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Orlando Frizanco
10 LOGARITMOS
Definição: Chama-se logaritmo de um número real e positivo N, em uma
base a, positiva e diferente da unidade, ao expoente real x que se deve elevar
essa base a para obter o número N.
E escreve-se:
log a N x
Lê-se: “Logaritmo de N na base a é igual a x”.
10.1 LOGARITMO COMO EXPOENTE
O conceito de logaritmo está associado à operação de potenciação:
mais precisamente à determinação do expoente.
Exemplo:
2 8 x 3
x
No caso, se diz que o logaritmo de 8, na base 2, é igual ao
expoente 3. Em símbolos:
log 2 8 3 , porque 2 8
3
Logo, calcular o log 2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve
elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8.
Então, por definição:
N x a N
x
log a
Onde:
a = base;
N = logaritmando ou antilogaritmo;
x = logaritmo.
A partir dessa definição as seguintes propriedades gerais podem
ser consideradas e que podem auxiliar no desenvolvimento de situações
que envolvem logaritmos
loga1 = 0 , o logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será
igual a 0, pois a
0 = 1.
logaa = 1, o logaritmo de qualquer número a na própria base a será
igual a 1, pois a
1 = a.
logaa
m = m, o logaritmo de uma potência da base é o expoente, em
Orlando Frizanco
qualquer base, pois m * logaa = m * 1 = m.
a
log a
b = b, a potência de base a e expoente logab é igual a b , pois
logab = x → a
x = b.
logab = logac ↔ b = c, dois logaritmos são iguais, quando seus
logaritmandos forem iguais.
Exemplos:
a) log 2 64 = 6, porque 2
6 = 64
b) log 3 81 = 4, porque 3
4 = 81
c) log 10 0,001 = – 3, porque 0,001 = 1 / 10
3 = 10
d) log 10 0,01 = – 2, porque 0,01 = 1 / 10
2 = 10
e) log 5 √25 = 2/3, porque 5
2/ = √
2
f) Log 5 1 = 0 porque 5
0 = 1
g) log 7 7 = 1 porque 7
1 = 7.
h) log 5 5
3 = 3, porque 3 * log 5 5 = 3 * 1 = 3.
Exercícios:
Calcular os logaritmos.
a) log 2 32 =
b) log 3 243 =
c) log 2 64 =
d) log 10 0,00001 =
e) log 10 0,000001 =
f) log 2 √4 =
g) log 3 √9 =
h) log 8 √64 =
i) log 7 1 =
j) log 12 12 =
k) log 7 7
5
10.2 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
Orlando Frizanco
Fatorando o 130, vem:
130 2 65 5 13 13 1 130 = 2^ 5
Logo:
log 130 2 , 114
log 130 0 , 301 0 , 699 1 , 114
log 130 log 2 log 5 log 13
log 130 log 2 log 5 log 13
log 130 log( 2 * 5 * 13 )
A seguir está mostrado como calcular os exemplos utilizando o SCILAB.
-->log10(21) ans =
-->log10(60) ans =
-->log10(130) ans =
-->
2ª Propriedade: Logaritmo do quociente.
x y
y
x log a (^) (^) log a log a
“O logaritmo de um quociente é igual o logaritmo do numerador menos o logaritmo do denominador”.
Exemplos:
- Calcular o valor do log 5/3, a partir dos valores de log 3 = 0,477, log 5 =
0,699.
Orlando Frizanco
log
log
log 5 log 3 3
log
^
A seguir está mostrado como calcular o exemplo, utilizando o SCILAB.
-->log10(5/3) ans =
-->
- A partir de log 2 = 0,301 obter log 5.
log 5 0 , 699
log 5 1 0 , 301
log 5 log 10 log 2
log 5 log
- Se x e y são reais positivos, decompor em parcelas log 2 (x/2y).
log log 1 2
log
log 1 log 2
log
log log 2 log 2
log
log (log 2 log ) 2
log
log log( 2 ) 2
log
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
x y y
x
x y y
x
x y y
x
x y y
x
x y y
x
3ª Propriedade: Logaritmo da potência.
x k a x
k log a (^) .log
“Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base”.
Orlando Frizanco
log 27 0 , 358
log 27
log 27
log 3 log 3 log 3 ) log 27
log( 3 * 3 * 3 ) log 27
log 27 log 27
4
4
4
4
4
4
A seguir está mostrado como calcular o exemplo acima, utilizando o SCILAB.
