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Secção
Circuitos Combinatórios
1. Conceitos Introdutórios
É cada maior o número e variedade de aparelhos cujos circuitos têm por base técnicas electrónicas digitais. De entre os aparelhos de concepção e funcionamento essencialmente digital temos as calculadoras, computadores assim como aparelhos usados em laboratóriuos ou de utilização doméstica tais como: frequencímetros, contadores, voltímetros digitais, etc.
Para se compreender o que é a electrónica digital é conveniente compará-la com outro tipo de circuitos electrónicos, como os que são usados nalguns amplificadores de som, receptores de rádio, etc., a que se dá o nome genérico de circuitos electrónicos analógicos.
Um sistema pode ser definido como um operador que produz condições de saída segundo as condições presentes à entrada (e também possivelmente segundo a "história" passada desses sinais), de acordo com uma lei específica. Os sistemas podem ser analógicos ou digitais.
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Nos sistemas analógicos é dada significância a toda e qualquer variação nos sinais, que são supostos poderem variar continuamente. O sinal de saída varia continuamente em função do sinal de entrada. As várias grandezas relacionam-se entre si por equações diferenciais.
Os sinais digitais são supostos poderem assumir um valor de uma gama de valores discretos {X 1 , ..., Xn}. A sua característica fundamental é a variação por saltos, duma forma descontínua. Outra característica do sinal digital, ao contrário do analógico, é a de só tomar um determinado número de valores de tensão. A sua evolução no tempo consiste precisamente em saltar duns valores discretos para outros.
A figura 1.1 mostra-nos graficamente os dois tipos de sinais e as suas diferenças básicas. De entre os sinais digitais vemos que enquanto a forma de onda superior S1, pode tomar vários valores de amplitude, a que simbolicamente se designou -2, -1, 0, 1, 2 etc., o sinal S2, toma apenas dois valores: o valor alto ou 1 ( verdadeiro ) e o valor baixo ou 0 ( falso ).
t t
Sinais Analógicos: variações graduais e contínuas
0
1
2
3
4
1
0
nível ALTO nível BAIXO
Sinais Digitais: variações bruscas por saltos
S1 S
t
t
Figura 1.1 - Sinais Analógicos e Sinais Digitais
Aos circuitos electrónicos que funcionam baseados em apenas dois valores de amplitude, chamam-se Digitais Binários.
Na chamada lógica positiva , que é a mais usada, faz-se corresponder ao nível mais elevado de tensão o valor lógico 1. Ao valor de tensão mais baixo (que pode ser zero volts ou outra tensão qualquer) faz-se corresponder o valor lógico zero.
Há várias e poderosas razões para a larga utilização que têm os circuitos digitais binários, ou seja, os que utilizam apenas dois níveis de tensão tanto nas entradas como nas saídas. Uma razão de natureza tecnológica é a simplicidade e larga tolerância dos componentes dos circuitos integrados, principalmente resistências e transistores necessários para a realização das várias operações lógicas,e ainda a fácil e versátil interligação dos vários integrados.
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definida com rigor pelo fabricante. Nesta zona a tensão de saída apresenta valores intermédios entre o nível alto e o nível baixo.
Do ponto de vista lógico existem 3 zonas de tensão de entrada num circuito digital:
A zona de tensão mais baixa à qual corresponde o zero lógico; A zona de tensão mais alta que é interpretada como o um lógico; A zona intermédia , entre a baixa e a alta e que corresponde a nenhum dos níveis lógicos.
Logo, para o circuito digital funcionar correctamente temos de introduzir nas suas entradas tensões fora da zona intermédia, que irá funcionar como zona de segurança de separação entre o nível lógico 1 e o 0.
Para existir um erro de funcionamento dum circuito digital devido ao ruído, é necessário que um nível zero se transforme num nível um , ou vice-versa. Para isso suceder, só uma tensão de ruído superior a 2 volts (no exemplo exposto) poderá fazer com que o nível 0 ou o nível 1 entre na zona intermédia e, eventualmente, penetrar na zona do nível lógico oposto, provocando um erro. A esta importante característica dos circuitos digitais chama-se imunidade ao ruído , e significa a existência de uma tensão de ruído nas suas entradas sem que esse ruído afecte as suas saídas.
Na exposição anterior assumiu-se sempre que o 1 lógico era associado ao nível de tensão alto e o 0 ao nível baixo. Nem sempre é assim, pelo contrário, utilizam-se correntemente as duas convenções:
Lógica positiva : 1 associado ao nível alto e o 0 associado ao nível baixo. Lógica negativa : 1 associado ao nível baixo e o 0 associado ao nível alto.
