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Capítulo 7
Momento angular
7.1 Autovalores e elementos de matriz
Relembrando o capítulo 3 temos as relações de comutação para o momento angular: [J i , J k ] = i¯h ikl J l , (7.1)
com: J i † = J i. Essas relações são suficientes para definir o espectro de autovalores para esses operadores. Através de uma analogia clássica somos motivados a seguinte definição: Definição: J^2 = J · J = J x^2 + J y^2 + J z^2. É possível mostrar que J^2 comuta com as componentes de J : [ J^2 , J
] = 0. (7.2)
Pelo teorema 7 é possível construir uma base de autovetores que diagonaliza uma das componentes de J e J^2 simultaneamente. Escolhemos a componente J z (poderia ser qualquer outra) e supomos que esse autovetor pode ser representado por |β, m〉. Então supomos que:
J^2 |β, m〉 = ¯h^2 β|β, m〉, J z |β, m〉 = ¯hm|β, m〉, (7.3)
mas, por outro lado, 〈 β, m
∣∣ ∣J^2
∣∣ ∣β, m
〉
〈 β, m
∣∣ ∣J x^2
∣∣ ∣β, m
〉
〈 β, m
∣∣ ∣J y^2
∣∣ ∣β, m
〉
〈 β, m
∣∣ ∣J z^2
∣∣ ∣β, m
〉 , (7.4)
o produto interno de um vetor com ele mesmo não pode ser negativo, logo: 〈 β, m
∣∣ ∣J i^2
∣∣ ∣β, m
〉 ≥ 0 , (7.5)
97
98 CAPÍTULO 7. MOMENTO ANGULAR
e como 〈β, m|J z^2 |β, m〉 ≥ ¯h^2 m^2 a equação (7.4) se torna a desigualdade
¯h^2 β ≥ 0 + 0 + ¯h^2 m^2 ⇒ β ≥ m^2 , (7.6)
para um dado β existe um valor mínimo e máximo para m. Nesse momento in- troduzimos dois operadores (similarmente aos operadores criação e destruição do capítulo 6) para facilitar os cálculos:
J+ = J x + iJ y , J− = J x − iJ y , (7.7)
que satisfazem as relações de comutação:
[J z , J+] = ¯hJ+, [J z , J−] = −¯hJ−, [J+, J−] = 2¯hJ z. (7.8)
Queremos calcular quem é β e explicitar a relação (7.6). Para isso calcule- mos:
J z J+|β, m〉 = (J+J z + ¯hJ+)|β, m〉 = J+J z |β, m〉 + ¯hJ+|β, m〉 = J+¯hm|β, m〉 + ¯hJ+|β, m〉 = ¯h(m + 1)J+|β, m〉, (7.9)
logo J+|β, m〉 é autovetor de J z com autovalor ¯h(m + 1). Como existe um valor máximo para m vamos supor que esse valor máximo é j de tal forma que: J+|β, j〉 = 0, (7.10)
pois não pode existir o autovalor ¯h(j + 1). Com esse resultado podemos escrever: J−J+|β, j〉 = 0, (7.11)
mas J−J+ = (J x − iJ y )(J x + iJ y ) = J^2 − J z^2 − hJ¯ z , (7.12)
em que usamos as relações de comutação para J x e J y. Com esse resultado e a equação (7.11) encontramos:
J−J+|β, j〉 = J^2 |β, j〉 − J z^2 |β, j〉 − ¯hJ z |β, j〉, (7.13)
daí encontramos:
0 = ¯h^2 β − ¯h^2 j − ¯h^2 j ⇒ β = j(j + 1). (7.14)
Podemos repetir o mesmo processo de antes, usando J z J−|β, j〉, para mos- trar que J−|β, j〉 é autovetor de J z com autovalor ¯h(m − 1). Adicionalmente deve valer que J−|β, k〉 = 0 pois k é o menor valor admissível para m.
100 CAPÍTULO 7. MOMENTO ANGULAR
Figura 7.1: Elementos de matriz do operador momento angular para valores de m e j. Extraído de [2].
