Coletânea de Provas P2 - 2015, Provas de Cálculo

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RESOLUÇÃO DE

PROVAS

PASSADAS DE

CÁLCULO I

Prof. Luiz Roberto Marim

Prof. Airton Eiras

Segundo Bimestre

Exercícios resolvidos e comentados

2

4

• 14. PONTOS CRÍTICOS ÍNDICE
• 15. DERIVAÇÃO GRÁFICA ..............................................................................................................
• 16. REGRAS DE DERIVAÇÃO ..........................................................................................................
• 17. DERIVADAS DE FUNÇÕES .......................................................................................................
• 18. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA ..........................................................................................................
• 19. TEOREMAS ................................................................................................................................
• 20. TAXAS RELACIONADAS .......................................................................................................
• 21. REGRA DE L’HÔPITAL .............................................................................................................

7

14. PONTOS CRÍTICOS

Máximos e Mínimos

Definição 1 Uma função f  x 

tem um máximo absoluto em c , também chamado de máximo

global, se    

f c  f x para todo x pertencente ao domínio de f****.

Definição 2 Uma função  

f x tem um mínimo absoluto em c , também chamado de mínimo

global, se f  c   f  x para todo x pertencente ao domínio de f.

Observações:

i) Os valores de máximo e mínimo de  

f x são denominados de valores extremos de f.

ii) A função  

y  f x é denominada crescente se, para quaisquer valores de x 1

e x 2

, sendo

2 1

x  x , tem-se    

2 1

f x  f x

iii) A função y  f  x  é denominada decrescente se, para quaisquer valores de x 1

e x 2

, sendo

2 1

x  x , tem-se    

2 1

f x  f x.

Definição 3 Uma função  

f x tem um máximo local em c , também chamado de máximo

relativo, se f  c   f  x para todo x pertencente a um intervalo aberto contento c :

f  c   f ( c   x ), p a ra  x .

Definição 4 Uma função f  x tem um mínimo local em c , também chamado de mínimo

relativo, se    

f c  f x para todo x pertencente a um intervalo aberto contento c :

f c  f ( c   x ), p a ra  x .

Definição 5 Um número crítico de uma função  

y  f x é um número x 0

pertencente ao

domínio de f , onde a primeira derivada se anula,  

0

f ' x  0 , ou apresenta descontinuidade.

8

Estudo da Primeira Derivada de uma Função

A primeira derivada de uma função nos fornece o coeficiente angular da reta tangente à curva

y  f x no ponto  

0 0

x , f x. A derivada também nos fornece o comportamento da curva

em cada ponto do domínio de f  x 

Definição 1

i) Se  

f ' x  0 em um intervalo do domínio, então  

f x é crescente nesse intervalo.

ii) Se  

f ' x  0 em um intervalo do domínio, então  

f x é decrescente nesse intervalo.

Definição 2 Teste da Primeira Derivada

Considere que x 0

seja um número crítico da função  

y  f x. Então:

i) Se o sinal de  

f ' x mudar de positivo para negativo em

0

x ,  

f x tem um máximo local

em

0

x .

ii) Se o sinal de  

f ' x mudar de negativo para positivo em

0

x ,  

f x tem um mínimo local

em

0

x.

iii) Se f ' x 

não mudar de sinal em

0

x , f  x 

não apresenta mínimo ou máximo locais em

0

x .

x

y

x

0

x

y

x

0

f ( x ) não possui máximo ou mínimo

locais

x

y

x

0

x

y

x 0

máximo local mínimo local

10

Teste da Segunda Derivada

Considere que f " x 

seja contínua nas proximidades do número

0

x.

i) Se  

0

f ' x  0

e  

0

f " x  0

, então f  x 

tem um mínimo local em

0

x.

ii) Se  

0

f ' x  0 e  

0

f " x  0 , então  

f x tem um máximo local em

0

x.

11

QUESTÕES DE PROVAS PASSADAS

(MAUÁ – 2007) Seja a função  

3 2

f x  2 x  1 5 x 3 6 x definida no intervalo

(a) Determine os números críticos desta função.

RESOLUÇÃO

Um número crítico é aquele para o qual  

f ' x  0 ou  

f ' x apresenta uma descontinuidade.

