Capitulo 8 – Resolução de Exercícios, Notas de estudo de Matemática Financeira

Baixe Capitulo 8 – Resolução de Exercícios e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity! Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 96 FORMULÁRIO Anuidades Periódicas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P. A.    1 1 1 1 n n PAC n i n i i iG G S R n R s s n i i i i                                        1 1 1 1 1 1 1 n n n n PAC n i n in i iG G n C n R a R a i ii ii i i                                      Anuidades Gradientes Postecipadas  1 1 n GP iG S n i i           ;     1 1 1 n GP n iG C n iii            Anuidades Gradientes Antecipadas (1 ) 1 (1 ) n GA G i S n i i i            ; 1 (1 ) 1 (1 ) n GA n G i C n i i i            (1 )GA GPS S i   ; (1 )GA GPC C i   Anuidades Gradientes, Decrescentes e Postecipadas        2 1 1 1 1 1 1 n n n GDP iG G S n i n i i i i i                             2 1 11 1 1 1 n GDP n n iG G C n i n i ii i i                         Anuidades Gradientes, Decrescentes e Antecipadas   2 1 1 (1 ) 1 GDA n G C n i i i i              e o montante correspondente, na época n-1, é dado por:   2 1 1 (1 ) 1 n GDA n G S n i i i i              e o montante correspondente, na época n, é dado por:    1 1GDA GDA GDPS S i S i       Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 97 FORMULÁRIO Anuidades Infinitas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P. A. , 2a G R C i i    Anuidades Periódicas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P.G. Para 1 GG R i C q q n     ;   1 1 n GGS n R i      Para     1 1 1 1 G n nG R q q i i q i C               ;    1 1 GG n nS R i q i q        Anuidades Periódicas, Infinitas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P.G. se ,1 1 G R q i C i q       Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 100 d) anuidade decrescente em P.A., com termo inicial de R$ 4.000,00 e razão igual a R$ 200,00, com a primeira parcela daqui a 2 meses Note que neste caso podemos considerar essa anuidade como a soma de uma anuidade uniforme, diferida em 1 período e com termo igual a R$ 2.000,00, com uma anuidade gradiente, decrescente e postecipada, diferida em 1 período. Logo, seu valor atual pode ser calculado como a soma dos valores atuais de cada uma das duas anuidades. O primeiro valor atual, C1 , da anuidade uniforme, é dado por:       1 1 1 1 1 1 n m n i i C R i i            , onde m é o prazo do diferimento      10 10 1 1 14708,06653 1 0,051 1 0,05 1 200 0,05 0 0,05 C              O segundo valor atual, C2 , da anuidade gradiente decrescente, é dado por:       2 1 1 1 1 1 n mn iG n i i C i i            , onde m é o prazo do diferimento       10 2 10 1 0,05 1200 10 8679,105029 0,05 0,05 1 0, 1 1 0,0505 C               Logo o valor atual da anuidade original, C , é dado por: 1 2 14708,06653 8679,10503 $ 23.387,17C C C R     A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel. Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 101 e) anuidade crescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 1,06 (6% de crescimento mensal), com a primeira parcela daqui a 2 meses       1 1 1 1 1 1 nGG n m R q Cq i i q i i                 , onde m é o prazo do diferimento       10 10 3000 1,06 1 1 $ 28.407,18 1 0,05 1,06 1 0,051 0,05 GG RC              A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel. f) anuidade decrescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 0,94, com a primeira parcela daqui a 2 meses       1 1 1 1 1 1 nGG n m R q Cq i i q i i                 , onde m é o prazo do diferimento       10 10 3000 0,94 1 1 $17.385,38 1 0,05 0,94 1 0,051 0,05 GG RC              A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel. Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 102 2) Pedro contraiu um empréstimo de R$ 10.000,00 que será pago em 10 parcelas mensais, que formam uma anuidade gradiente, crescente com o primeiro pagamento ao final de 6 meses. Se a taxa de juros que o banco cobra de Pedro é de 5% a.m., quais os valores da primeira e décima parcelas? Solução O fluxo de caixa representativo do problema é: Logo, a equação de valor é dada por:       11 1 41 1 0,05 1 1 10000 11 0,051 0,050,05 1 0,05 G             Vale ressaltar que o último pagamento de uma anuidade gradiente crescente e postecipada, tem o valor  1n G  ; o que acarretou fazermos n = 11, na equação acima.  