Geometria Analítica: Parábolas, Elipses e Hipérbolas, Notas de aula de Geometria

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CÔNICAS E QUÁDRICAS

Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga

11.1 CÔNICAS

Pierre de Fermat (1601-1665) estabeleceu o princípio

fundamental da Geometria Analítica, segundo o qual, uma

equação do 1º grau, no plano, representa uma reta, e uma

equação do 2º grau, no plano, representa uma cônica.

Portanto chamamos de cônicas ao lugar geométrico dos

pontos do ℝ

2

cujas coordenadas (x,y), em relação à base

canônica, satisfazem à equação do 2º grau:

2 2 ax  by  2 cxy  dx  ey  f  0

11.1.1 PARÁBOLA

Consideramos um ponto F e uma reta d que não contém F.

Denominamos parábola de foco F e diretriz d ao lugar

geométrico dos pontos do plano que equidistam de d e F.

d P F ( 1 , )  d P d ( 1 , )

11.1.1.1 ELEMENTOS DA PARÁBOLA

equidistam de d e F.

Por definição:

Elevando ambos lados ao quadrado e

desenvolvendo os produtos notáveis,

temos:

2 2 2 2

d P F d P P

p p x y x y y

2 x

2

p  px 

2 2  y  x

2

p  px 

2 y  2 px

equação canônica (reduzida ou padrão) da

parábola com vértice na origem e cujo eixo de

simetria é o eixo x.

Por definição:

Elevando ambos lados ao quadrado e

desenvolvendo os produtos notáveis,

temos:

2 2 2 2

d P F d P P

p p x y x x y

2 2 x  y

2

p  py 

2  y

2

p  py 

2 x  2 py

equação canônica (reduzida ou padrão) da

parábola com vértice na origem e cujo eixo de

simetria é o eixo y.

11.1.1.4 APLICAÇÕES PRÁTICAS DA

PARÁBOLA

a) A seção de um farol de automóvel tem o formato de uma

parábola (a superfície espelhada é um parabolóide). A

lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos

que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa

mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola.

b) Se um espelho parabólico é apontado para o sol, os

raios de luz (paralelos ao eixo da parábola) serão

refletidos para o mesmo ponto (foco). Aplica-se o

mesmo princípio em telescópios, antenas de radar e

antenas parabólicas (as ondas paralelas ao eixo da

parábola, se refletem na antena e confluem para o

retransmissor.

11.1.1.5 EQUAÇÕES DA PARÁBOLA

O’=(X

0

,Y

0

Através de uma translação de

eixos, obtemos um novo sistema

x’O’y’, cuja origem O’ coincide

com o vértice V=(x 0 ,y 0 ).

Face o exposto, a equação da

parábola

Referida ao novo sistema é:

11.1.1.5.1 EIXO DE SIMETRIA É PARALELO

AO EIXO DOS X

2 y '  2 px '

Contudo, pelas fórmulas de translação:

Substituindo (2) em (1):

forma padrão da equação

2 ( y  y 0 (^) )  2 p x (  x 0 )

0

0

x x x

y y y

Analogamente, a parábola

de cujo eixo de simetria é

paralelo ao eixo dos y tem

a forma:

11.1.1.5.2 EIXO DE SIMETRIA É PARALELO

AO EIXO DOS Y

2 ( x  x 0 (^) )  2 p y (  y 0 )

11.1.2 ELIPSE

É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das

distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) do mesmo

plano é uma constante (2a), onde 2a>d(F 1 ,F 2 ).

1 2

1 2

( , ) ( , ) 2 e

d P F d P F a

d Q F d Q F a

11.1.2.1 ELEMENTOS DA ELIPSE