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Equação de Bernoulli
CAPÍTULO 4
Equação de Bernoulli
4.1- Introdução
A equação de Bernoulli é uma equação muito simples, frequentemente aplicada, e muito rica em considerações estruturantes do raciocínio para a compreensão da Mecânica de Fluidos. Por estas razões decidiu-se introduzir este capítulo dedicado exclusivamente a esta equação. No capítulo seguinte este tema será novamente abordado numa perspectiva complementar.
4.2- Equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente
A equação de Bernoulli é aplicável sempre que a intensidade das forças de corte é de uma ordem de grandeza inferior à intensidade das outras forças que se desenvolvem num fluido, nomeadamente forças de pressão e gravidade.
Considere-se um elemento de fluido infinitesimal de dimensões δ n e δ s no plano da figura e δ y na direcção normal a este plano.
Equação de Bernoulli
(p- p ) δ (^) s δ n δ y
(p+ p ) δ (^) s δ n δ y
( p+ p ) δ (^) n δ s δ y
( p- p ) δ (^) n δ s δ y
θ δ W
δ s
δ n
δ y
Em estado estacionário, da aplicação 2ª lei de Newton segundo a direcção da linha de corrente, s , resulta:
s Vv v s F ma mv v s s s s s s ∂ = δ^ ∂ ∂ δ =δ =δ^ ∂
^ ρ^ (4.1)
em que vs representa a velocidade do elemento de fluido segundo a direcção da linha
de corrente, δ m e δ V a massa e o volume do elemento infinitesimal, a (^) s a aceleração
do elemento segundo a linha de corrente e δ Fs o somatório das forças aplicadas ao
elemento de fluido segundo a direcção da linha de corrente.
Forças aplicadas sobre o elemento de fluido.
- Força da gravidade segundo a direcção da linha de corrente:
Equação de Bernoulli
Aplicando as regras de derivação:
s
v s v vs s s (^) ∂
=^ ∂
Por considerações geométricas
δ s δ z θ
s
z δ
senθ =^ δ (4.8)
Ao longo da linha de corrente s , a coordenada perpendicular n tem valor constante, pelo
que:
d p = (^) ∂^ ∂^ p s d s +^ ∂ ∂ n^ p d n →d p =^ ∂∂^ p s d s (4.9)
Substituindo as equações (4.7) a (4.9) na equação (4.6) obtém-se:
d^ d^ d d^12 d d d 21 d^2 d^0
2 − g sz − sp = ρ vs → p + ρ v + g z = (4.10)
Integrando:
d ρ^ p + 21 v^2 + gz =^ C (4.11)
em que C representa um valor constante.
Equação de Bernoulli
Se a massa volúmica puder ser considerada independente da pressão, fluido incompressível, líquidos e gases a baixa velocidade, a equação anterior toma a forma:
p + 21 v^2 + gz = C (4.12)
Esta equação é conhecida por equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente.
Na sua aplicação é necessário tomar atenção às hipóteses formuladas:
- as forças de corte foram consideradas desprezáveis quando comparadas com as forças de inércia e gravidade (escoamento "sem atrito"), o fluido foi considerado incompressível e o escoamento estacionário;
- a equação aplica-se ao longo de uma linha de corrente;
- não há troca de energia calorífica entre o fluido e o exterior;
- não há sistemas mecânicos a fornecer energia mecânica ao fluido, nem a receber energia mecânica do fluido.
A equação de Bernoulli traduz o conhecido princípio trabalho-energia: o trabalho realizado pela resultante das forças exteriores, pressão e gravidade, que actuam num elemento de fluido é igual à variação da energia cinética do elemento. Este trabalho é igual ao produto da distância percorrida pelo elemento, numa dada direcção, pela intensidade da resultante das forças aplicadas nessa direcção.
A equação de Bernoulli aparece frequentemente escrita sob outras formas:
ρ p +^21 v^2 + gz =^ C (4.13)
gp ρ +^21 g^ v^2 + z =^ C (4.14)
Equação de Bernoulli
Forças aplicadas sobre o elemento de fluido.
- Força da gravidade na direcção normal à linha de corrente:
δ Wn =− g cos θ δ V (4.16)
- Força da pressão na direcção normal à linha de corrente:
Se a pressão no centro do elemento for p , os valores médios da pressão no topo e na base do elemento de fluido são respectivamente p + δ pn e p − δ pn , com δ p (^) n dado
por:
n n p^ p n δ ∂ δ =^ ∂ (4.17)
A resultante das forças de pressão segundo n é dada por:
np^ V
F (^) p,n p pn s y p pn y s 2 pn s y np s n y
=−∂∂ δ
δ = −δ δ δ − +δ δ δ =− δ δ δ = −∂^ ∂ δδ δ (4.18)
- Somatório das forças aplicadas ao elemento de fluido na direcção normal à linha de
corrente.