De forma análoga podemos proceder para J−. As representações matriciais de J x e J y podem ser obtidas a partir de:
J x =
J+ + J−
, J y =
J+ − J−
2 i
7.2 Forma explícita dos operadores de mo-
mento angular
Conforme vimos no capítulo 3 o operador momento angular está associado a rotações de um ângulo θ na direção nˆ:
R n (θ) = e iθn ˆ· J / ¯ h. (7.21)
Caso 1) Função de estado de uma componente Suponha que exista uma função de estado que depende apenas de uma componente. A atuação de R nessa função ψ( x ) é dada por:
Rψ( x ) = ψ
( R−^1 x
) , (7.22)
considerando rotações infinitesimais em torno de z:
R z ()ψ(x, y, z) =
cos − sin 0 sin cos 0 0 0 1
x y z
, (7.23)
7.3. MOMENTO ANGULAR ORBITAL 101
vai nos dar a função ψ(x cos + y sin , −x sin + y cos , z). Expandindo essa função em séries de potências:
R z ()ψ(x, y, z) = ψ(x, y, z) +
( y
∂ψ ∂x
− x
∂ψ ∂y
) , (7.24)
também expandindo o operador:
R z () = 1 +
iJ z h ¯
e como ψ é uma função arbitrária encontramos:
iJ z ¯h
( y
∂x
− x
∂y
) ⇒ J z = −i¯h
( y
∂x
− x
∂y
) , (7.26)
que não é senão a componente z de um produto vetorial. Repetindo esse procedimento para J x e J y podemos mostrar que:
L = Q × P , (7.27)
exatamente como na mecânica clássica. Num sistema cuja função de estado possui apenas 1 componente estamos desconsiderando qualquer outra forma de momento angular e, portanto, nossa discussão para J é idêntica para L. Para sistemas mais complicados, como veremos a seguir, J 6 = L. Caso 2) Função de estado de múltiplas componentes Para estados multicomponentes não vale mais a identificação J = L pois existem outras formas de momento angular. Pode existir um grau de liberdade interno chamado de momento angular de spin , denotado pelo operador S , que possui as mesmas características do operador L e, portanto, deve ser adicionado a este para compor J. Por essa razão damos o nome para J de momento angular total e para L o nome de momento angular orbital. Assim, nesse caso J = L + S (7.28) Veremos em mais detalhes o momento angular orbital, momento angular de spin e a forma como somar essas grandezas nas seções que seguem.
7.3 Momento angular orbital
Conforme comentamos na seção anterior o momento angular quântico se escreve igualmente ao momento angular clássico com a substituição da função posição pelo operador posição e substituindo a função momento linear pelo operador momento linear.
7.4. SPIN 103
com a condição −s ≥ m ≥ s. Caso 1) s = 1/ 2 Consideremos partículas de spin semi-inteiro chamadas de férmions (mais pra frente veremos o por quê do nome). Nesse caso a representação do operador de spin é de matrizes 2 x 2 conhecidas como matrizes de Pauli. Essas matrizes são:
( 1 0 0 1
) , σ x =
( 0 1 1 0
) , (7.35)
σ y =
( 0 −i i 0
) , σ z =
( 1 0 0 − 1
)
. (7.36)
Essas matrizes possuem autovalores iguais a ± 1 , traço nulo, determinante unitário e satisfazem as mesmas relações de comutação do operador momento angular. Por isso definimos:
S i =
¯h 2
σ i , (7.37)