V
t Sinal lógico ideal V
t tempo de subida - rise time^ Sinal lógico real
sobreelevação overshoot tempo de estabelecimento settling time
Figura 1.4. Formas de onda nos circuitos digitais
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Num sistema ideal o sinal eléctrico associado a um determinado sinal lógico estaria umas vezes no nível 1, outras no nível 0, e teria transições instantâneas entre os dois valores. Mas os sinais eléctricos reais não podem variar instantâneamente. Mais ainda, a transição quando brusca é acompanhada de transitórios tais como sobreelevações, não estabilizando logo no seu valor final.
Não há sinais digitais ideais, mas apenas aproximações. O tempo de subida, o tempo de descida, o tempo de estabelecimento, etc. são algumas medidas de mérito que permitem ajuizar do grau de aproximação das ondas reais às ideais. Os sistemas digitais práticos permitem um certo afastamento do ideal.
2. Sistemas de Numeração
Sendo os circuitos digitais constituídos por elementos dotados de dois estados distintos, o sistema de numeração binário tem um papel importante no seu estudo. Os sistemas octais (base 8) e hexadecimais (base 16) desempenham também um papel importante para a escrita de um número binário (utilização de menos algarismos que na base 2, para escrever o mesmo número). São estas as razões pelas quais se faz o estudo destes sistemas de numeração em particular, na cadeira de Sistemas Digitais.
2.1. Conversão da base b para a base 10
Parece natural a utilização de 10 algarismos diferentes - 0 a 9 - para a representação usual dos números. A este sistema de numeração, baseado na utilização dos dez algarismos diferentes, chama-se sistema decimal ou de base dez.
No entanto há vários países que têm ou tiveram sistemas não decimais, nomeadamente para medidas de peso ou de comprimento. Como se sabe, um pé é igual a doze polegadas (trata-se portanto de um sistema de base 12). De modo análogo se usarmos a semana como unidade de contagem dos dias, estaremos a usar um sistema de base 7, uma vez que é esse o número de dias duma semana.
Seja X um número cuja representação num sistema de base b é:
X (^) n 1 n 2 .... 0 , (^) 1 .... (^) p (b)
Cada um dos n + p símbolos (^) i exprime um número inteiro compreendido entre 0 e
b-1 , tendo um peso^1 igual a bi. O valor numérico de X será então:
X n b b b b b b
n n
n i
i p
p
1 1 2
2 0
0 1
1
Através desta expressão podemos representar no sistema decimal qualquer número do qual se conheça a sua representação noutro sistema.
(^1) Peso de uma posição é o valor dessa posição.
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I b ( 4 b b b ) bQ
3 3
2 2
1 1 0 1 0
Q 1 (^) b (^) 4 b b 2 3
1 ( 2 ) 1
Q (^) 2 b (^) 4 b
1 ( 3 ) 2
Q 3 (^) b 4 3
Q 4 4
Verifica-se que os sucessivos restos 0 , 1 , 2 , 3 e 4 correspondem aos símbolos que representam I no sistema da base b. Este facto permite passar dum sistema, no qual se tenha prática operatória, para qualquer outro sistema. Bastará efectuar as operações indicadas no primeiro sistema, identificando-se os vários símbolos do número na base b com os restos das divisões.
Exemplo 1: converter 66(10) para binário.
66 2 06 33 0
2 13 16 1
2 2
2
2
8 4 2 1
0 0 0 0
Exemplo 2: converter 66(10) para hexadecimal.
66 16 2 4
(^66) (10) = 42(16)
2.2.2. Conversão da parte fraccionária da base 10 para a base b
Considere-se a parte fraccionária do número com quatro símbolos:
F 0 , (^) 1 2 (^) 3 (^4) ( b )
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tem-se:
b.F = b .( ,^0 ^ 1 2 ^ 3 4 )^ ^ 1 ,^ 2 ^ 3 4 b .( , 0 (^) 2 (^) 3 4 ) (^) 2 , (^) 3 4 b .( , 0 (^) 3 (^) 4 ) (^) 3 , 4 b .( , 0 (^) 4 ) 4
Portanto, multiplicando sucessivamente por b um número F e as partes fraccionárias resultantes, obtem-se uma sucessão de núemros cujas partes inteiras correspondem aos sucessivos símbolos de representação de F.
Exemplo: passar para a base 2 o número 0,468(10)
2.2.3. Capacidade de numeração - Aproximação
Seja m a capacidade de numeração de um sistema em que os números inteiros são representados por n símbolos.