10000 3,206787 0,822702 $ 324,14 0,085517 G G R     Portanto o valor da 1ª parcela é R$ 324,14; e o da última parcela corresponde a R$ 3.241,40. Podemos modelar este problema de diversas maneiras. Vamos, neste caso, utilizar as funções VPL e Solver do Excel; como mostrado nas planilhas abaixo Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 105 representada pelo lado esquerdo da equação. O gráfico de f (i) é representado a seguir, para dois intervalos ( 0 ; 1) e (0 ; 0,1), nos qual podemos verificar a existência de apenas uma raiz e ter uma boa estimativa de seu valor. Logo, a raiz da equação está no intervalo aberto (1% ; 2%). Portanto, lançando mão do método da bisseção, começaremos nossa análise pela taxa 1,5%a.m.. Para i = 1,5%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,63953; isto é, maior que zero, indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5% e 2%. Para i = 1,75%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -1,32231; isto é, menor que zero, indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5% e 1,75%. Para i = 1,625%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,36161; isto é, menor que zero, indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5% e 1,625%. Para i = 1,5625%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,13378; isto é, menor que zero, indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5625% e 1,625%. Realizando mais algumas iterações chegaríamos a i = 1,57925%a.m. que tem uma aproximação da ordem de 10-6. Este mesmo problema poderia ser resolvido utilizando o Excel, de diversas maneiras. Mostraremos aqui apenas duas delas. Na primeira, utilizamos a função TIR do Excel e explicitamos o fluxo de caixa. Na segunda, utilizamos as funções financeiras e a função Solver do Excel. Vale ressaltar que como a função TIR exige apenas uma sequência de valores para indicar o fluxo de caixa, tivemos que dividir a figura em duas partes; mostradas a seguir, uma ao lado da outra. Como de costume, a fórmula apresentada na célula D2 representa a efetivamente inserida na célula D1. Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 106 Solução 1 Solução 2 Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 107 Alternativamente, usando a função [TIR] da HP 12C, tem-se: [f][REG]50000[CHS][g][CF0]0[g][CFj][g][CFj]1500[g][CFj]50[g][Nj][f][IRR]1,579251 Financiamento do tipo (b) Tendo em vista a fórmula para CPAC e o diferimento de 2 meses tem-se:                   50 50 5 50 50 2 5 52 0 5 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 150 50000 50 500 1 1 1 150 50 500 50000 0 i i ii i i i ii i i i i ou i i                                                           Como já observado o fluxo de caixa só troca de sinal uma vez; podemos, pois, garantir que só existirá uma taxa interna de retorno. Portanto, fazendo o gráfico da função f (i), formada pelo lado esquerdo da equação, podemos ter uma estimativa do seu valor. O gráfico abaixo representa f (i) no intervalo (0 ; 0,1). Pela comparação dos gráficos de f (i), dos financiamentos (a) e (b), poderíamos constatar, por inspeção visual, que o financiamento (a) apresenta uma taxa interna de retorno inferior a do financiamento (b); sendo, portanto, uma melhor opção que o financiamento (b). Poderíamos utilizar o método iterativo para descobrir o valor da TIR. Porém, resolveremos o problema utilizando o Excel e sua função TIR, a partir do fluxo de caixa. A planilha a seguir mostra, portanto, apenas um possível encaminhamento para a solução. Vale ressaltar que como a função TIR exige apenas uma sequência de valores para indicar o fluxo de caixa, tivemos que dividir a figura em duas partes; mostradas a seguir, uma ao Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 110 (c); Logo, João deveria optar pelo financiamento (a), pois é o que apresenta a menor taxa interna de retorno. 