geralmente define-se σ 0 = 1 , a matriz identidade, para que o conjunto das quatro matrizes σ i , de i = 1 até 4 , formem uma base completa ortonormal para o espaço de matrizes 2x2 (mais especificamente, são os geradores do grupo SU(2), o grupo das rotações unitárias em duas dimensões). Um sistema de spin-1/2 tem como operador densidade a seguinte expressão:
ρ =
( 1 + a · σ ) =
( 1 + a x σ x + a y σ y + a z σ z ), (7.38)
o fator 1 / 2 é necessário para que T r(ρ) = 1 e o termo a tem que ser real para que possamos garantir hermiticidade. Para entendermos melhor o significado de a calculemos:
〈σ x 〉 = T r(ρσ x ) =
T r(σ x + a x σ x σ x + a y σ y σ x + a z σ z σ x ) = a x , (7.39)
em que usamos relações de comutação para as matrizes de Pauli e o traço nulo. Esse resultado é válido para qualquer uma das componentes, logo:
〈 σ 〉 = a , (7.40)
o vetor a é usualmente chamado de vetor de polarização. Como os auto- valores de σ os autovalores de ρ são conhecidos e dados por:
λ ρ =
(1 ± | a |), (7.41)
104 CAPÍTULO 7. MOMENTO ANGULAR
em que usamos λ ρ para denotar os autovalores do operador ρ. Como ρ não pode ser negativo, temos que: 0 ≥ | a | ≥ 1. O estado | a | = 1 é conhecido como estado polarizado, correspondendo a polarização máxima dos sistema. O estado | a | = 0 é não-polarizado. Uma única partícula de spin-1/2 (um elétron, por exemplo) é um exemplo simples de um qubit , a unidade básica de computação quântica. Um bit clássico possui 2 estados possíveis, zero ou um. Um bit quântico (qubit) possui 3 estados possíveis; zero, um e uma superposição destes. Já dois qubits tem 15 estados possíveis; | 00 〉, | 01 〉, | 10 〉, | 11 〉, | 00 〉 + | 01 〉, | 00 〉 + | 10 〉, | 00 〉 + | 11 〉, | 01 〉 + | 10 〉, | 10 〉 + | 11 〉, | 01 〉 + | 11 〉, | 00 〉 + | 01 〉 + | 10 〉, | 00 〉 + | 01 〉 + | 11 〉, | 01 〉 + | 10 〉 + | 11 〉, | 00 〉 + | 10 〉 + | 11 〉, | 00 〉 + | 01 〉 + | 10 〉 + | 11 〉. Esse pequeno exemplo mostra o poder da computação quântica frente a computação clássica. Veremos mais detalhes sobre isso no último capítulo do livro ou, para os mais curiosos, em [5]. Caso 2) s = 1 Nesse caso temos partículas de spin inteiro, chamadas de bósons (como antes, veremos mais a frente o por quê deste nome). Agora as matrizes de spin não podem mais ser representadas pelas matrizes de Pauli. Inclusive, nesse caso, as matrizes são 3x3:
S x = ¯h
√ 1 2
, S y = ¯h
√ 1 2
0 −i 0 1 0 −i 0 i 0
, S x = ¯h
,
nesse caso não podemos mais dizer que o vetor polarização é um autovetor da componente do spin na mesma direção. Com a restrição T r(ρ) = 1 o operador de estado ρ possui oito componentes enquanto 〈 S 〉 garante apenas três. Veremos mais sobre isso e como resolver esse problema no próximo capítulo. Por fim sistemas de spin maiores s = 3/ 2 , s = 2 etc necessitarão de matrizes maiores ( 4 x 4 , 5 x 5 e assim sucessivamente) aumentando o número de parâmetros necessários para descrever o operador de sistema. Outra complicação adicional é que as componentes de S^2 não comutam mais, de forma a não existir uma base comum entre eles. Essas são dificuldades adicionais quando estamos tratando sistemas de spin diferente de 1 ou de 1 / 2 , que são os casos mais simples.