O valor de m é igual ao número de arranjos com repetição, de b objectos n a n :
m b
n
Para que a mudança de base, não resulte uma redução de capacidade de numeração, deve observar-se:
b b
n n
em que b' é a nova base e n' os símbolos do número inteiro na base b'.
Particularmente na conversão de decimal para binário deve ter-se para a parte inteira:
2 10
n n
para o que é suficiente:
Instituto Politécnico de Castelo Branco 1º decompõe-se o número a partir da vírgula e nos dois sentidos, em grupos de três símbolos;
2º Substitui-se cada grupo pelo respectivo símbolo octal.
Exemplo 1: 111000,110010100(2) = 111 000 , 110 010 100(2) = 70, 624(8)
A conversão inversa é evidente. Quando o número de símbolos da representação binária não fôr múltiplo de 3, completa-se à esquerda e à direita com zeros.
Exemplo 2: 1 110 , 101 10(2) = 001 110 , 101 100(2) = 16, 54 (^) (8)
2.3.2. Relação entre a base 16 e a 2
Conduz-se uma demonstração semelhante à anterior, obtendo-se a relação entre os símbolos hexadecimais e binários.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
A B C D E F
Base 16 Base 2
Consideram-se agora grupos de quatro dígitos para a conversão hexadecimal-binária.
Quer o sistema octal, quer o hexadecimal utilizam-se normalmente como representação abreviada do sistema binário, permitindo reduzir o núemro de símbolos a 1/3 e 1/4 respectivamente.
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A conversão decimal-binário também é muito facilitada por qualquer dos dois processos A e B seguintes:
A) 1º - Conversão decimal - octal 2º - Conversão octal - binário
B) 1º - Conversão decimal - hexadecimal 2º - Conversão hexadecimal - binário
Exemplo 1: converter 54,1 da base 10 para a base 2?
54,1 (^) (10) = 66,06 (^) (8)
Para a parte fraccionária p (10) = 1, bastará p' (2) = 4, portanto:
54,1 (^) (10) = 110 110, 000 1 (^) (2)
3. Algebra das variáveis lógicas
A Algebra dos circuitos, isomorfa da Algebra de Boole^2 abstracta a dois valores, tem vastas aplicações, partindo desde a concepção de computadores, sistemas de comutação digital, controle, sistemas de comunicação, etc., estando a electrónica digital nas base de todas estas realizações. Uma particularidade desta Algebra é que o conjunto suporte possui somente dois elementos: zero e um, surgindo pois a necessidade de se efectuar um estudo sobre a Algebra de Boole a dois valores, pois este é o caso que realmente nos interessa.
Os circuitos lógicos que se vão estudar apoiam-se na noção de sistema, que não é mais que uma abstração matemática traduzindo por relações entre determinados conjuntos, o comportamento de um fenómeno.
x (^) y S
x
y
S
Figura 1.5. - Representação esquemática de uma sistema
(^2) George Boole, matemático que em meados do séc. XIX desenvolveu matemática das Leis da Lógica e que não teve grande aplicação naquela época.
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3.1. Variáveis e funções lógicas
Variável lógica (ou de Boole, ou binária) é uma variável que tem por domínio 2 valores lógicos distintos, normalmente representados pelos símbolos 0 e 1.
Função lógica (ou de Boole, ou binária) é uma função que tem por contradomínio o conjunto lógico [0, 1].
Função Representação Tabela Operador lógico
Complementação (ou negação, ou inversão, NOT)
F A ( ) A A^ A
0 1 1 0
A A
Intersecção (ou produto lógico, AND)
F A B ( , ) A B
A B A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
A B
A. B
Reunião (ou soma lógica) F A B (^ ,^^ )^ ^ A^ B
A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
A B
A + B
Figura 1.6. - Funções lógicas, representação, tabela e operadores
3.1.2. Expressões Lógicas
As expressões lógicas constituem um dos processos de descrever funções lógicas (outros processos: tabelas de verdade, mapas de Karnaugh).
Expressão lógica (ou de Boole ) é o conjunto de variáveis e constantes lógicas ligadas entre si pelos sinais das funções lógicas elementares.
Exemplos: F A B C ( , , ) A B. C F A B C ( , , ) A 0 A B. 1. C
Duas expressões lógicas são equivalentes quando umas delas só fôr igual a 1 quando a outra também fôr igual a 1, e igual a 0 quando a outra também fôr igual a 0.
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Duas expressões lógicas são complementares se uma delas fôr igual a 1 quando a outra fôr igual a 0, e vice-versa.
Duas expressões lógicas são duais quando de uma se pode obter a outra: transformando todos os. em + transformando todos os + em. transformando todos os 0 em 1 transformando todos os 1 em 0 e mantendo as ocorrências das variáveis.
