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Cap´ıtulo 18
Problemas de M´aximo e M´ınimos em
Intervalos quaisquer
18.1 Introdu¸c˜ao
No Cap. 15 estudamos o problema de determinar m´aximos e m´ınimos globais para fun¸c˜oes cont´ınuas definidas em intervalos fechados. Visto que o teorema dos valores extremos para fun¸c˜oes cont´ınuas garante, para estas fun¸c˜oes, a ex- istˆencia de extremos globais, e como tais extremos s´o podem ocorrer nos pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao ou nas extremidades do intervalo onde esta fun¸c˜ao est´a definida, o crit´erio empregado foi o de comparar os valores da fun¸c˜ao f calculados nos extremos do intervalo com os valores de f nos seus pontos cr´ıticos. No entanto, em v´arios problemas a fun¸c˜ao f que descreve a grandeza a ser maximizada ´e definida em um intervalo aberto (a, b) e at´e mesmo em um intervalo n˜ao limitado, por exemplo, (0, ∞). Neste caso, n˜ao podemos empregar a t´ecnica descrita acima. N˜ao podemos nem sequer garantir, a priori, a existˆencia de m´aximos e m´ınimos globais. O teste da derivada segunda ´e ´util nestes casos. Suponhamos que queiramos maximizar, ou minimizar, uma fun¸c˜ao deriv´avel f num intervalo aberto I, e constate- mos que f tem apenas um ponto cr´ıtico em I, isto ´e, um n´umero c para o qual f ′(c) = 0. Se f ′′(x) tiver o mesmo sinal em todos os pontos de I, o teste da derivada segunda nos diz que o ponto c ´e um extremo absoluto de f em I. Este extremo ser´a um m´ınimo se f ′′(c) > 0 e, um m´aximo se f ′′(c) < 0. Os exemplos a seguir ilustram o uso deste teste.
18.2 Exemplos
Exemplo 1 Um fabricante de latas cil´ındricas de conservas recebe um pedido muito grande de latas com determinado volume V 0. Quais as dimens˜oes que minimizar˜ao a ´area lateral da superf´ıcie de uma lata como esta e, portanto, a quantidade de metal necess´ario para fabric´a-la?
Solu¸c˜ao Sendo r e h, respectivamente, o raio da base e a altura de uma lata cil´ındrica, seu volume ser´a dado por
(1) V 0 = π r^2 h
e a ´area lateral por
(2) A = 2 π r^2 + 2 π r h.
Queremos minimizar A, que ´e uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis relacionadas pela equa¸c˜ao (1). Resolvendo (1) para h e substituindo em (2),
(^) h:=solve(V[0]=Pir^2h,h);
h =
V 0
π r^2
(^) subs(h=V[0]/(Pir^2),A=2Pir^2+2Pirh);
A = 2 π r^2 + 2
V 0
r
onde r pertence ao intervalo (0, ∞). Como sabemos, os extremos desta fun¸c˜ao, caso existam, estar˜ao localizados em um de seus pontos cr´ıticos. Assim, derivamos a equa¸c˜ao acima e resolvemos a equa¸c˜ao resultante ao igualarmos esta derivada a zero:
(^) diff(2Pir^2+2*V[0]/r,r);
242 Cap. 18. Problemas de M´aximo e M´ınimos em Intervalos quaisquer
A′^ := 4 π r − 2
V 0
r^2 Mas, 4 π r − (^2) r^ V 20 = 0 se r = ( 2 V 0 π ) (^13)
. A derivada segunda desta fun¸c˜ao ´e dada por
(^) diff(2Pir^2+2*V[0]/r,r,r);
A′′^ = 4 π + 4
V 0
r^3 que ´e sempre positiva, pois r ´e positivo. Assim, a fun¸c˜ao A(r) ´e cˆoncava para cima em todo o seu dom´ınio e o ponto cr´ıtico 4 π + (^4) r^ V 30 ´e um m´ınimo absoluto para esta fun¸c˜ao. Veja o gr´afico de A para V 0 = 500 ml
0
200
400
600
800
1000
y
(^2 4 6 8 10) r 12 14 16 18 20 As dimens˜oes da lata de custo m´ınimo podem ser obtidas, a partir da equa¸c˜ao (1), calculando-se o valor de h, correspondente ao valor de r, onde a fun¸c˜ao A atinge o seu m´ınimo. Assim,
h =
V 0
π r^2
V 0
2 π
(^13) .
