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Esta aula aborda os conceitos fundamentais de vetores em cinemática, incluindo a noção de vetor, adição e multiplicação de vetores, módulo e direção, projeção de vetores e componentes escalares. Além disso, é apresentado o conceito de base ortonormal de vetores tridimensionais e como escrever um vetor em termos dessa base. O texto é adaptado por lizardo h. C. M. Nunes da apostila física 1a.
Tipologia: Notas de aula
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Objetivos desta Aula Aprender o conceito de vetor e suas propriedades como instrumento apropriado para estudar movimentos não-retilíneos; Entender a operação de adição de vetores e a multiplicação de um vetor por um escalar; Entender os conceitos de base e componentes de um vetor e compreender o significado geométrico da projeção de um vetor ao longo de uma dada direção.
cinemática (^) Vetores
é único. Nesse segmento de reta, são possíveis dois sentidos de percurso: o
sentido é chamado de segmento de reta orientado. Para abreviar a linguagem, chamamos um segmento de reta orientado simplesmente de seta. Ao fazer o desenho de uma seta, indicamos que ela tem sentido, ou orientação,
Figura 2.1. Figura 2.1: Segmento de reta orientado ou seta.
reta suporte da seta. Essa reta tem uma direção com relação a outros objetos, como por exemplo, a direção horizontal, ou vertical, ou inclinada de um ângulo com relação a outra reta. Definimos a direção da seta como sendo a direção de sua reta suporte. Em cada direção há dois sentidos, por exemplo, na direção vertical, há os sentidos para cima e para baixo, e na horizontal, o que chamamos de sentidos para a esquerda e para a direita (especificados, é claro, em relação à superfície da Terra e ao observador). Uma seta ou segmento de reta orientado tem sempre um dos sentidos dentre os dois possíveis ao longo de sua direção. Uma seta tem também um certo comprimento, dado em alguma unidade. Esse comprimento é também chamado de módulo da seta. Talvez agora você possa estar se perguntando:
cinemática (^) Vetores
como sendo o vetor representado pela seta que tem por ponto inicial o ponto inicial da seta que representa a , e por ponto final o ponto final da seta que
Figura 2.4: Adição de vetores a e b de acordo com a regra do triângulo.
de dois vetores é chamada de regra do triângulo. Na figura acima fica claro porque a adição vetorial é chamada assim. A adição vetorial goza de algumas propriedades muito importantes que enunciamos a seguir.
temos: (2.1.2)
A demonstração da propriedade da Eq. (2.1.1) é evidente a partir da Figura 2.5.
(^ a^ + b^ ) +^ c^ =^ a^ +^ ( b^ + c ).
a + −( a (^) ) = 0.
Figura 2.5: a + b = b + a
dois triângulos. Esse lado comum é uma diagonal do paralelogramo formado pelos dois triângulos. Essa propriedade nos permite obter a soma de dois vetores por meio de uma outra regra, que você já deve conhecer, a regra do paralelogramo.
Vamos agora definir uma operação que, a partir de um número real e um vetor, produz um vetor.
Essa operação é chamada multiplicação de um número por um vetor. No contexto dessa operação, o número costuma ser chamado de escalar. Podemos então chamar essa operação de multiplicação de um escalar por um vetor. A Figura 2.6 mostra alguns exemplos de produto de um número por um vetor, Figura 2.6: exemplos de produtos de um número por um vetor.
vetores unitários u x , u y e u z. (Uma demonstração dessa afirmação pode ser vista na Aula 8 da Apostila Física 1A, Módulo 1.
vetores tridimensionais.
escrever a citada expressão para a.
portanto, podemos afirmar que formam uma base. Estes três vetores também são u nitários e perpendiculares entre si , portanto, formam uma base ortonormal. O uso de uma base reduz vários cálculos que fazemos com vetores a cálculos com as suas componentes escalares. Isso constitui uma grande vantagem, pois as componentes escalares são números que podemos manipular matematicamente com mais facilidade. Por exemplo, como a trinca de componentes escalares é única, dados dois
eles só serão iguais se (2.1.9)
x x x y y y z z z
cinemática (^) Vetores (2.1.11)
suas componentes são todas iguais a zero. Devemos apreciar a importância do conceito de base. Existem infinitos vetores no espaço tridimensional, mas todos eles podem ser escritos em termos de apenas três vetores, os vetores de uma base. Para isso, basta saber como encontrar as componentes de um vetor qualquer na base que se está usando. Vamos aprender como fazer isso no caso de uma base ortonormal na seção seguinte.
número dado pelo produto do módulo do vetor a pelo cosseno do ângulo entre os vetores, (2.1.12)
Figura 2.8: Vetor a e o vetor unitário u e o ângulo θ entre eles. Pelo triângulo retângulo mostrado na figura acima, o comprimento do cateto
Entretanto, a projeção não é exatamente um comprimento. Embora no caso
x x y y z z
cinemática (^) Vetores Figura 2.11: Vetor a no plano OXY.
Terminamos esta seção com uma observação de caráter prático. Temos procurado distinguir o conceito de vetor do conceito de seta. Para cada vetor há uma infinidade de setas que o representam e é o conjunto de todas elas que define o vetor. Entretanto, seguiremos doravante a prática comum de se referir a uma seta como sendo o vetor a ela associado, e vice-versa.
x y y x 2 2
Texto adaptado por Lizardo H. C. M. Nunes da apostila Física 1A, de Carlos Farina de Souza, Marcus Venicius C. Pinto e Paulo Carrilho Soares Filho. Revisão Mônica dos Santos Dahmouche Equipe do Portal da Educação Programação Visual André Nogueira Ilustração Fabiana Rocha Fabio Muniz André Nogueira