Exemplo: 1. A B C. 0 é dual de( 0 A ).( B C ). 1
3.1.3. Formas algébricas das expressões lógicas
Existem quatro formas de representação das expressões l+ogicas, que têm um interesse particular:
Soma de produtos diz-se que uma expressão lógica está nesta forma quando a expressão lógica é constituída por somas lógicas de produtos lógicos^4.
Exemplo: A B C.^.^^ ^ A B C.^.^^ ^ B D.^^ A B C D.^.^.
Produto de somas diz-se que uma expressão lógica está nesta forma quando a expressão lógica é constituída por produtos lógicos de somas lógicas^5.
Exemplo: (^ A^ ^ B^ ^ C^ ).(^ A^ ^ B^ ^ C^ ^ D^ ).(^ B^ ^ C^ D )
Formas canónicas As formas canónicas são úteis na análise de circuitos lógicos e constituem o ponto de partida habitual de alguns métodos de simplificação de funções lógicas. Além disso, como se verá, é a partir delas que se procede à implementação de circuitos lógicos com componentes MSI e LSI.
(^4) Estes produtos é comum designarem-se por termos. (^5) Estas somas é comum designarem-se por factores.
Instituto Politécnico de Castelo Branco Forma mínima produto de somas
diz-se que uma expressão está nesta forma quando a expressão lógica é constituída por um produto de somas tal que o somatório do número de somas e do número de literais é mínimo.
Exemplo:
f ( A B C , , ) ( B C ).( B C ).( A C )
A forma mínima de uma função lógica não é necessáriamente única. A forma mínima de uma função lógica não conduz necessáriamente à realização física mais simples em hardware.
A engenharia de sistemas digitais tem por objectivo implementar circuitos que cumpram as funções desejadas, com qualidade ( qualidade essa de que o aspecto principal é a robustez dos sistema face a condições adversas e a variações nos próprios componentes de que é constituído, sendo também importante a testabilidade) e com um custo mínimo.
3.1.4. Postulados e teoremas da álgebra de Boole
Postulado/Teorema Soma Lógica Produto Lógico
- Elemento neutro 0 + X = X 1. X = X
- Elemento absorvente 1 + X = 1 0. X = 0
- Idempotência X + X = X X. X = X
- Complementaridade X X 1 X. X 0
- Comutatividade X + Y = Y + X X. Y = Y. X
- Associatividade (X+Y)+Z=X+(Y+Z) X.(Y.Z)=(X.Y).Z
- Distributividade X+Y.Z=(X+Y).(X+Z) X.(Y+Z)=X.Y+X.Z
- Lei da absorção X + X.Y = X X .(X + Y) = X
- Leis de Morgan
generalização
( X Y ) X Y.
( X (^) 1 X (^) 2 ... X (^) n ) X (^) 1. X (^) 2. .... Xn
( X. Y ) X Y
( X (^) 1. X (^) 2. .... X (^) n ) X (^) 1 X (^) 2 ... Xn
- Teorema da adjacência lógica
X Y. X Y. X ( X Y ).( X Y ) X
- Lei do termo/factor menor
X X Y. X Y X .( X Y ) X Y.
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- Lei do termo/factor incluído
X Y. X Z. Y Z. X Y. X Z. (^ X^ ^ Y^ ).(^ X^ ^ Z^ ).(^ Y^ ^ Z )^^ ^ (^ X^ ^ Y^ ).(^ X^ Z )
3.1.5. Simplificação de expressões lógicas
A simplificação de expressões lógicas à custa dos teoremas da álgebra de Boole é um processo heurístico: procura-se detectar partes da expressão que sejam simplificadas por aplicação dos teoremas.
Repete-se o processo até que "pareça" que já não existem sub-expressões susceptíveis de serem simplificadas. Como se depreende, não existe garantia de que a expressão final obtida esteja relamente minimizada.
Os teoremas mais frequentemente utilizados para a simplificação de expressões lógicas são:
- Lei da absorção X + X.Y = X X .(X + Y) = X
- Teorema da adjacência lógica
X Y. X Y. X ( X Y ).( X Y ) X
- Lei do termo/factor menor
X X Y. X Y X .( X Y ) X Y.
que se podem exprimir por palavras como se segue:
- Lei da absorção Se um termo ou uma expressão ocorre num termo "maior" (isto é, um termo que é uma parte que é idêntica ao termo "menor" e que além disso tem ocorrências de outras variáveis), o termo maior é redundante.
- Teorema da adjacência lógica
Se quaisquer dois termos de uma expressão diferem apenas numa variável, ocorrendo a variável num dos termos na forma directa e no outro na forma de complemento, então a variável é redundante em ambos os termos.
