Baixe Cinemática - Fenômeno de Transporte 1 e outras Resumos em PDF para Fenômenos de Transporte, somente na Docsity!
- CINEMÁTICA DOS FLUÍDOS
Referencias bibliográfica:
- Introdução à Mecânica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara Koogan,
4a. edição (1995). Capítulo 5 e 6.
- Mecânica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973). Capitulos
9 e 11.
- Fenômenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois (1979).
Capítulos 9, 10 e 11.
- Mecânica dos Fluidos, Victor L.Streeter e E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil,
7a.edição (1982). Capítulo 7.
- Mecânica dos Fluidos – Franco Brunetti – Pearson Education (2005). Capítulo 3.
- Fenômenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora RIMA
(2003). Capítulo 3.
- Fundamentos de Fenômenos de Transporte – Celso P. Livi, LTC (2004). Capítulos 4, 5 e 6.
- Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, B. R.Munson, D.F.Young and T.H.Okiishi, Edgard
Blucher Ltda, (2008). Capítulos 4 e 6.
OPERADOR NABLA (𝛁
ሬሬ⃗
):
Coordenadas retangulares:
∇
ሬሬ⃗
= 𝚤⃗.
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
ሬ⃗
𝜕
𝜕𝑧
Coordenadas cilíndricas:
∇
ሬሬ⃗
= 𝚤
ෝ.
𝜕
𝜕𝑟
ఏ
ෝ.
𝜕
𝑟. 𝜕𝜃
ሬ⃗
𝜕
𝜕𝑧
OPERADOR LAPLACE (𝛁
𝟐
):
Coordenadas retangulares:
∇
ଶ
=
𝜕
ଶ
𝜕𝑥
ଶ
𝜕
ଶ
𝜕𝑦
ଶ
𝜕
ଶ
𝜕𝑧
ଶ
Coordenadas cilíndricas:
∇
ଶ
=
1
𝑟
.
𝜕
𝜕𝑟
. ൬𝑟.
𝜕
𝜕𝑟
൰ +
𝜕
ଶ
𝑟
ଶ
. 𝜕𝜃
ଶ
𝜕
ଶ
𝜕𝑧
ଶ
VELOCIDADE:
Coordenadas cartesianas:
V
ሬሬ⃗
= V
௫
. 𝚤⃗+ 𝑉
௬.
. 𝚥⃗+ 𝑉
௭
. 𝑘
ሬ⃗
Coordenadas polares:
V
ሬሬ⃗
= V
. 𝚤
ෝ + 𝑉
ఏ
. 𝚤
ఏ
ෝ + 𝑉
௭
. 𝑘
ሬ⃗
ACELERAÇÃO:
𝑎⃗=
𝜕𝑉
ሬ⃗
𝜕𝑡
ሬሬሬ⃗
∇
ሬሬ⃗
൯. 𝑉
ሬ⃗
Coordenadas polares:
𝑎
= V
.
𝜕
𝜕𝑟
V
ఏ
.
𝜕
𝑟. 𝜕𝜃
V
−
𝑉
ఏ
ଶ
𝑟
𝑎
ఏ
= V
.
𝜕
𝜕𝑟
V
ఏ
ఏ
.
𝜕
𝑟. 𝜕𝜃
V
ఏ
V
ఏ
. V
𝑟
VAZÃO
Vazão em volume:
𝑄 = 𝑉. 𝐴
V=velocidade
A=área
Vazão em massa:
𝑄 = 𝜌. 𝑉. 𝐴
Vazão em peso:
𝑄 = 𝛾. 𝑉. 𝐴
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
- Regime permanente (independe do tempo)
- Fluído incompressível (ρ=constante):
𝑄
ଵ
= 𝑄
ଶ
𝑉
ଵ
. 𝐴
ଵ
= 𝑉
ଶ
. 𝐴
ଶ
Velocidade maior nas seções de menor área
Coordenadas cartesianas
𝜕
𝜕𝑥
𝑉
௫
𝜕
𝑑𝑦
𝑉
௬
= 0
Coordenadas polares
1
𝑟
.
𝜕
𝜕𝑟
. (𝑟. 𝑉
) +
𝜕
𝑟. 𝜕𝜃
. 𝑉
ఏ
= 0
EQUAÇÃO DA IRROTACIONALIDADE
Coordenadas cartesianas
𝜕
𝜕𝑥
𝑉
௫
−
𝜕
𝑑𝑦
𝑉
௬
= 0
Coordenadas polares
1
𝑟
.