Note que h = 2 r. Do ponto de vista de diminuir custos de mat´eria-prima, esse resultado revela que a “melhor” propor¸c˜ao para uma lata cil´ındrica ´e aquela em que a altura ´e igual ao diˆametro da base. Esta ´e a propor¸c˜ao usada em latas de leite em p´o, salsichas, extrato de tomate, etc. Vocˆe ´e capaz de explicar por que esta n˜ao ´e a propor¸c˜ao empregada na fabrica¸c˜ao de latas de ´oleo de cozinha?
Exemplo 2 Determine a raz˜ao entre a altura e o diˆametro da base do cilindro de volume m´aximo que pode ser inscrito numa esfera de raio R.
Solu¸c˜ao As figuras mostram um cilindro inscrito numa esfera juntamente com um corte transversal do mesmo:
x
y R
O volume do cilindro ser´a dado, ent˜ao, por V = 2 π x^2 y. Al´em disso, pelo teorema de Pit´agoras podemos concluir que as vari´aveis x e y est˜ao relacionadas pela equa¸c˜ao x^2 + y^2 = R^2. Podemos perceber, tamb´em, que V ´e pequeno quando x est´a perto de zero ou quando x est´a perto de R, portanto, entre estes extremos existe uma posi¸c˜ao de volume m´aximo. Para ach´a-la, substitu´ımos o valor de x^2 na equa¸c˜ao que define V e obtemos a equa¸c˜ao V = 2 π y (R^2 − y^2 ). Derivando esta equa¸c˜ao em rela¸c˜ao a y, temos
(^) diff(2Piy*(R^2-y^2),y); V ′^ = 2 π (R^2 − y^2 ) − 4 π y^2 (^) simplify(%); V ′^ = 2 π R^2 − 6 π y^2
Resolvendo a equa¸c˜ao V ′(y) = 0, obtemos
(^) solve({diff(2Piy*(R^2-y^2),y)=0},{y});
244 Cap. 18. Problemas de M´aximo e M´ınimos em Intervalos quaisquer
ou seja, aproximadamente 8,32 metros.
Exemplo 4: Reflex˜ao da luz
Um raio de luz parte de um ponto A, atinge um ponto P sobre um espelho plano, sendo ent˜ao refletido e passando por um ponto B, como mostra a figura abaixo. Medidas acuradas mostram que o raio incidente e o raio refletido formam ˆangulos iguais com o espelho, isto ´e α = β. Suponha que o raio de luz siga o caminho mais curto de A a B, passando pelo ponto P no espelho. Prove a lei de reflex˜ao, mostrando que o caminho APB ´e mais curto quando α = β.
α β x c-x
b a
B
A
P c
Solu¸c˜ao Repare que o ponto P pode assumir v´arias posi¸c˜oes no espelho e cada uma destas posi¸c˜oes ´e determinada por um valor de x. Vamos considerar, portanto, o comprimento L do caminho percorrido pelo raio de luz como uma fun¸c˜ao de x. A partir da figura, podemos concluir que
L =
a^2 + x^2 +
b^2 + (c − x)^2.
Derivando esta fun¸c˜ao, temos
(^) L:=x->sqrt(a^2+x^2)+sqrt(b^2+(c-x)^2): (^) diff(L(x),x);
L′(x) = x √ a^2 + x^2
− 2 c + 2 x √ b^2 + c^2 − 2 c x + x^2
Minimizamos L ao igualar esta derivada a zero, obtendo:
x √ a^2 + x^2
c − x √ b^2 + c^2 − 2 c x + x^2
e da´ı, podemos concluir que cos(α) = cos(β). Como α e β est˜ao no primeiro quadrante, segue que α = β. Para verificar que realmente minimizamos L, basta calcular a derivada segunda de L e observar que esta derivada ´e sempre positiva para qualquer valor de x. De fato,
d^2 L dx 2
a^2 (a^2 + x^2 )(^
3 2 )^
b^2 (b^2 + (c − x)^2 )(^
3 2 )^
Exemplo 5: Refra¸c˜ao da luz
O raio de luz refletido que acabamos de discutir no exemplo anterior mant´em a velocidade constante quando atravessa um ´unico meio. No entanto, em meios diferentes (ar, ´agua, vidro) a luz tem velocidades diferentes. Se um raio de luz passa do ar para a ´agua, ´e refratado passando a ter uma dire¸c˜ao mais pr´oxima da perpendicular `a interface. Veja a figura:
′ (^) β
α
β
α
Agua
Ar va
vw
x c-x b
a
B
A
P
c
O percurso APB, nitidamente, n˜ao ´e mais o caminho mais curto de A at´e B. Em 1621, o cientista holandˆes Snell descobriu, empiricamente, que o caminho real do raio de luz ´e o que satisfaz a rela¸c˜ao sen(sen(αβ)) = constante, onde esta constante ´e independente das posi¸c˜oes de A e de B. Esse fato ´e chamado lei de refra¸c˜ao de Snell. Prove a lei de Snell, partindo do pressuposto de que o raio percorre um caminho de A a B de modo a minimizar o tempo total de percurso.
