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Capítulo 3Modulação Angular 3.1. Introdução Seja a portadora genérica: SeSeNo nosso caso:Ex.: p t ( ) θ A = == A θAM:FM:PM: A t .cos ( )( ) t (→→ p tp t θ p t ( )( ) ( )) Sistemas de Modulação em AmplitudeSistemas de Modulação Angular === θ AA AA t .cos.cos ( ).cos→ → Ângulo (( Amplitude ω ω 0 ( ).( tt t ω + 0 φ t ++( ) φ t φ 0 ) 0 )) Modulação em FrequênciaModulação de FaseModulação em Amplitude
φ(t) φ(t)^ φ(t)^ f(t)^ p(t)FMPMDSB-SC^ -1^ -1^ -1 -1 -1^01010101010 1 2 t 3 4 5
3.2. Modulação de Fase (PM) onde:Logo a Frequência instantânea: Logo: Logo: A Sinal PM ωω Kf t c i ( ) p ( ) t : Frequência da Portadora : Constante : Sinal Modulante (informação)= fase d frequência instantânea θ dt :( ) t da portadora varia linearmente com a informação ϕ= PM d ( ) t ω c = t + Adt .cos K pf t ( )ω c ω t + i varia linearmente com a ( ) K t pf t =( ) ω c + K p d f tdt ( ) derivada do sinal modulante f(t). f(t).
É definida pelo circuito de modulação. Logo: Para K^ p : Constante que converte variações de volts daUnidade: K (^) p > 0 K (^) p SeSe = radf tf t ( )( ) /^ ϕ V <> PM 00^ →→( ) t^ (^) Atraso de faseAvanço de fase^ =^ A .cos^^ (^ ω^ f(t)c^ t^ +em variações de fase (em radianos). K^ p.^ f t ( ))
3.3. Modulação em Frequência (FM) Se variarmos linearmente a frequência instantânea da portadora de acordo com o sinal modulante: O que ocorre com o ângulo θ θ Logo a expressão do sinal modulado em FM será: ( )( ) t t == (^) ω 0 t [ c ω (^) t + c + KK (^) F (^) 0 Ft ff ( )( )ττ (^) ] dd ττ (^) θ ( ) t? ω i (^) ( ) t = ω c + K (^) F f t ( ) Logo a(rad/s) da frequência instantânea. Para K (^) F : Constante que converte variações de volts do sinal K (^) Unidade: F fase da portadora > 0 [ K F ]SeSe = radV sf tf t (^).^ ϕvaria linearmente com( )( ) FM ><^ 00 ( ) t →→^^ = Aumenta a frequênciaDiminui a frequência^ A .cos^^ ω a integral do sinal de informação c^ t^ + K^ Ff(t)^ ^0^ t em variações de velocidade angular f^ ( )τ^ d τ^ f(t).
Desvio de Fase e Desvio de Frequência Seja:FM:*Frequência Instantânea: onde:∆ ω é o desvio máximo da frequência da portadora: f t ( ) ∆ = ω a .cos( = a K ω⋅ mtF ) ω ω i ( )Sinal Modulador, Informação i t ( ) t = ω 3 ω (t) [10rad/s]c=ωi 101520 05 ω c 0 + c + K ω K Fi. .cos ( ) Fat f t 1 ( ) = ω ( c ω ∆ω + ∆ mt ) 2 ω t.cos ω c − ∆ ( ω 3 ω mt )≤ ω i ≤ 4 ω c + ∆ω
*Ângulo: Definindo: θ θθ ( )( )( ) t t t β === ω 00 tt [ω τ c ω ti ω ∆+( ) c + ∆ ω ∆ω md ω m τω :sin( .cos( Frequênciaω Máximo desvio de m ω τ t ) m )] d τ máxima da frequência informação
Definindo: Unidade: O Índice de Modulação - - ϕ β FM (^) : Índice de Modulação Representa o máximo deslocamento de fase do sinal em relação à portadora.FM de Faixa EstreiraFM de Faixa Larga ( ) t (^) = β (^) [^ A β^ .cos (^) ] ∆=ω^ ω mrad (^) [ ω^ :^ c Frequência máxima da informação t +Máximo desvio de frequência ββ (^) classifica o sinal modulado em FMsin( ω mt )] ϕ FM (^) ( ) t em:
Ex.: Cálculo de ϕ Lembrando: ϕϕ Espectro do sinal f tNBFMNBFMNBFM ( ) = ( ) ( )( ) a t tt g t g t .cos( ( ) ( ) = == g(t)AAA ==.cos( .cos(.cos( ω 0 ω sin( tm : atmf ) ( ) ω ωωsin( ϕ τ A ccc NBFM ) sin( t ttd ))) ωτ −−+ m AK ( ) t 22 A A Bt ) )β K a ω F para= { Fm ω cos ( 12 a m {[ cos( cos (sin( [ f t ω( ) [ c ω A ω+= m − tc ω a ) sin( B −.cos( m ) ω) t − ] m ω cos( )− ω tc cos ( t ] m )− t ) A cos ([: + ω B [ c )ω −] c ω + m )ω tm ]}) t ]}
De modo análogo, podemos obter a expressão do sinal PM de banda estreita: ϕ NBPM^ -10^10 -100^ -5^05 ( ) t^ - =ωc π-ω^ A A -50βm/2.cos(^ -^ ωπc^ -^ - Aπ^ ω^ Acβ+/2ω Φ^ ωNBFMm c^ ω^0 t^ )^ ω (−cω-ω)-πm AK^ Aβ^ ω/2^ πA^50 c (^) p^ π^ Aω f t βc/2+( ).sin(ω m^100 ω (^) ct )
Comparando-se estes sinais:Com o sinal AM DSB com portadora:termos correspondentes à portadora e às faixas laterais centradas em Conclusão AM DSB.Condição para ser FM de banda estreita: ou para Como Um critério usual para definir sinais FM de banda estreita é: Notamos que tanto o sinal AM quanto os sinais FM e PM de banda estreita, apresentam β f t : Sinais FM e PM de banda estreita ocupam a mesma largura de banda ( =( ) a K ω .= m aF .cos( ϕ ϕ NBPMNBFM Temos que ω mt ) ( ) ( ) tt == AA β .cos( cos( 1 K g t ωω ϕ FK aDSBccF ( ) tt )) −− ( ) t 1 AK 1 AK g t = ApF f t cos(( ).sin(( ) sin( ω β c ± < t ω ω) ω 0.2 c + c. cttmAf t )) ( ) cos( 2 ω m ) que o sinalω ct )
Sistema Armstrong p/ geração NBFM:^ • ϕ^ ϕ^ NBPMNBFM Geração de Sinais PM e FM de Banda Estreita f t ( )^ ( ) t ( ) t == AA .cos( cos( p t ( )ω^ ω Defasador = cc t^ t 90 A ))X.cos( A −o − .sin(^ AKAK g t ω ω c pFtc ) tf t )( ).sin(( ) sin( - ++ ωω^ cc ϕ tt )) NBFM ( ) t^ g t^ ( )^^ =^ ^0^ t f^ ( )^ τ^ d τ
f t ( ) p t ( ) Defasador = 90 A X.cos( A o .sin( ω ω ctc ) t )^ - ++^ ϕ NBPM^ ( ) t
3.3.2. FM de Faixa Larga (FM) Seja: Temos: ou A exponencialem Série de Fourier: onde Fazendo: Limites da Integral: e F (^) nj β (^) = sin( F f tn T 1 ϕ ϕ( ) ω ˆsão os coeficientes da Série Exponencial de Fourier, calculados por: (^) FM FMm − (^) T ω= tT (^) ( )) / 2 (^) / 2 mt a ( ) (^) tt =.cos( (^) (^) (^) e = = e (^) j = nA (^) x β=−∞ +∞ j (^) .cos (^) sin( ω (^) β A e (^) m sin(. ω t ) (^) F e [ m ω j (^) ω ω t n ) tc c (^) m (^). t t. e (^) = (^). t + e ) − (^) ω (^) jn β jjn (^) x βé uma função periódica com período m ω (^) (^) ω (^) 2 sin(sin( mmtet ω. dt ω (^) mdttm ) t )=]ω dxm Onde: β = a K ω. (^) mF T = (^) ω (^2) m π e pode ser expandida Logo: Esta integral pode ser calculada em termos dos parâmetrosÉ denotada porLogo: Fn = (^) T 1 tt^^ =^ = −− ππ^ T^2 e^ T^2 j^ (^) β xJ sin( nx =(^ x = β^ ω )^.^2 )^ m − e^^ T ω, Função de Bessel de Primeira Espécie e ordem^ −^2 m^ jnx^ =^ T^ ω.2.= m^ ωω dx^ e − mm π 2.ω j^ β^ ω m = F sin(^2 m ππ n^ ω == − m (^) t (^2) )π (^1) π = (^) − π n π (^) +∞=−∞ e j ( (^) β J sin( (^) n (^) ( x (^) ) β − nxn ) )e.. dxe β (^) jn e já existe tabulada.ω (^) mt n.