Assim, calculando-se a primeira derivada da função  

f x

e igualando o resultado a zero, tem-

se:

f x 0

 

2

6 x  3 0 x  3 6  0

Colocando-se o 6 em evidência e fatorando o polinômio ficamos com:

2

6 x  5 x  6  0    

6 x  2 x  3  0

ou seja,

1

x  2 e

2

x  3. Portanto, os números críticos da função  

3 2

f x  2 x  1 5 x 3 6 x são

1

x  2 e

2

x  3 ,  

f ' x é um polinômio e, por isso, contínuo em todos os reais.

(b) Determine se os números críticos encontrados no item (a) correspondem a um ponto de

máximo ou mínimo local.

RESOLUÇÃO

Calculando-se a segunda derivada da função f  x 

, tem-se:

f "  x   12 x  30

Para

1

x  2 , obtém-se:

f "  2   12 ( 2 ) 30  6  0

Concluímos que o ponto  2 , 2 8é um ponto de máximo local.

Analogamente, para

2

x  3 , obtém-se:

f " 3  12 ( 3 ) 30  6  0

ou seja, o ponto  

3, 2 7 é um ponto de mínimo local.

13

Como a imagem da raiz quadrada, é sempre um número positivo, o sinal de  

f ' x é sempre

negativo, o que implica que a função f é sempre decrescente.

Assim, os intervalos em que a função é decrescente:  , 0 ,  

(MAUÁ – 2008) Dado o gráfico da derivada da função f  x , contínua em seu domínio.

Pede-se:

(a) Intervalos onde a função cresce e onde decresce.

RESOLUÇÃO

A função f  x é crescente nos intervalos em que a sua derivada é positiva, ou seja:

1, 8; 3 e  

4 , 5

A função  

f x é decrescente nos intervalos em que a sua derivada é negativa, ou seja:

 2; 1, 8 e  

3, 4

(b) Pontos críticos e quais correspondem a máximo e mínimo locais.

        











x

y

0 1

14

RESOLUÇÃO

Em x  1, 8 e x  4 temos pontos de mínimo local, pois o sinal da derivada passa de negativo

para positivo. Em x  3 temos ponto de máximo local.

(c) Intervalos onde a concavidade da função é para cima e onde é para baixo.

RESOLUÇÃO

A concavidade da função  

f x está para cima nos intervalos em que a segunda derivada é

positiva, ou seja, nos intervalo em que a  

f ' x está crecendo. Assim, temos que a função

f x tem concavidade para cima nos intervalos:

0 , 4 ; 1 e  

3; 5

A concavidade da função  

f x está para baixo nos intervalos em que a segunda derivada é

negativa, ou seja, nos intervalo em que a  

f ' x está decrecendo. Assim, temos que a função

f x tem concavidade para baixo nos intervalos:

e  1; 3

(d) Pontos de inflexão.

RESOLUÇÃO

Os pontos de inflexão são aqueles em que a função muda de concavidade, ou seja:

x   1

x  1

x 0 , 4

e x  3

(MAUÁ - 2009) Se  

1 / 3

f x  1  x , determine:

(a) Interceptos com os eixos coordenados.

RESOLUÇÃO

Considerando

y  0 , obtém-se a ordenada na qual a função intercepta o eixo das abscissas.

Assim:

3

1  x  0  x  1

Portanto, o ponto de intersecção de  

f x com o eixo das abscissas é  

P 1, 0.

No caso do eixo das ordenadas, considera-se que x  0. Assim, devemos determinar  

f 0 , ou

seja:

16

(MAUÁ – 2010) Considere a função

4

2

x 1

y

x



 , justificando todos os itens :

(a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento desta função.

RESOLUÇÃO

Calculando-se a primeira derivada da função a partir da regra do quociente, tem-se:

 

3 2 4

4

'

x x x x

y

x

 



5

4

2 2

'

x x

y

x





 

4

3

2 1

'

x

y

x





O estudo dos sinais da função derivada  

y ' x é obtido por meio dos limites laterais em relação

aos pontos x   1 e x  1 , nos quais  

y ' x  0 e x  0 , onde  

y ' x não está definida, como

ilustra o gráfico abaixo.

Estudo dos sinais de y '

(b) Determine os pontos críticos desta função.

RESOLUÇÃO

Pela definição, os pontos críticos da função y  x 

são  

1

P 1, 2 e  

2

P 1, 2. Observe que o

número x  0 não é um ponto crítico, pois não pertence ao domínio de  

y x.

(c) Encontre as coordenadas dos pontos de máximo e mínimo locais.