W.Bianchini, A.R.Santos 245
Solu¸c˜ao Se a velocidade da luz no ar ´e va e na ´agua ´e vw, ent˜ao o tempo total de percurso T ´e a soma do tempo que a luz gasta atravessando o ar com o tempo gasto para atravessar a ´agua e ´e dado por
T =
a^2 + x^2 va
b^2 + (c − x)^2 vw
Calculando a derivada dessa fun¸c˜ao e observando o seu significado geom´etrico em termos da figura, obtemos:
(^) T:=x->sqrt(a^2+x^2)/v[a]+sqrt(b^2+(c-x)^2)/v[w];
T := x →
a^2 + x^2 va
b^2 + (c − x)^2 vw
(^) diff(T(x),x)=sen(alpha)/v[a]-sen(beta)/v[w];
T ′(x) =
x √ a^2 + x^2 va
− 2 c + 2 x √ b^2 + c^2 − 2 c x + x^2 vw
sen(α) va
sen(β) vw
Para conseguir o tempo m´ınimo de percurso, igualamos essa derivada a zero, obtendo
sen(α) va
sen(β) vw ou sen(α) sen(β)
va vw
= constante
Esta ´e a forma mais reveladora da lei de Snell, porque nos d´a o significado f´ısico da constante que aparece na equa¸c˜ao. Esta constante ´e a raz˜ao entre a velocidade da luz no ar e a velocidade (menor) da luz na ´agua. Essa constante chama-se ´ındice de refra¸c˜ao da ´agua. Se, nesse exemplo, a ´agua for substitu´ıda por qualquer outro meio transl´ucido, tal com ´alcool, glicerina ou vidro, ent˜ao a constante ter´a um valor num´erico diferente que ser´a dado pelo ´ındice de refra¸c˜ao do meio em quest˜ao. Como no exemplo anterior, podemos verificar que a resposta obtida realmente minimiza T , calculando a segunda derivada e observando que esta ´e positiva. De fato,
d^2 T dx 2
a^2 va (a^2 + x^2 )(^
32 ) +^
b^2 vw (b^2 + (c − x)^2 )(^
32 ) >^0.
18.3 Problemas propostos
- Determine a constante a de modo que a fun¸c˜ao f (x) = x^2 + ax , para x ̸= 0, tenha um m´ınimo relativo em x = 2.
- Uma grande vara deve passar por um canto retangular de um corredor, seguindo de uma parte de largura a para outra de largura b. Se o comprimento da vara ´e L, qual a largura m´ınima b para que a manobra seja poss´ıvel?
- Uma caixa retangular com base quadrada deve ser feita de madeira compensada. Sendo dado o seu volume, ache a forma (raz˜ao entre a altura e o lado da base) que minimiza a quantidade de madeira compensada necess´aria. Resolva este problema supondo, agora, que a caixa ´e aberta em cima.
- Ache o raio do cilindro de volume m´aximo que pode ser inscrito num cone de altura H e raio da base R.
- Ache a altura do cone de m´aximo volume que pode ser inscrito numa esfera de raio R.
- Um tanque cil´ındrico sem tampa deve ter um volume especificado. Se o custo do material usado para a base ´e trˆes vezes maior que o custo daquele usado para a lateral encurvada, ache a raz˜ao entre a altura e o diˆametro da base para a qual o custo total ´e m´ınimo.
- (a) Calcule as coordenadas do ponto do gr´afico da fun¸c˜ao y =
x mais pr´oximo do ponto ( 32 , 0). Sugest˜ao: Minimize o quadrado da distˆancia do ponto dado ao ponto (x,
x). (b) Generalize o item anterior: ache o ponto sobre o gr´afico de y =
x que est´a mais pr´oximo do ponto (a, 0) para a > 0, qualquer. (c) Determine o ponto da par´abola y = x^2 mais pr´oximo do ponto (6, 3).
