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A Caten´aria
Inspira¸c˜ao das aulas do Prof. Fleming
1 Introdu¸c˜ao
O formato de uma corda suspensa por suas extremidades ´a chamado caten´aria. Mas qual ´e ex- atamente seu perfil? Vamos resolver este problema partindo de um princ´ıpio bem simples: dentre todos os poss´ıveis formatos que unem os dois pontos, a corda assumir´a aquele que tem a menor energia armazenada. Isso se resume a resolver o problema de m´ınimo,
E → m´ınimo
onde E ´e a energia total da corda suspensa.
2 Energia Total da Corda
Como a corda est´a parada, sua energia ser´a somente potencial, que para um elemento de corda de massa dm pode ser escrita como,
dV = (dm)gh,
onde g ´e a gravidade e h a altura do elemento de corda com respeito ao eixo x. Se a corda tem densidade λ, e lembrando que o comprimento de uma curva ´e ds =
1 + y′(x)^2 , podemos escrever o elemento de massa como,
dm = λds = λ
1 + y′(x)^2 ,
e a energia potencial de um peda¸co de corda fica,
dV = λ
1 + y′(x)^2 gh,
Como h ´e a altura do elemento de corda, em cada ponto a altura ser´a h = y(x), pelo que a energia potencial total da corda suspensa fica,
V =
dV = λg
1 + y′(x)^2 y(x)dx (1)
Essa ´e a fun¸c˜ao que queremos minimizar: dentre todas as poss´ıveis formas que a corda pode assumir (todas as fun¸c˜oes y(x) que unem os pontos onde a corda foi suspensa), queremos aquela que confere a menor energia potencial `a corda (aquela que minimiza a fun¸c˜ao V =
1 + y′^2 ydx)^1. (^1) Deixaremos de lado, por enquanto, os parˆametros λ e g.
3 Variando Curvas
A problema agora consiste em determinar y(x) que minimiza V =
1 + y′^2 ydx. Sabemos do c´alculo variacional que, se y(x) ´e a curva que minimiza o funcional^2 f (y, y′) =
1 + y′^2 y, ent˜ao ela deve satisfazer a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange,
∂f ∂y
∂x
∂f ∂y′^
Como, no nosso caso, f n˜ao depende explicitamente de x, a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange pode ser escrita como,
y′^
∂f ∂y′^
− f = C (2)
onde C ´e uma constante. Calculando (^) ∂y∂f′ e plugando na equa¸c˜ao (2), vamos obter uma equa¸c˜ao diferencial que a solu¸c˜ao do problema (o formato da corda suspensa, y(x)) dever´a satisfazer.
A derivada (^) ∂y∂f′ ´e, ∂f ∂y′^
yy′ √ 1 + y′^2
portanto a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange fica,
yy′^2 √ 1 + y′^2
1 + y′^2 y = C (3)
O que acabamos de descobrir ´e que, se o formato da corda suspensa, y(x), minimizar a energia potencial, ela dever´a satisfazer a equa¸c˜ao diferencial (3). O trabalho agora consiste em achar uma solu¸c˜ao para essa equa¸c˜ao.
4 A Solu¸c˜ao
O problema de determinar o formato de uma corda suspensa por suas extremidades se resumiu, portanto, a resolver a equa¸c˜ao diferencial,
yy′^2 √ 1 + y′^2
1 + y′^2 y = C
Poder´ıamos, nesse momento, evocar t´ecnicas elaborad´ıssimas para achar a solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao. Entretanto, infelizmente irei desapont´a-lo e simplesmente apresentar a solu¸c˜ao. Assim, verifiquemos que a fun¸c˜ao y(x) = cosh(x) satisfaz a supracitada equa¸c˜ao diferencial (3).
(^2) Funcional ´e s´o um nome pomposo para uma fun¸c˜ao que tem como vari´avel outras fun¸c˜oes; neste caso, f depende de y(x) e sua derivada.