𝜕
𝜕𝑟
. (𝑟. 𝑉
ఏ
) −
𝜕
𝑟. 𝜕𝜃
. 𝑉
= 0
EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA:
𝑑𝑦
𝑉
௬
=
𝑑𝑥
𝑉𝑥
FUNÇÃO CORRENTE (ψ)
- Satisfaz a equação da continuidade
FUNÇÃO POTENCIAL (φ)
- Satisfaz a equação da irrotacionalidade
RELAÇÕES DE CAUCHY-RIEMMAN
𝜓 = 𝑐
ଵ
. 𝑥. 𝑦 + 𝑐
ଶ
𝜙 = −
𝑐
ଵ
. 𝑥
ଶ
2
𝑐
ଵ
. 𝑦
ଶ
2
UNIFORME
𝑉
ሬ⃗
= 𝑈
𝚤⃗+ 𝑉
𝚥⃗
𝜓 = 𝑈
𝑦 − 𝑉
𝑥 + 𝑐
𝜙 = −𝑉
𝑥 − 𝑉
𝑦 + 𝑐
UNIFORME+FONTE
𝜓
ி
= 𝑈
. 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
𝑄
2𝜋
. 𝜃 + 𝑐
- Ponto de estagnação: velocidade é nula
- Equação do semi-corpo de Rankine :
𝜓 = 0
𝜃 = 𝜋
𝑈
. 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
𝑄
2𝜋
(𝜃 − 𝜋) = 0
FONTE+SUMIDOURO
𝜓 ி
ௌ
=
𝑄
2𝜋
(𝜃
ி
− 𝜃
ௌ
) + 𝑐
𝑡𝑎𝑛(𝜃
ଵ
− 𝜃
ଶ
) =
𝑡𝑎𝑛𝜃
ଵ
− 𝑡𝑎𝑛𝜃
ଶ
1 + 𝑡𝑎𝑛𝜃
ଵ
. 𝑡𝑎𝑛𝜃
ଶ
𝜓 ி
ௌ
=
𝑄
2𝜋
. 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 ൬
−2. 𝑎. 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑟
ଶ
− 𝑎
ଶ
൰ + 𝑐
DIPOLO
lim
𝜓 ி
ௌ
= 𝜓
ூைை
𝜓
ூைை
= −
𝑄. 𝑎
𝜋
.
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑟
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑝𝑜𝑙𝑜, 𝐼 =
𝑄. 𝑎
𝜋
𝜓
ூைை
= −𝐼.
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑟
FONTE+SUMIDOURO+UNIFORME
𝜓 ி
ௌ
= 𝑈
. 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
𝑄
2 𝜋
. 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 ൬
−2. 𝑎. 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑟
ଶ
− 𝑎
ଶ
൰ + 𝑐
UNIFORME+DIPOLO (AO REDOR DE UM CILINDRO)
𝜓
ூூேோை
= 𝑈
. 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐼.
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑟
ூ
బ
𝜓
ூூேோை
= 𝑈
. 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 1 − ቀ
𝑎
𝑟
ቁ
ଶ
൨
UNIFORME+DIPOLO+VÓRTICE(CILINDRO COM CIRCULAÇÃO)
𝜓 = 𝑈
. 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 1 − ቀ
𝑎
𝑟
ቁ
ଶ
൨ −
Г
2 𝜋
. ln 𝑟 + 𝑐
Sabemos que: Taxa que entra – Taxa que sai = Variação interna
ఏ
ఏାௗఏ
ାௗ
డఘ
డ௧
ఏ
ఏ
డ
( ఘ
)
ഇ
డఏ
డ
( ఘ
)
ೝ
డ
డఘ
డ௧
ఏ
ఏ
డ(ఘ)
ഇ
డఏ
డ(ఘ)
ೝ
డ
డ
( ఘ
)
ೝ
డ
డఘ
డ௧
డఘ
డ௧
డ(ఘ)
ೝ
డ
డ(ఘ)
ഇ
డఏ
డఘ
డ௧
డ
( ఘ
)
ೝ
డ
డ
( ఘ
)
ഇ
డఏ
( ఘ
)
ೝ
Obs.: De acordo com a Regra do produto:
ଵ
డ(ఘ
ೝ
)
డ
ଵ
డ(ఘ
ೝ
)
డ
డ(ఘ
ೝ
)
డ
ఘ
ೝ
Logo:
డఘ
డ௧
డ(ఘ)
ೝ
డ
డ(ఘ)
ഇ
డఏ
(ఘ)
ೝ
డఘ
డ௧
ଵ
డ(ఘ ೝ
)
డ
డ
( ఘ
)
ഇ
డఏ
Desta forma, provamos que:
3º. Demonstre a Equação da Continuidade e a Equação da Irrotacionalidade em
coordenadas polares para duas dimensões.