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18.5 Para vocˆe meditar: Como os gregos eram espertos ou uma demon-
stra¸c˜ao sem palavras
A lei de reflex˜ao discutida no Exemplo 4 j´a era conhecida pelos gregos da Antiguidade. No entanto, o fato de que um raio de luz refletido segue o caminho mais curto foi descoberto muito mais tarde por Heron de Alexandria, no s´eculo I D.C. A demonstra¸c˜ao geom´etrica de Heron ´e simples, por´em engenhosa. O desenho a seguir ilustra o argumento empregado por ele.
- Demonstre a lei da reflex˜ao usando a figura abaixo para justificar seu racioc´ınio. Nesta figura B′^ ´e a imagem especular de B.
γ
α β
B’
B
A
P’ P
18.6 Projetos
18.6.1 Um problema de otimiza¸c˜ao
Otimizar ´e uma das mais importantes aplica¸c˜oes de derivada. Os problemas aplicados que usualmente s˜ao estudados num curso de C´alculo s˜ao, necessariamente, muito simples para que a aplica¸c˜ao dos conceitos matem´aticos n˜ao sejam sobrepujadas por c´alculos longos e cansativos. O objetivo deste projeto ´e apresentar um problema um pouco mais real. Nele, vocˆe ´e o gerente de planejamento de uma companhia el´etrica e a vocˆe ´e designada a seguinte tarefa: A Companhia deve estender um cabo de alta tens˜ao partindo de uma usina localizada dentro de uma reserva florestal at´e uma f´abrica em constru¸c˜ao. A f´abrica est´a a 2 , 3 km ao norte e a 5 , 2 km a leste da usina, junto a uma ´area de propriedade particular de 1 , 3 km de largura (dire¸c˜ao leste-oeste) entre a usina e a f´abrica. O cabo de alta tens˜ao deve passar pela propriedade particular. Veja o mapa:
0
2
4
6
8
10
y
–3 –2 –1 (^1) x 2 3
O custo de instala¸c˜ao do cabo ´e de R$ 0,75 por metro atrav´es da reserva florestal e R$2,25 por metro na propriedade privada. Sua tarefa ´e achar o tamanho (diˆametro) ´otimo do cabo, determinar a rota de menor custo e, finalmente, determinar o custo total m´ınimo do projeto.
Etapa I: Minimizar o custo por metro relacionado ao tamanho do cabo. O custo por metro de aquisi¸c˜ao do cabo Ca, ´e diretamente proporcional a espessura do fio, isto ´e, varia de acordo com a quantidade de cobre usada por unidade de ´area da sua se¸c˜ao reta A. O departamento de compras providenciouas seguintes cifras:
Ca (R$) A (mcm^2 ) 0,25 167
248 Cap. 18. Problemas de M´aximo e M´ınimos em Intervalos quaisquer
(a) Usando os dados da tabela, ache uma equa¸c˜ao para Ca. De acordo com a teoria da eletricidade, a resistˆencia do material do cabo causa uma perda de potˆencia resultante da dissipa¸c˜ao de energia em forma de calor. O custo por metro desta perda, Cp, ´e inversamente proporcional `a ´area da se¸c˜ao reta, A, do fio. Depois de alguns testes o departamento de engenharia, chegou aos seguintes dados:
Cp (R$) A (mcm^2 ) 0,2385 105
(b) Usando estes dados, ache uma equa¸c˜ao para Cp.
(c) Defina o custo por metro de cabo adquirido, como fun¸c˜ao da sua se¸c˜ao reta A. Ache a se¸c˜ao reta Amin , em mcm^2 , que minimiza o custo. Determine este custo m´ınimo C(Amin ) Etapa II: Determinar o caminho de custo m´ınimo e o seu comprimento O custo total de instala¸c˜ao do cabo, Ci ´e dado por Ci = 0, 75 w + 2, 25 x, onde w ´e a distˆancia percorrida na reserva florestal e x a distˆancia atrav´es da propriedade particular.
(d) Usando os dados fornecidos, expresse w como uma fun¸c˜ao de x.
(e) Minimize Ci em rela¸c˜ao `a x, especificando o intervalo de varia¸c˜ao de x.
(f) Com o valor de x, que fornece o menor custo de instala¸c˜ao, ache w e o comprimento total L = w + x do cabo. Etapa III: Calcular o custo total do projeto
(g) Combine os resultados das Etapas I e II e ache o custo total m´ınimo do projeto. Etapa Final: Relat´orio
(h) Envie um relat´orio com as suas conclus˜oes e o custo m´ınimo estimado do projeto ao diretor da companhia. Observa¸c˜ao: Um relat´orio m´ınimo deve incluir respostas justificadas `as quest˜oes propostas e um gr´afico mostrando o percurso m´ınimo que vocˆe encontrou.