F (^) n Wn Fp,n g cos np V
^ θ^ (4.19)
Equação de Bernoulli
Combinando as equações. (4.15) a (4.19) obtém-se:
vs (^) δ V =(− g cos −∂∂ np )δ V 2
ρ R θ (4.20)
Por considerações geométricas obtém-se:
δ s δ z δ n θ
n
z δ
cos θ =^ δ (4.21)
Na direcção normal à linha de corrente a coordenada s tem valor constante, pelo que:
d p = ∂ ∂ s^ p d s + ∂^ ∂ n^ p d n →d p =∂^ ∂ n^ p d n (4.22)
Substituindo as equações (4.21) e (4.22) em (4.20), obtém-se:
R
2 d
d d
d vs n
p n
− ρ g z − = ρ (4.23)
No caso de um gás, o peso do elemento de fluido pode ser desprezado, e a equação anterior traduz que qualquer mudança na direcção do escoamento é acompanhada de uma variação de pressão na direcção normal ao escoamento. Pelo facto da aceleração na direcção normal ser positiva e n “apontar” para o centro da curvatura, a pressão devido à mudança de direcção do elemento de fluido diminui ao longo de n.
Equação de Bernoulli
representa o espaço percorrido em δ t pelo fluido que no início do intervalo de tempo estava prestes a sair do tanque. O volume de fluido que sai por unidade de tempo
(caudal volumétrico) é dado por Q 2 = ( v 2 A 2 δ t ) δ t = v 2 A 2 e a massa de fluido que sai
por unidade de tempo (caudal mássico) por m 2 = ρ 2 v 2 A 2.
Igual raciocínio pode ser feito para a entrada do tanque. Como não há acumulação de massa, o caudal mássico de entrada tem de ser igual ao de saída:
Entrada
Saída
Volume A v 1 (^) 1 δ t
Volume A v 2 2 δ t
v (^) 1 δ t
v 2 δ t
v 1
v 2
ρ 1 v 1 A 1 = ρ 2 v 2 A 2 (4.26)
Se o fluido de entrada e de saída for o mesmo e não houver variação da massa
volúmica:
v 1 (^) A 1 = v 2 A 2 (4.27)
4.4.2.- Jactos Livres
Considere-se o escoamento de um líquido através de um orifício situado na base de um tanque de grande dimensão. Pretende-se saber qual o caudal (mássico ou volumétrico) de escoamento e como este caudal varia com a altura de líquido dentro do tanque.
Equação de Bernoulli
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1, na superfície do tanque, e 2 , imediatamente à saída do orifício, ambos situados na mesma linha de corrente, resulta:
1 12 1 2 2 22 2
p + 1 v + gz = p + v + gz (4.28)
h
dj
A velocidade à superfície do tanque representa a velocidade de descida da superfície livre.
O raio do oríficio é muito menor que o raio do tanque, assim:
1 11 2 2 2 1 2 1 2 2 1 22 12 2
ρ A v =ρ Av ∴ A >> A ∧ρ = ρ → v >> v →^1 v >>> v (4.29)
Como exemplo, se o raio do tanque for 10 vezes superior ao do orifício (20 mm o do orífício e 200 mm o do tanque), a área do tanque é 100 vezes superior à do orifício e a energia cinética por unidade de massa à saída do orifício é 10000 superior à energia cinética por unidade de massa à superfície do tanque.
A diferença de cota entre os pontos 1 e 2 é variável ao longo do tempo de descarga e é
dada por:
g ( z 1 − z 2 ) = gh ( t ) (4.30)
Equação de Bernoulli
Q = C c A o 2 g h (4.34)
C (^) C = A /Aj 0 = 0,
C (^) C = A /Aj 0 = 0,61^ C^ C^ =^ A /Aj^0 = 0,
C (^) C = A /Aj 0 = 1,
dj^ dj
dj dj
Exemplo 4.1- Água sai de um tubo sob a forma de um jacto livre e vai embater num prato plano circular. A geometria do escoamento é simétrica relativamente ao eixo do jacto tal como mostra a figura. Determine o caudal do jacto Q e a leitura do manómetro H
0,4 mm
H
0,1 m
0,01 m
v (^) v
Q
0,2 m
Equação de Bernoulli
Solução - O jacto ao sair do tubo fica à pressão atmosférica. Ao percorrer uma certa distância na vertical "ganha" energia potencial. Como a energia mecânica total é constante e a pressão é atmosférica há um decréscimo de energia cinética. Pela equação da continuidade, este decréscimo de velocidade tem de ser acompanhado por um aumento da área de escoamento, i.e., o jacto sofre um alargamento. Aplicando a equação de Bernoulli entre o ponto 1 situado à saída do tubo, e o ponto 2 perto do prato imediatamente antes do jacto mudar de direcção, obtém-se:
1 1 12 2 2 22 2
(^1) v g z g v^ p g z g
p (^) + + = + +
Q
Por ser um jacto, não confinado, e em contacto com a atmosfera:
p 1 (^) = p 2 = p atm
A equação de Bernoulli toma então a seguinte forma:
v 1^2 = v 22 + 0 , 4 g
Equação de Bernoulli
4.4.3.-Medidores de caudal
Uma forma de medir o caudal de um fluido em escoamento num tubo é colocar no seu
trajecto algum tipo de restrição de forma a provocar a formação de duas zonas: uma de
baixa velocidade e alta pressão, e outra de alta velocidade e baixa pressão. Medindo a
diferença de pressão entre as duas zonas é possível conhecer o caudal volumétrico ou
mássico através da equação de Bernoulli. De seguida são dados alguns exemplos.
