ∗ ∞

Cp U

h Stx x

= fluxo de calor para o fluido / capacidade de transferência de calor

Se reordenarmos a equação acima da seguinte forma:

( ) ( ) Stx

h

cp U

x k x k

h cp k

U x k x

x x

∗ ∗ ∞

Sabendo que:

k

hx x Nu k

U x cp x

;Pr ;

Re ; = = =

então PrRe

Re

( ) / hxx k Stx

hxx k Stx = => =

III

Nu Stx Pr∗Re

Substituindo I em III :

Stx = x

(^13 ) , Pr Re Pr Re

Stx (^) x^2 IV

23 1 0 , 332 Pr Re − − = =

igualando IV e II: C x x II 2 0 332

(^12) ∗

− ,

Re

C Stx C Stx C x x x Stx 2 0 332 (^) 0 332 2 3 2 2 3 2

(^2 ) ∗

− ⇒^ =^ − ⇒^ =^ ∗

, (^) , Pr Pr

Pr

Stx x IV 0 332

(^2 )

(^12)

, Pr

Re ∗

− =^ →

−

C

x Stx 2

(^2 ) = ∗ Pr

Essa relação recebe o nome de analogia de Reynolds-Colburn, ela relaciona o número Stx ( local) num escoamento laminar sobre uma placa plana, com o coeficiente de arraste local. Portanto através das medidas de arraste no escoamento laminar sobre uma placa plana pode- se chegar ao coeficiente de transferência de calor correspondente. Ë muito mais fácil fazer medidas de arraste do que medidas de transferência de calor. Para valores médios:

Pr^23 2

= Stm ∗

Cm *** aplicação somente, escoamento laminar, placa plana.**

Fazer exemplos 6.5 e 6.

1.2 - Escoamento no Interior de um Duto

O estudo sobre esse escoamento envolve os conceitos básicos já estudados em camada limite cinética.

1.2.1 - Camada Limite Cinética

O fluido ao entrar no tubo, começa a desenvolver uma camada limite cinética sobre a superfície da parede. Com a desaceleração das partículas próximas da parede a velocidade na parte axial do tubo aumenta para que se cumpra a continuidade do fluxo. Assim estabelece-se a região compreendida entre a entrada do tubo até a “região hidrodinamicamente de entrada”. Aí temos a variação da velocidade U (r,z) radial e axial. Depois dessa região temos a região de escoamento hidrodinamicamente desenvolvida, pois não temos mais a variação do perfil de velocidades ao longo do tubo U(r).

No escoamento em um tubo circular temos:

Re =

U (^) m ∗ D

Um → Velocidade média D → diâmetro interno do tubo Para a transição entre escoamento laminar e turbulento, temos: Re > 2300, turbulento.

1.2.2 - Camada Limite Térmica

Considerando um escoamento laminar no interior de um tubo circular sujeito a um fluxo de calor uniforme nas paredes: Definindo a temperatura adimensional como:

( )

( ) ( )

θ r z

T r z Tw z Tm z Tw z

T(r,z) - temperatura local do fluido Tw(z) - temperatura na parede do fluido Tm(z) - temperatura média de todo o fluido na área transversal do tubo (z)

1.2.3- Coeficiente de Transferência de Calor

= Q (^) x − Qx −

⎝⎜^

Qx x

∆ x (^) ⎟⎟ ⎠

• − − ∆ y y

Qy Q (^) y Qy

Qx x

∆ x

⎝⎜^

⎠⎟^

Qy y

∆ y

sabendo que (^) :

q k

T

x (^) x

e (^) q k

T

y (^) y

Q (^) x = qx ∗∆ y ∗ 1 e Q (^) y = qy ∗∆ x ∗ 1

I =

( ) (^ )^ x y y

T

k x y

T

k y x

q x y x

q (^) x y x y ⎥∆ ∆ ⎦

∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂

2 2

2 ∆ ∆ ∗ ⎥

= x y y

T

k x

T

I k

2 2

2 ∆ ∆ ∗ ⎥

= + x y y

T

x

T

I k

Se Fx e Fy forem as forças volumares que atuam por unidade de volume no elemento e u e v forem as componentes da velocidade nas direções x e y , respectivamente, o segundo termo II, fica:

II = Taxa de entrada de energia pelas = (uFx+vFy)∆x∆y* forças volumares

A taxa de entrada de energia no elemento de volume ∆x∆y*1 devido às tensões superficiais consiste nas contribuições das tensões, segundo o esquema:

A entrada de energia devido à tensão normal:

( ) ∆ ∗ 1 ⎭

− + + u ∆ x y x

u x u x σ x

σ σ = ( ) ∆∆ ∗ 1 ⎭

⎡ (^) u x y x x

A entrada de energia devido à tensão normal σy é:

( ) ∆ ∗ 1 ⎭

− + v ∆ y x y

v y v y σ y

σ σ = ( ) ∆ ∆ ∗ 1 ⎭

v x y y y

Da mesma forma as tensões cisalhantes serão:

( ) ∆ ∗ = ⎭

− +⎡^ + v ∆ x y 1 x

v xy v xy τ xy

τ τ (^ )^ ∆∆ ∗ 1 ⎭

v x y x xy

( ) ∆ ∗ = ⎭

− + + v ∆ y x 1 y

u yx u yx τ yx

τ τ (^ )^ ∆∆ ∗^1 ⎭

v x y y yx

Então:

Taxa de entrada de energia devido forças superficiais III

III= ( ) ( ) ( ) ∆∆ ∗ 1 ⎥

• • • u x y y

v x

v y

u x x y xy^ τ xy ∂

∂ τ ∂

∂ σ ∂

∂ σ ∂

∂

Finalmente o quarto termo é a energia contida no elemento de volume composta pela energia específica interna ‘e ‘, por unidade de área e pela energia cinética por unidade de massa de fluido.

( ) 1 2

ρ∗ ⎡^ e + u + v x y

A taxa de aumento dessa energia é obtida tomando-se a derivada total;

IV = Taxa aumento

de energia = ( ) 1 2

∗ ⎡^ + u + v x y Dt

D

Dt

De

do elemento

lembrando que y

v x

u Dt

D

= + para o caso em estudo.

Sendo assim, todos estas expressões são introduzidas no balanço de energia e combinando-as com as equações do momento e da continuidade fazendo uso da definição das tensões chegaremos na seguinte forma da equação de energia.

ρ

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

cp u μφ

T

x

v

T

y

k

T

x

T

y

⎟ =^ +^ +

2 2

2 2 →^ equação da energia

onde

2 2 2 (^2) ⎟⎟ ⎠

y

u x

v y

v x

u ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂

O significado físico do 1o^ termo é a transferência líquida de energia devida à transferência de massa. Do 2o^ termo: a transferência condutiva de calor, e do 3o^ termo, é a dissipação de energia no fluido, devido ao atrito interno.

1.2.5- Parâmetros adimensionais

Re =

U ∞∗ L

=> forças de inércia/ forças viscosas.

Pr =

=> difusividade molecular de momento/ difusividade molecular de calor.

Nu

h L k

=> transferência de calor por convecção / transferência de calor por condução.

Cp U

h St

=> fluxo de calor para o fluido (convecção) / capacidade transferência de calor do

escoamento do fluido.