5) O Governo do Estado do Rio de Janeiro deve realizar obras para revitalização na Av. Brasil, principal acesso rodoviário à cidade do Rio de Janeiro. Existem duas propostas para tal obra. A primeira, utilizando asfalto normal, com vida útil de cinco anos, ao custo inicial de R$ 500.000,00/km, e custo anual de manutenção formando uma P.A., postecipada, com termo inicial de R$ 50.000,00 e razão de R$10.000,00. A segunda, utilizando um novo tipo de asfalto, denominado asfalto emborrachado, que utiliza pneus velhos em sua composição; sendo, portanto, ecologicamente correto e com vida útil de 12 anos. Seu custo inicial é de R$ 1.000.000,00/km, e custo anual de manutenção formando uma P.G., postecipada, com termo inicial de R$ 30.000,00 e taxa de crescimento de 1%a.a. Considerando que existe disponibilidade orçamentária para ambas as opções, qual deve ser a escolhida, considerando um custo de capital de 5%a.a.? Solução Como as duas opções têm vidas úteis distintas devemos comparar o custo médio de cada opção, nas suas respectivas vidas úteis.2 Para tal, devemos encontrar o valor atual de cada uma das anuidades e soma-los com seu respectivo custo inicial; e a seguir, e ai distriuí-lo uniformemente pela duração de sua vida útil. Opção do Asfalto Normal (custo médio RAN )         5 5 5 5 1 0,05 1 1 0,05 110000 5 50000 $ 2 1 0,05 1 0,05 98.843,00 0,050,05 0,05 PACC R                          Logo       5 5 0,05 298843 500000 $184.512,60 1 0,05 1 1 0,05 ANR R             Opção do Asfalto Emborrachado (custo médio RAE )     12 12 30000 1,01 1 1 $ 279.406,24 1 0,05 1,01 1 0,05 GGCq i R               Logo       12 12 0,0 15 1000000 $144.349,53 1 0,0 0, 5 05 279406,24 1 AER R             Portanto, a opção pelo asfalto emborrachado deve ser a preferida. 2 Justificaremos tal critério de seleção no capítulo 11. Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 111 A planilha abaixo mostra os cálculos, para ambas as opções, utilizando as funções VPL e PGTO do Excel. Mais uma vez, as fórmulas apresentadas nas colunas C e F representam as efetivamente inseridas nas respectivas células das colunas B e E. 6) Reconsidere o exercício 5, na hipótese de previsão de inflação futura à taxa de 3%a.a. Qual seria, nesse caso, a opção preferível? Solução Primeiramente, deveremos explicitar a taxa de juros real iR , a partir da taxa de juros aparente (i=5%a.a.) e da taxa de inflação (I=3%a.a.).       1,05 1 1 1 1,05 1,03 1 1 0,019417 1,9417% . . 1,03 R R Ri i I i i ou a a            Por outro lado, supondo que os custos de manutenção não sejam reajustados, devemos calcular o fluxo de caixa real de ambos os casos deflacionando os fluxos do exercício 5. Os fluxos reais, isto é, os fluxos a preços da data atual, são os apresentados na tabela abaixo (onde a coluna “ Valores Aparentes” representam os custos de manutenção a preços correntes). Período Val.Aparentes Valores Reais Período Val.Aparentes Valores Reais 0 0 1 50000 48543,68932 1 30000 29126,21359 2 60000 56555,75455 2 30300 28560,65605 3 70000 64059,91615 3 30603 28006,0802 4 80000 71078,96383 4 30909,03 27462,27282 5 90000 77634,79059 5 31218,1203 26929,0248 6 31530,3015 26406,13112 7 31845,60452 25893,39071 8 32164,06056 25390,60642 9 32485,70117 24897,58494 10 32810,55818 24414,13669 11 33138,66376 23940,07578 12 33470,0504 23475,21994 Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 112 Matematicamente, as expressões que representam as parcelas reais de manutenção do asfalto normal RNj e do asfalto emborrachado REj , são dadas por:     50000 10000 1 , 1,2,...,5 1 j j j RN j I            1 30000 1 0,01 , 1,2,...,12 1 j j j RE j I       Devemos, agora, descontar os respectivos fluxos reais à taxa real, para somar com o respectivo custo inicial; e, a seguir, expressa-los em termos de custos médios, ao longo das respectivas vidas úteis. Comparando, então, seus custo médios reais. Vale notar que os valores atuais na época zero, considerando os fluxos aparentes, à taxa aparente, se igualam aos dos respectivos fluxos reais, à taxa real. Portanto, os valores atuais calculados no exercício 5 podem ser utilizados para obter os custos médios reais de cada opção. Ou seja, o custo médio real do asfalto normal (RAN ) e do emborrachado (RAE ) são, tendo em vista a taxa real de 1,9417%a.a.       5 5 0,019417 0,019417 298843 500000 $169.194,58 1 0,01941 1 7 1 ANR R                   1 12 2 0,019417 0,019417 1000000 $120.547,39 1 0,01 1 279406,2 9417 1 4AER R             A planilha abaixo mostra os cálculos, para ambas as opções, utilizando as funções VPL e PGTO do Excel. Mais uma vez, as fórmulas apresentadas nas colunas D e H representam as efetivamente inseridas nas respectivas células das colunas C e G. Mais uma vez, o asfalto emborrachado seria o preferido; já que apresenta o menor custo médio anual. 7) Calcular o primeiro termo de uma anuidade mensal, postecipada e de 10 termos, cujo valor presente é R$ 40.000,00, à uma taxa de juros de 5% a.m. , nos casos em que: a) a anuidade é em P.A. com razão R$ 200,00. b) a anuidade é em P.G. com taxa de decrescimento de 5%a.m.