7.5 Rotações finitas
A teoria de grupos tem um forte resultado matemático conhecido como teorema da ortogonalidade de representações que diz que o produto
106 CAPÍTULO 7. MOMENTO ANGULAR
como os valores esperados são independentes da escolha do referencial (do contrário teríamos uma física diferente em cada referencial) e também da consideração que rotações não misturam j encontramos:
R n (2π) = R(2π), (7.49)
em geral a maioria dos observáveis físicos, denotados genericamente por A, são invariantes para rotações de 2 π. Isso significa que:
R(2π)AR(2π)−^1 = A, ⇒ [R(2π), A] = 0. (7.50)
Genericamente um operador unitário U que deixa um observável A inva- riante [U, A] = 0 implica que os valores esperados em referenciais diferentes conduzidos pelo operador U são idênticos. Para mostrar isso, note que:
|ψ′〉 = U |ψ〉 6 = |ψ〉, (7.51)
mas: 〈A〉′^ = 〈ψ′|A|ψ′〉 =
〈 ψ
∣∣ ∣U †AU
∣∣ ∣ψ
〉 = 〈ψ|A|ψ〉 = 〈A〉. (7.52) O mesmo resultado vale para um operador de estado geral ρ que é invariante por U : ρ′^ = U ρU †^ ⇒ 〈A〉′^ = 〈A〉, (7.53)
a única diferença do caso anterior é que teremos que usar o traço 〈A〉 = T r(ρA) para provar isso. O operador R(2π) divide o espaço vetorial em 2 subespaços:
|+〉 → R(2π)|+〉 = |+〉, j inteiro, (7.54) |−〉 → R(2π)|−〉 = −|−〉, j semi-inteiro. (7.55) Consideremos um observável A invariante por R(2π) e com isso podemos escrever: 〈+|R(2π)A|−〉 = 〈+|AR(2π)|−〉, (7.56)
pois A comuta com R(2π). Isso implica em:
〈+|A|−〉 = −〈+|A|−〉, (7.57)
o que é válido se, e somente se,
〈+|A|−〉 = 0, (7.58)
esse pequeno cálculo que fizemos nos mostra um importante resultado: Super regra de seleção: Nenhum estado físico pode ter termos que misturam j inteiro com j semi-inteiro. Disso podemos tirar a importante conclusão que toda operação de simetria leva a uma regra de seleção com a conservação do número quântico associado.
7.7. ADIÇÃO DE MOMENTO ANGULAR 107
7.7 Adição de momento angular
Considere um sistema de duas componentes com momento angular. Deno- taremos a partícula 1 com momento angular J(1)^ e a partícula 2 com momento angular J(2). Poderíamos pensar, também, em adição de L com S de uma mesma partícula (num fenômeno chamado acoplamento spin-órbita, que será visto mais adiante). O ket que é autovetor de ambos operadores é denotado por:
|j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 〉 = |j 1 , m 1 〉(1)^ ⊗ |j 2 , m 2 〉(2), (7.59)
tais que: [ J(1)
] 2 |j 1 , m 1 〉 = ¯h^2 j 1 (j 1 + 1)|j 1 , m 1 〉, J z (1) |j 1 , m 1 〉 = ¯hm 1 |j 1 , m 1 〉, (7.60) [ J(2)
] 2 |j 2 , m 2 〉 = ¯h^2 j 2 (j 2 + 1)|j 2 , m 2 〉, J z (2) |j 2 , m 2 〉 = ¯hm 2 |j 2 , m 2 〉. (7.61)
Quando o sistema como um todo é invariante a rotações as constantes de movimento não são J(1)^ ou J(2)^ mas, sim:
J = J(1)^ ⊗ 1 + 1 ⊗ J(2), (7.62)
os autovetores de J (o operador resultado da soma de dois momentos angulares) é denotado por |j 1 , j 2 , J, M 〉, também chamados de autovetores do operador momento angular total. Assim, fica a importante pergunta: como conectar os autovetores dos ope- radores individuais |j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 〉 com os autovetores do operador momento angular total |j 1 , j 2 ; J, M 〉? A resposta é através dos coeficientes de Clebsh-Gordon. É possível expressar a base |j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 〉 em termos de |j 1 , j 2 ; J, M 〉 usando:
|j 1 , j 2 ; J, M 〉 =
∑ m 1 ,m 2
|j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 〉〈j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 |J, M 〉, (7.63)
os coeficientes dessa transformação são os chamados coeficientes de Clebsh- Gordon :
〈j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 |J, M 〉 = 〈j 1 , j 2 ; m 1 , m 2 |j 1 , j 2 ; J, M 〉. (7.64)
Esses coeficientes, com a escolha apropriada de uma fase, são únicos e a transformação conduzida por eles é unitária de tal forma que eles satisfazem relações de ortogonalidade. Além disso eles não são nulos exceto nos casos:
7.9. TEORIA DE GRUPOS E MOMENTO ANGULAR 109
com L^2. Essa estranheza do operador momento angular é consequência desse operador estar inserido em um contexto mais geral de teoria de grupos. A matemática por trás da teoria de momento angular é muito bem sedimentada e está cada vez mais presente em física, principalmente em modelos sofisticados de física de partículas. Por conta da beleza dessa teoria dedicaremos essa seção para apresentar novos conceitos em teoria de grupos e estabelecer a relação desses conceitos com as ideias de momento angular em mecânica quântica.