Então:ϕ Usando as propriedades:ϕ As constantes ϕϕϕ ˆˆˆ FMFM (^) FM FM FM ( ) ( ) (^) tt ( )( )( ) ttt (^) = = === AA .. A eA eA J J ... (^) 0 (^) 0 n +∞=−∞ ( ( (^) j j β β ωω J c c (^) )) ttn (^) .. .cos .cos Jne ( (^) (^) n +∞=−∞ β j β( [ (^) ) (^) [ sin( Logo :β ω ω J podem ser obtidas de tabela ou calculadas pela HP48 (necessita programa). c c ) (^) ω t tn (^) ] .] m ( e ++ t + − )β j (^) J ( JJJ ω (^1) (^) 1 (^) 1 )− c (^) ( 1 ( (^) (.+ e β β (β ϕ n β ω) jn (^) )) .cos ( m .cos ( FM ).cos ( ω .cos () mtt ( )[[[ t [ ωω (^) (^) ω ω (^) c (^) c (^) c = c ++− (^) − (^) ω ω ω A ω mmm. ) m ) ) (^) n t (^) t ) t (^) ] +∞=−∞ (^) ] t ] (^) (^) ]+ ++ + JJJ (^) (^2) J (^) (^2) J 2 ( (^) − (( (^) 2 n β ββ (^) ( () β)) .cos ( (^) .cos (β .cos ( (^) ) .cos ( (^) ) (^) [.cos ([[ ω[ ω ω c (^) ω c (^) c + +− c (^) [ 2 − 22 ω (^) ω ω 2 ω (^) m ω mm ) c (^) )) m t t (^) t ] )]] + (^) t + +− (^) ] J + nJJ 3 (^) (^) (^) (^33) ω J (^) ((( (^) (^) −β β (^3) β m (^) )( (^) )) ).cos (β .cos (.cos ( t (^) )] .cos ([[[ ωω (^) ω[ c (^) c (^) c ω + +− c (^3) (^) 33 ω− (^) ω (^) ω 3 mmm ω ))) t ttm ]]])++ t +].........+...
Ex.: Dada a portadoramodulado em FM com índice de modulação p t ( ) = A .cos( ω ct ) e o sinal de informação β = 1 será: f t ( ) = a .cos( ω mt ) , o sinal
-0.6^ -0.4^ -0.2^ 0.2^ 0.4^ 0.6^ 0.8^0 ΦFM ω(ωω) cJ-2^ ω^2 (1)ωc^ J-^0 mω(1)m-J^ ω^ ωc^1 Jc(1)^1 J+(1)^2 ωωJ(1)^3 cm(1)+2ωm
ϕ FM ( ) t = A. ^ 0.7651cos^ [^ ω^ c^ t ]^^ + −^ 0.4400 cos ( 0.4400 cos ([ [^ ω ω c^^ c (^) +−^ ω ω mm^ ) )^ t t ]^ ]^ + +^ 0.1149 cos ( 0.1149 cos ([[^ ω ω c^^ c (^) +−^2 2 ωω mm^ ) )^ t t^ ] (^) ]^ + −^ 0.0195co 0.0195.cos (s ([^ [ω ω c^^ c + −^3 3 ω^ ω m^ m )^ t )^ ] t^ ] + +^ 0.0020 cos ( 0.0020 cos ([^ [^ ω ω c^^ c + −^4 4 ω ω mm )^ ) t ] t ]++......