-->log10(sqrt(sqrt(27))) ans =
-->
- Calcular o valor do
4 log 3 27.
log 27 0 , 750
log 27
log 27
log 3 log 3 log 3 ) log 27
log( 3 * 3 * 3 ) log 27
log 27 log 27
4 3
4 3
4 3
(^4333) 3
(^43) 3
(^43) 3
Exercícios
- Calcular log 4
133 , a partir dos valores de log 2 = 0,301, log 3 =
0,477 e log 13 = 1,
A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009.
Vamos calcular o valor do log 3
4 , a partir do valor de log 3 = 0,477.
- Se x e y são reais positivos, usando as propriedades decompor em
parcelas log 2 (x/4y).
- Calcular o valor do log (27/2), a partir dos valores de log 2 = 0,301 e
log 3 = 0,477.
Orlando Frizanco
- A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 52 e log
- Calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0,477 e
log 7 = 0,845.
9.3 APLICAÇÕES DE LOGARITMOS
Os logaritmos são aplicados em várias áreas de conhecimento;
Matemática, Física, Biologia, Química, Medicina, e Geografia entre outras.
A seguir estão apresentados alguns exemplos de utilização das técnicas de
logaritmos para resolver problemas para variadas situações.
Exemplo 1 – Matemática Financeira
Uma pessoa aplicou a importância de R$ 1.500,00 em um banco que
paga juros mensais de 3,2%, no regime de juros compostos. Em quanto tempo
após a aplicação o montante será de R$ 4.500,00?
Solução: Neste caso, o uso de logaritmos é necessário. A fórmula para o
cálculo dos juros compostos é M = C * (1 + i)
n .
De acordo com o enunciado do problema, vem:
M (montante) = 4500 C (capital) = 1500 i (taxa) = 3,2% = 0, n =?
Aplicando na fórmula M = C * (1 + i)
n , vem:
4500 = 1500 * (1 + 0,032)
n
4500/1500 = 1,
n
1,
n = 3
Aplicando logaritmo em ambos os membros da equação, vem:
log 1,
n = log 3
n * log 1,032 = log 3
Utilizando a tecla log da calculadora científica, para obter os valores dos
logaritmos.
n * 0,0137 = 0,
n = 0,4771 / 0,
n = 34,
Resposta: O montante de R$ 4.500,00 será obtido após 34,8 meses de
Orlando Frizanco
Q = Q 0 * e
- rt
em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.
Solução: Aplicando os valores diretamente na fórmula dada, vem:
Q = Q 0 * e
- rt
Onde:
Q (Quantidade final da substância) = 50 g; Q 0 (Quantidade inicial da substância) = 500 g; e (Número e – Constante de Euler) = 2,7183… r (taxa de desintegração) = 1,5% t (tempo em anos) =?
50 = 500 * e
- 0,015t
50 / 500 = e
- 0,015t
1 / 10 = e
- 0,015t
Aplicando a definição de logaritmo, vem:
- 0,015 t = loge (1 / 10) - 0,015 t = loge ( - 1 ) - 0,015 t = – 1 * loge (10) - 0,015 t = – loge (10) multiplicando por ( – 1)
Como logaritmo na base e é logaritmo neperiano ( ln )
0,015 t = ln 10
t = ln 10 / 0,
t = 2,3025 / 0,
t = 153,
Resposta: A substância radioativa levará 153,5 anos para se reduzir a 50
g.
Exercícios
- Um investidor aplicou a importância de R$ 18.500,00 em um banco que
paga juros mensais de 3,8%, no regime de juros compostos. Em quanto tempo
após a aplicação o montante será de R$ 50.000,00?
- A quantidade de erros de transmissão em uma determinada rede de
computadores vem crescendo a uma taxa de 15% ao mês, aproximadamente. Em
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quantos meses a quantidade de erros de transmissão desta rede irá dobrar, se a
taxa de crescimento continuar a mesma?
- A ocupação da área em disco, em um computador mainframe vem
crescendo a uma taxa de 28% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a
ocupação da área em disco deste computador irá dobrar, se a taxa de crescimento
continuar a mesma?
- A quantidade de alunos de uma escola cresce a uma taxa de 20% ao
semestre, aproximadamente. Em quantos semestres a quantidade de alunos desta
escola irá duplicar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?
- O faturamento de uma empresa cresce a uma taxa de 35% ao ano,
aproximadamente. Em quantos anos o faturamento da empresa irá duplicar, se a
taxa de crescimento continuar a mesma?
- Calcular o tempo que leva para que 1500 g de uma substância
radioativa, que se desintegra a taxa de 3,5% ao ano, se reduzir a 400 g. Utilize a
seguinte expressão: Q = Q 0 * e
- rt , em que Q é a massa da substância, r é a taxa e
t é o tempo em anos.
