Baixe capitulo 2 Nivaldo lemos e outras Exercícios em PDF para Mecânica Quântica, somente na Docsity!
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências Físicas e Matemáticas
Curso de Licenciatura de Física EAD
Mestrado Nacional Profissional em Ensino de Física – Pólo Florianópolis
Disciplina: Tópicos de Física Contemporânea
Professor: Oswaldo de M. Ritter
Mestranda: Catia Cilene Voss Dolberth - Matricula: 202000816
Mestrando: Jucelino Salvador - Matricula: 202000823
Lista 1 de Tópicos de Física Contemporânea 2021/
- Uma partícula de massa m está presa a uma mola de comprimento l 0 e
constante
elástica k, de tal forma que ela somente pode ser movimentar na direção
vertical.
Outra partícula de massa m está acoplada à primeira através de uma haste
fina
de comprimento I e massa desprezível. O movimento desse pêndulo está
restrito a um
plano vertical que contém a reta correspondente à trajetória da primeira
partícula.
Escreva as equações de Lagrange desse sistema. Considere a origem das
coordenadas
na posição de equilíbrio da mola.
- Uma conta de massa m desliza sem atrito ao longo de uma haste
rígida, de massa
desprezível, que gira num plano vertical com velocidade angular constante ω
. Mostre que,
com uma escolha adequada da coordenada r, a lagrangiana do sistema é
L =
m
r ˙
2
mω
2
r
2
− mgr sin ωt.
Dadas as condições iniciais r(0) = r 0 , r˙(0) = 0, encontre a solução da
equação de Lagrange
para r. Determine, também, a força de vínculo sobre a conta.
- Um pêndulo de massa m e comprimento l está suspenso por um ponto
que executa oscilações horizontais da forma x = a cos ωt. Obtenha a
lagrangiana em termos do ângulo
θ que o fio faz com a direção vertical
orientada para baixo. Escreva a equação de movimento e mostre que,
para pequenos valores de θ , ela reduz-se à de um oscilador harmônico
forçado. Encontre uma solução estacionária da forma θ =
θ
0
cos ωt.
Como a amplitude
θ
0
depende de m, l, a e ω? O que acontece quando ω =
g
l
1
2
- Na chamada mecânica generalizada as lagrangianas contém derivadas
de ordem
superior à primeira das coordenadas generalizadas. Dada uma lagrangiana
da forma
L(q, q˙, q¨, t) , mostre que o princípio de Hamilton, com variação nula de qi e
q˙i nos extremos
temporais, dá lugar às equações de Lagrange
d
2
dt
2
∂ L
∂ q ¨
i
d
dt
∂ L
∂ q ˙
i
∂ L
∂ q
i
Estenda este resultado para lagrangianas contendo derivadas de terceira
ordem das
coordenadas generalizadas. (ii) Mostre que a lagrangiana
L =
− mq ¨
q
k
q
2
gera a equação de movimento de um oscilador harmônico. Prove que esta
lagrangiana difere da
lagrangiana usual de um oscilador harmônico por uma derivada total em
relação ao tempo.
- Um sistema com dois graus de liberdade tem lagrangiana