Seja : Temos então que: O máximo desvio de frequência deste sinal é: E o ângulo pode ser calculado como: θ θ Chamando: Podemos escrever: θ ( ) ( )( ) t tt^ • = == 0 f t t Modulação FM de Sinais contendo várias freqüências ω ω ωωω τ( ) ii icc ( ) ( ) ( ) tt t t = ++ β = = a d 1 β 1 a K ωω τ cos( 1 ω = 1 cc = sin( 1 ++ 0 a Kt F { ω 1 KK ωω sin( 1 ω FF 1 tc ) F [ 1 f t + + ta ( ) ω) 1 Ka cos(+ 12 F t cos( β [)β a + ω 21 2 1 cos(sin( ω a K t = ) 2 ω 2 + ta K ) ω 2 ω a ω 2 F 12 2 t 2 t cos()sin( F )+ a ω 2 ω cos( 2 t 2 )∆ t ]) ω ω = 2 t ) ( a ]} 1 d +τ a 2 ) KF
Expressão Geral do Sinal FM: Expandindo as exponenciais em Série de Fourier: Temos: ϕϕ ϕϕϕ ˆˆ ˆˆˆ (^) FM FM FMFMFM ( )( )( )( )( ) tt ttt == === A eA eA eA eA ..... (^) n +∞=−∞ jj jj (^) ω ωω [ ω c (^) cc ct (^) tt t ... k + e (^) nn +∞=−∞ β +∞=−∞+∞=−∞ j (^1) β sin( 1 sin( J (^) kJ ω (^) n +∞=−∞ (^) n (^1) ω t ( ) (^1) ( t + (^) β (^) )β β J.^ ϕ 1 e 2 ˆ (^1) (^) n )sin(^ FM ) j (^) (β J. (^2) e (^) β ω (^) k sin(( ) (^21) jn (^) ( tt ))^ ωβ] ω 1 J t 2 = 2 t (^) k ⋅)) kA e ( e +∞=−∞ β. j^ (^) ( (^2) ω j^^ θ) cJ +( ) (^) ek et n ω (^) ( j nj ( (^) 1 β β + (^) ωsin( (^) k (^21) ω +) 2 ω k .) ω met t 2 )) jk (^) t ω = 2 tn +∞=−∞ J (^) n ( β). ejn ω mt
Sabendo que : Conclusões:- Quando o Sinalmodulação cruzada (intermodulação) • De acordo com a definição da largura de banda de um sinal: W é a largura de banda tal quecontenha 98% da Energia/Potência do sinal.Logo podemos definir Uma possível aproximação é adotarmos a maior ordem tal que:( ω (^) c (^) ± n Diferente do que acontece na modulação AM. Largura de Banda do Sinal FM ω 1 ) ϕe (^) FM^ ϕ ( FM (^) ω (^) f(t) ( ) c t ( ) (^) ± t possui duas frequências, o espectro do sinal FM possuirá, além das faixas^ Logo: AM = kn^ =ωmax A 2 Re. (^) n ) (^) tal que: =−∞ +∞, correspondentes às frequênciasFM^ { ϕ^ ˆ k FM +∞=−∞→→ (^) n ( ) Sistema Linear =− tJ Sistema Não-Linear n ( max (^) n } ω n (^) max ( c (^) β± (^1) J n ) n (^) ω J (^) ( (^) k (^1) β (^) (±) β k 22 ω ≥ ) 2 cos 0,98). ω (^) ( 1 ωe Jc (^) n ω+ max 2 , as faixas correspondentes à n (ω (^) β (^1) ) + > k ω0, 01 2 ) t Dados: B f Podemos calcular as larguras de banda como:Suponhamos amplitude máxima do sinal Lembrando: Logo:∆ Bm : Largura de Banda em Hz: Maior frequência do sinal f(t) em Hz f (^) == 2. (^2) n π (^) max .∆. ω (^) ∆ β (^) f : Desvio de frequência em Hz∆ ω (^) W = (^) a K =. (^) 2. Fn (^) maxB (^) (^) .=∆β (^) ω 2. ou então: n (^) max (^) β = (^). f(t) f ∆ω (^) m : ω (^) ∆ m (^) W (^) ω a = = =∆ ff t W ω∆ω m f ∆( ) Bm : Largura de Banda em rad/s f : Maior frequência do sinal f(t) em rad/s: Desvio de frequêcia em rad/s (^) max = 2 W n β max =2. n (^) max. ω m