Solução:
Devemos lembrar que:
î r
=cos𝜃 î + sen𝜃 j
î 𝜃
= -sen𝜃 î + cos𝜃 j
î r
. î r
=1 ; î r
. î
𝜃
î 𝜃
. î
𝜃
=1 ; î r
x î
𝜃
= k
డîr
= -sen𝜃 î + cos𝜃 j= î
𝜃
డîr
= - cos𝜃 î - sen𝜃 j= −î
𝑟
De acordo com a Equação da Continuidade: ∇. 𝑉= 0, ou seja:
ାௗ
ఏ
Desprezível
“Equação da continuidade
em coordenadas polar”
î
୰
డ
డ
ఏ
డ
డఏ
î
ఏ
î
ఏ
î
୰
డ
డ
î
డ
డ
ఏ
î
ఏ
î
డ
డఏ
î
డ
డఏ
ఏ
î
ఏ
డ ೝ
డ
î
ಐ
୰
డî ೝ
డఏ
డ ೝ
డఏ
î
డ
ഇ
డఏ
î
ఏ
డ
ೝ
డ
î
ಐ
୰
î
డ
ೝ
డఏ
î
డ
ഇ
డఏ
î
ఏ
డ ೝ
డ
ೝ
డ
ഇ
డఏ
డ
ೝ
డ
ೝ
డ
ഇ
డఏ
ଵ
డ(
ೝ
)
డ
డ
ഇ
డఏ
De acordo com a Equação da Irrotacionalidade: ∇𝑥𝑉= 0, ou seja:
〈î
୰
డ
డ
ఏ
డ
డఏ
〉 x 〈𝑉
î
ఏ
î
ఏ
î
୰
x ቀ
డ
డ
î
డ
డ
ఏ
î
ఏ
î
x ቀ
డ
డఏ
î
డ
డఏ
ఏ
î
ఏ
î
୰
x ቀ𝑉
డî
ೝ
డ
డ
ೝ
డ
î
୰
ఏ
డî
ഇ
డ
డ
ഇ
డ
î
ఏ
î
x ቀ
డ
ೝ
డఏ
. î
డî
ೝ
డఏ
డ
ഇ
డఏ
. î
ఏ
డî
ഇ
డఏ
ఏ
ഇ
డ
ഇ
డ
డ
ೝ
డఏ
=0, ou seja,
ଵ
డ(
ഇ
)
డ
డ
ೝ
డఏ
4º. Qual o valor da aceleração de um escoamento cujo campo de velocidade é dado por 𝑉 =
𝑥² î − 𝑦² 𝑗? Esse escoamento é real?
Solução:
Por não depender do tempo podemos definir tal escoamento como permanente. Não dá
para dizer se o fluido é compressível ou não, pois não temos informações suficientes. Temos
apenas um escoamento plano em duas dimensões.
a local
డ
డ௧
a convectiva= 𝑉
௫
𝜕𝑉
𝜕𝑥
௬
𝜕𝑉
𝜕𝑦
௭
𝜕𝑉
𝜕𝑧
a convectiva
= 𝑥² ∗ 2𝑥 î + (−𝑦
ଶ
a convectiva
= 2 𝑥³ î + 2𝑦³ 𝑗
Componentes da aceleração: a x
ଷ
a y
O escoamento só existirá se a equação da Continuidade for obedecida. Desta forma,
deveremos provar que:
௫
௬
Tende a zero, pois o escoamento
não depende do tempo.
O escoamento não é real.
Para θ=π:
C = −
Q
Logo:
0
=5,56 r sen θ +
୕
ଶ
θ −
୕
ଶ
డஏ
డఏ
= 5 , 56 cos θ +
୕
ଶ୰
ఏ
డஏ
డ
= − 5 , 56 sen θ
Para Ψ=0: r =
్
మಘ
ି
్
మ
ହ,ହୱୣ୬
= 5 , 56 cos θ +
5,56 sen θ
π − θ
Para θ=π/2:
ఏ
ହ,ହ
/ଶ
Logo: V= 3,54 î r
e V = 6,59 m/s
b) Sabemos que:
x= r cosθ=50 ∴ r=130m
y= r senθ=
tgθ=
ଵଶ
ହ
=1,18 rad
Ψa = 5,56 ∗ 130 ∗ sen 1,18 +
୕
ଶ
୕
ଶ
Na linha de corrente Ψo =0 quando θ=0 e r=h=100:
0
=5,56 r sen θ +
୕
ଶ
θ −
୕
ଶ
Q
Q = 1,11 × 10
ସ
m³/s
Sabemos que a vazão pode ser calculada através da diferença entre dois psis, Q= Ψo -
a
, sendo Ψo o ponto de estagnação teremos Ψo =0.
Q= Ψo - Ψ a
= 5,56 ∗ 130 ∗ sen 1,176 +
୕
ଶ
୕
ଶ
Q= 319 m³/s
4. DINÂMICA DOS FLUÍDOS
Referencias bibliográfica:
- Introdução à Mecânica dos Fluidos, Robert W.Fox e Alan T.McDonald, Guanabara
Koogan, 4a. edição (1995). Capítulos 5 e 8.
- Mecânica dos Fluidos, Irving H. Shames, Volumes 1, Edgard Blucher Ltda. (1973).
Capitulos 5 e 6.
- Fenômenos de Transporte, Leigton E.Sissom e Donald R.Pitts, Guanabara Dois
(1979). Capítulos 10 e 12.
- Mecânica dos Fluidos, Victor L.Streeter e E.Benjamin Wylie, McGraw-Hill do Brasil,
7a.edição (1982). Capítulos 3 e 5.
- Mecânica dos Fluidos – Franco Brunetti – Pearson Education (2005). Capítulo 4 e 9.
- Fenômenos de Transporte para Engenharia, Woodrow Nelson Lopes Roma, Editora
RIMA (2003). Capítulo 5.