- Lei do termo/factor menor
Se um termo ou uma expressão ocorre num termo "maior" na forma inversa da que ocorre num termo "menor" (a ocorrência na forma inversa está "incluída" no termo "maior"), a ocorrência (na forma inversa) da variável do termo maior é redundante.
3.1.6. Exemplos de aplicação
Exemplo 1. F C D. A B C.. B C D..
Instituto Politécnico de Castelo Branco resultando: F A B. A C. , que é de facto a expressão mais simples para a função dada.
Mas se na expressão original os termos estivessem escritos por outra ordem, por exemplo: (^) F A B C.. A B C.. A B C.. A B C.. , seria igualmente natural que se aplicasse o teorema da adjacência lógica (10), como se ilustra a seguir:
F A B C.. A B C.. A B C.. A B C..
(10)
resultando : F B C. A B C.. A B C.. , que não é a expressão mais simples - sem que, no entanto, seja óbvio do exame da expressão obtida que haja um teorema (de entre os que têm utilidade para a simplificação) que permita a simplificação adicional.
3.1.8. Teorema da complementação em selecção completa
O seguinte teorema é muito útil na obtenção da negação de uma função expressa na forma da soma de produtos.
SE:
f é uma função de variáveis v (^) 1 ,...., v (^) m ,...., vn dada na forma seguinte:
f ( v (^) 1 ,...., v (^) m ,...., v (^) n ) M (^) 0 ( v (^) 1 ,...., v (^) m ). f 1 M (^) 1 ( v (^) 1 ,...., v (^) m ). f 2 ..... M (^) N ( v (^) 1 ,...., vm ). fN
em que os f^1 ,^ f^2 ,..., fN são quaisquer funções, e os M^ i (^ v^ 1 ,....,^ vm )têm a seguinte propriedade: para qualquer combinação de ( v (^) 1 ,...., vm ), há um e só um M (^) i ( v (^) 1 ,...., vm )que é 1 , sendo todos os outros 0.
ENTÃO:
o complemento de f é equivalente à função g ( v (^) 1 ,...., v (^) m ,...., vn ), dada pela seguinte
expressão:
g ( v (^) 1 ,...., v (^) m ,...., v (^) n ) M (^) 0 ( v (^) 1 ,...., v (^) m ). f 1 M (^) 1 ( v 1 (^) ,...., v (^) m ). f 2 ..... M (^) N ( v (^) 1 ,...., vm ). fN
isto é, uma expressão obtida da anterior pela simples negação das funções f 1 , f 2 ,...., fN.
Nota : Diz-se que existe uma selecção completa nas variáveis ( v (^) 1 ,...., vm )porque para cada combinação há uma e só uma função fi que é seleccionada.
Demonstração:
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Para provar este teorema, podemos aplicar o princípio de indução completa, que consiste em verificar a sua veracidade para todas as possíveis combinações de valores das variáveis.
Imaginemos então que estamos a verificar o teorema para uma qualquer combinação ( v 1 ,...., vm ). Então, de acordo com a hipótese do teorema, haverá um e só um
M (^) i ( v (^) 1 ,...., vm ) que é 1 , sendo todos os outros 0 , e portanto f será igual a:
f ( v (^) 1 ,...., v (^) m ,...., vn ) 0. f 1 0. f 2 + ........ + 0. fi-1 1. fi 0. fi+1 + ........ + 0. fN
O valor de g ( v (^) 1 ,...., v (^) m ,...., vn ), para a mesma combinação ( v 1 ,...., vm ), será igual a:
g ( v (^) 1 ,...., v (^) m ,...., vn ) 0. f 1 0. f 2 + ........ + 0. fi-1 1. fi 0. fi+1 + ........ + 0. fN
O que mostra que para esta combinação (^ v 1^ ,....,^ vm ), que por hipótese é uma combinação qualquer, é realmente:
f ( v (^) 1 ,...., v (^) m ,...., vn ) g ( v (^) 1 ,...., v (^) m ,...., vn )
ficando assim provado o teorema.
3.1.9. Exemplo do uso do teorema da complementação em selecção completa
O uso do teorema da complementação em selecção completa é especialmente proveitoso quando se trabalha com certas componentes digitais, de ligações internas programáveis, que implementam directamente uma estrutura soma de produtos, ou a negação de uma soma de produtos.
No entanto estes componentes apresentam um limite ao número de termos-produto implementável. Assim, o procedimento para implentar uma função nestes dispositivos, implica a obtenção da forma mínima soma de produtos para a função a implementar, seguida da obtenção do complemento da função, também na forma