7.9.1 O grupo SU (2)
Conforme comentamos no apêndice C um grupo é definido como um con- junto de objetos dotado de uma operação de multiplicação entre os elementos desse grupo que satisfazem certas propriedades (citar algum livro). Considere o conjunto de todas as matrizes de entradas complexas, unitárias, de dimensão 2 e determinante 1. Ou seja, são matrizes que satisfazem:
SU (2) =
{( α −β∗ β α∗
) , α, β ∈ C, |α| + |β| = 1.
} (7.68)
Por conta de sua estrutura, esse grupo é chamado grupo especial uni- tário. Esse grupo é de tamanha importância em física pois serve para representar sistemas de dois níveis de spin. Note que todas as matrizes de Pauli, σ i , pertencem a esse grupo. Isso significa, então, que é possível descrever operações de spin através de operações em um grupo, algo que é fácil de ser feito e é bem estabelecido na literatura matemática (citar livro de novo).
7.9.2 O grupo SO(3)
O próximo grupo que gostaríamos de comentar consiste no grupo SO(3), também chamado de grupo das rotações do espaço tridimensional. Já comentamos dele no cap 3: não é nada mais que o grupo que corresponde a todas as rotações no espaço tridimensional. O gerador dessas rotações é o momento angular, conforme já comentamos.
7.9.3 Grupos de Lie
Os dois grupos anteriores que comentamos são grupos que pertencem a uma classe especial, chamados de grupos de Lie.
110 CAPÍTULO 7. MOMENTO ANGULAR
Esses grupos possuem uma estrutura de continuidade para todas as opera- ções de multiplicação do grupo. Em outras palavras, é um grupo contínuo em que um de seus elementos é descrito por um conjunto de parâmetros reais. Relembrando o grupo de Galileu que estudamos no capítulo 3 vemos que todos os elementos ali estão associados a parâmetros reais (tempo, posição, ângulos) consistindo, portanto, em grupos de Lie. A importância dos grupos de Lie em física é simplesmente vasta e não se restringe apenas à mecânica quântica (citar fonte).
7.9.4 Álgebras de Lie
A grande vantagem de se conhecer que uma dada teoria física é descrita por um grupo de Lie consiste em que eles satisfazem uma álgebra própria, chamada álgebra de Lie. Para todo grupo de Lie há uma álgebra de Lie associada e ela permite simplificar a análise de sistemas físicos através das relações satisfeitas pelos geradores de simetrias do grupo de Lie subjacente. Em termos práticos uma álgebra de Lie é uma álgebra de comutadores.
7.10 Exercícios
Exercício 7.1 Prove a relação de comutação entre J^2 e J , equação (7.2).
Exercício 7.2 Prove as relações de comutação da equação (7.8).
Exercício 7.3 Prove a relação da equação (7.15).
Exercício 7.4 Resolva todos os exercícios 7.4, 7.5 e 7.6 do livro do Ballen- tine, [2].
Exercício 7.5 O estado geral de um sistema com operador momento angular total J é |j, m〉 , sendo j o número quântico azimutal associado ao operador J^2 e m o número quântico associado ao operador J z. Seja, também, os operadores “escada”: J±|s, m〉 =
√ j(j + 1) − m(m ± 1)¯h|j, m ± 1 〉, (7.69) sendo que J pode significar qualquer combinação linear de momentos angulares, inclusive de spin. a) Opere a soma de momento angular para spin: S = S(1)^ + S(2)^ para achar todos os estados possíveis ao sistema de duas partículas de spin-1/2. b) Opere a soma de momento angular de spin-órbita: J = L+S para achar todos os estados possíveis ao sistema de duas partículas, uma de momento
112 CAPÍTULO 7. MOMENTO ANGULAR