4.4.3.1-Venturi
O venturi é um medidor frequentemente utilizado, para medir quer o caudal de líquidos quer o de gases. Consiste num estreitamento suave da conduta onde o fluido está em escoamento. Supondo que o escoamento é estacionário, que as forças de inércia são muito superiores às forças viscosas, e que o fluido é incompressível, pode-se aplicar a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente (horizontal) entre os pontos 1 e 2. O ponto 2 situa-se na secção recta do estrangulamento da conduta.
1 12 2 22 2
p + 1 ρ v = p + ρ v (4.35)
Supondo que os perfis de velocidade são uniformes nas secções rectas que contêm os pontos 1 e 2 (hipótese aceitável quando as forças de inércia são dominantes), a equação da continuidade permite escrever.
Equação de Bernoulli
Q = A 1 v 1 = A 2 v 2 (4.36)
Combinando as equações (4.35) e (4.36) resulta uma equação que permite calcular o caudal volumétrico que está a passar na conduta por simples leitura da variação de pressão:
2 1
2
2 1 2 1
A
A
Q A p p
Mais uma vez, dependendo da razão entre as áreas das seccções rectas do estrangulamento e da conduta, a área do jacto pode ser inferior à área do estrangulamento. Define-se então um coeficiente de contracção C (^) c = A j /A 2 , em que
A j representa a área do jacto, e o caudal passa a ser dado por:
2 1
c 2
c 2 1 2 1
A
CA
Q C A p p ρ
4.4.3.2- Medidor de orifício
O medidor de orifício é frequentemente utilizado para medir caudais já que é um dispositivo barato, simples de implementar e dá resultados bastante precisos. Na sua forma mais simples é um disco circular com uma área central aberta ao escoamento menor do que a área da secção recta da conduta. Por simples medição do decréscimo de pressão do fluido ao passar por este disco pode-se conhecer o caudal de escoamento.
Equação de Bernoulli
- a superfície livre permanece horizontal entre as secções rectas que contêm os pontos 1 e 2 ;
- o ponto 2 situa-se à saída do descarregador e tal como no jacto livre a pressão neste ponto é atmosférica (linhas de correntes supostamente rectas paralelas);
- a velocidade na secção recta que contém o ponto 2 só tem componente horizontal. Numa queda de água, o fluido não escorre pela "encosta", descreve um arco tal como um projéctil com velocidade inicial na direcção normal à direcção da gravidade;
- a intensidade da força de corte é desprezável comparativamente com a intensidade das outras forças em jogo (escoamento sem atrito viscoso).
Ar
z 1 2 z 2^ H
b
z 2
δ z 2
Superfície livre
Aplicando a equação de Bernoulli ao longo da linha de corrente que passa nos pontos 1 e 2 resulta:
g ( H − z 1 ) + gz 1 +^12 v 12 = gz 2 + 21 v 22 → v 2 = 2 g ( H − z 2 ) + v 12 (4.40)
De acordo com a equação, a velocidade de decarga é função da cota do ponto 2. Assim, tem que se definir uma área de descarga infinitésimal onde a velocidade possa ser considerada uniforme. Considere-se a tira infinitesimal de altura δ z 2 a uma distância z 2 da base do descarregador. O caudal de descarga através desta área elementar é dado por:
Equação de Bernoulli
δ Q = v 2 δ A = v 2 b δ z 2 (4.41)
Estendendo esta análise a toda a área do descarregador resulta:
Q vb z Q [ g ( H z ) v ] b z
H H d 2 d
12 0 12 0 2 ^
Integrando:
= ^ +^1 223 −^12 )^23
g
v g Q b g H v (4.43)
Na maioria dos casos H v 2 g 12
pelo que o caudal volumétrico de descarga é dado por:
2 3 Q = 32 b 2 gH (4.44)
Descarregador triangular
No caso de um descarregador triangular a largura da tira infinitesimal é função da coordenada z. Seguindo o mesmo raciocínio que para o descarregador rectangular e exprimindo a largura da tira em função de z , obtém-se:
15 tan 2
Q = 8 θ gH (4.45)
Deixa-se como exercício deduzir este resultado.