RESOLUÇÃO

Os pontos  

1

P 1, 2

e  

2

P 1, 2

são pontos de mínimo local, pois

a função passa de negativa para

positiva.

Ao lado temos o gráfico da

função dada no enunciado.

        











x

y

_ _

_

_

_ _

NUMERADOR

DENOMINADOR

QUOCIENTE

17

(MAUÁ – 2010) Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função  

2

2

1

x

f x

x





no intervalo

RESOLUÇÃO

Inicialmente vamos calcular a derivada da função dada utilizando a regra do quociente. Assim:

2 2

2

2

2 1 2

'

1

x x x x

f x

x

 





3 3

2

2

2 2 2

'

1

x x x

f x

x

 





2

2

2

'

1

x

f x

x





Notamos que a derivada terá valor igual a zero quando x  0

. Para valores de x  0

a derivada

é negativa e a função é decrescente. Para valores de x  0 a derivada é positiva e a função é

crescente.

' 0 p a r a 0 d e c r e s c e n te

' 0 p a r a 0 c r e s c e n te

f x x f x

f x x f x

  

  

O ponto x  0 é um ponto de mínimo local, pois a função é decrescente antes de x  0 e

crescente depois de x  0.

Vamos agora calcular o valor da função nos extremos do intervalo

1, 2

2

2

1

1

1 1

f



 

 

1

1

2

f  

2

2

2

2

2 1

f 



4

2

5

f 

Devemos ainda determinar o valor da função em x  0

. Ou seja:

2

2

0

0

0 1

f 



f  0  0

Dessa forma concluímos que o ponto  0 , 0é mínimo absoluto (além de mínimo local) e o

ponto  

4

2 ,

5

é máximo absoluto.

19

(MAUÁ – 2011) Dado o gráfico da derivada da função  

f x :

(a) Determine os intervalos em que f é côncava para cima;

RESOLUÇÃO

Uma função  

f x é côncava para cima o sinal da primeira derivada altera de negativo para

positivo, passando pelo zero. Isto significa que a função  

f x tem um ponto de mínimo. O

gráfico mostra que a função  

f x é côncava para cima nos intervalos  

0 2

x , x e  

6 8

x , x.

(b) Determine as abscissas dos pontos críticos e dos pontos de inflexão de f;

RESOLUÇÃO

Relembrando que números críticos são aqueles números pertencentes ao domínio da função,

nos quais a primeira derivada é nula, ou não está definida. A partir do gráfico, tem-se que os

números críticos são:

1

x ,

3

x ,

4

x ,

5

x e

7

x. O número

6

x define um ponto de inflexão, visto que

6

f " x  0.

(c) Classifique os pontos críticos de f

RESOLUÇÃO

Mínimo local:

1

x,

4

x e

7

x.

Máximo local:

3

x e

5

x .

x

y

x

0

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

x

8

x

9

20

(MAUÁ – 2011) Mostre que a função cúbica  

3 2

f x  x  a x  b x é crescente para todo

valor de x se

2

b  a 3.

RESOLUÇÃO

A função f ( x )é crescente no intervalo para o qual sua derivada é positiva, f '  x  0. Assim:

2

f ' x  3 x  2 a x  b  0

Para que a função derivada (  

f ' x ) seja sempre positiva, devemos impor que   0 , ou seja:

2

4 a  1 2 b  0.

Assim, necessariamente tem-se:

2

3

a

b .

(MAUÁ – 2012) Dada a função  

ln 

x

e

f x

x

 , justificando sua resposta : Observação:

x. ln x  1 se x 1, 7 6.

(a) Determine seu domínio;

RESOLUÇÃO

Essa função é composta por uma divisão de suas outras funções. O numerador é representado

por uma exponencial, que não tem nenhuma restrição quanto aos valores de x. Já o

denominador, além de não poder ser nulo, é composto por um logaritmo, que só é definido

para números positivos. Assim, somente os valores de x positivos, não nulo, podem ser

utilizados. Para que o denominador não se anule, vamos impor que:

ln  x  0

Isso ocorrerá quando x  1. Portanto, ficamos com o domínio dessa função como:

0 1

f

D  x  x  e x 

(b) Determine a abscissa de todos os pontos críticos;

RESOLUÇÃO

Lembrando que pontos críticos são os quais  

f ' x  0 , ou quando  

f ' x não está definida,

tem-se: