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Trabalho sobre cônicas e quádricas de geometria analitica seguido de sua devidas aplicações na engenharia.
Tipologia: Notas de estudo
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As cônicas são curvas planas que se originam da interseção de cone circular por um plano. As diversas posições desse plano em relação ao cone dão origem a cônicas particulares muito importantes, como veremos a seguir.
Cônicas como seções planas do cone Considere um cone circular de vértice V e eixo r, cujas geratrizes formam ângulo θ com o eixo do cone. Seja π o plano que secciona o cone. Temos então os seguintes casos para a interseção do cone com o plano:
A. Se o plano π é perpendicular ao eixo do cone, mas não passa pelo vértice V, então a seção é uma circunferência. Logo, uma circunferência é uma cônica. B. Se π é paralelo a uma geratriz do cone e não contém V, então a curva de interseção é uma parábola. C. Se o ângulo entre o plano π e o eixo r é maior que o ângulo θ entre o eixo e a geratriz, e π não passa pelo vértice, a interseção é uma elipse. Um caso extremo é quando o ângulo é π/2, e a elipse se torna uma circunferência. D. Se o ângulo entre o plano π e o eixo r é menor que o ângulo θ entre o eixo e a geratriz, e π não passa pelo vértice, então a interseção contém pontos nos dois lados do cone em relação ao vértice e a curva resultante é chamada de hipérbole. E. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ˆangulo entre π e o eixo é igual a θ, a interseção resulta em uma reta, que é uma reta geratriz. F. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ângulo entre π e o eixo é menor que θ, a interseção resulta em um par de retas concorrentes. G. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ângulo entre π e o eixo é maior que θ, a interseção resulta em um ponto, mais precisamente, o vértice V. As cônicas obtidas como interseção do cone por planos passando pelo vértice V são exemplos de cônicas tidas como degeneradas. Existem mais dois outros casos de cônicas (degeneradas) que não comparecem na interseção do cone circular com o plano, que são: para de retas paralelas e vazio. Estas cônicas podem ser obtidas como interseção do cilindro com um plano. Na Geometria Projetiva, o cilindro é um cone, com vértice “no infinito”.
Onde se observa que se P>0, a parábola tem concavidade voltada para cima (voltada parte positiva do eixo y) e se P<0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. A condição para que uma cônica seja uma parábola é que quando uma superfície cônica é seccionada por um plano π qualquer que não passa pelo vértice O, π deve ser paralelo a uma geratriz da superfície. Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base. Para provar esta afirmação foram criadas as equações da parábola de V=O’= (X0, Y0 )
A: O eixo de simetria é paralelo ao eixo x. A equação da parábola referida ao novo sistema x’O’y’ é: y’²=2px’ Contudo, pelas formulas de translação: X’=X - X Y’=Y - Y Substituindo as formulas de translação na equação da parábola temos: (Y - Y0)² = 2p(X - X0) O parâmetro p será positivo ou negativo se, respectivamente a concavidade da parábola estiver voltada para a direita ou para a esquerda. Desenvolvendo e isolando a variável x temos: X = Ay²+By+C
B: O eixo de simetria é paralelo ao eixo y. Analogamente a parábola que tem a concavidade voltada para cima (P>0) ou concavidade voltada para baixo (P<0) tem a forma:
(X - X0)² = 2p(Y - Y0)
Desenvolvendo e isolando a variável y temos:
Y = Ax²+BX+C
Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) do mesmo plano, é uma constante (2A) onde 2A > d(F1, F2).
Assim: d(P, F1) + d(P, F2) = 2A e d(Q, F1) + d(Q, F2) = 2A
Denominamos: F1 e F2 : Focos. A distância entre os focos é 2C e se denomina distância focal. O: Centro da elipse é o ponto médio dos focos. A1, A2, B1 e B2 : Vértices da elipse. Eixo maior: É o segmento A1A2 cujo comprimento é 2ª. Eixo menor : É o segmento B1B2 cujo comprimento é 2B.
Do triangulo retângulo B2O F2 da figura acima obtemos a relação notável: A² = B² + C² Excentricidade A excentricidade da elipse e definida por: e = c/a onde 0 < e < 1 Quanto mais próximo de zero for o valor de e, mais a elipse se aproxima de uma circunferência. E quanto mais próximo de 1 for o valor de e, mais achatada será a elipse. Conclui-se quanto aos valores extremos de e: Se e = 0 tem-se uma circunferência de diâmetro 2ª e os focos F1 e F coincidem com o centro da circunferência. Se e = 1 tem-se um segmento retilíneo F1 F2. Equações canônicas da elipse de centro na origem A : O eixo maior coincide com o eixo x. Se para P(x, y). Por definição temos: d(P, F1) + d(P, F2) = 2ª substituindo esses termos por valores chega-se a seguinte equação: X² + y² = 1 A² B² (eixo maior = eixo x)
Que é chamada de equação canônica ou reduzida da elipse de centro na origem e focos sobre os eixo x.
Eixo Real ou Transverso : É o segmento A1A2 e o seu comprimento é 2a. Eixo Imaginário ou Conjugado : É o segmento B1B2 e seu comprimento é 2b. Do triângulo B2OA2 na figura obtemos a relação notável: c² = a² + b²
Excentricidade da hipérbole: É definida por: e = c e > 1 a
Quanto maior a excentricidade da hipérbole maior será sua abertura e quanto menor for sua excentricidade menor será sua abertura. Equações A equação da hipérbole cujos focos são F1 = (-c; 0) e F2 = (c; 0) é
X² - y² = 1 a² b²
A equação assíntotas da hipérbole (retas onde a curva se aproxima de +infinito ou – infinito) é:
y = b x ou y = - b x a a
Quádrica é o conjunto dos pontos do espaço tridimensional, cujas coordenadas cartesianas verificam uma equação de 2º grau de no máximo três variáveis. ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0; Em que a; b; c; d; e; f; g; h; i; j pertencem aos R, com a; b; c; d; e; f não simultaneamente nulos.
Elipsóide é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfaz a equação
x² + y² + z² = 1
a² b² c²
Em que a; b e c são números reais positivos. Elipsóide de equação
x² + y² + z² = 1 a² b² c²
Hiperbolóide de uma folha Um hiperbolóide de uma folha é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfaz a equação
x² + y² - z² = 1 a² b² c²
Em que a; b e c são números reais positivos. O hiperbolóide de uma folha é simétrico em relação aos planos coordenados, aos eixos coordenados e a origem. Pois se (x, y, z) satisfaz a equação, então (-x, y, z), (x, -y, z), (x, y, -z), (-x, -y, z), (-x, -y, -z), (-x, y, -z) e (x, -y, -z) também satisfazem. O plano z = k intercepta o hiperbolóide de uma folha segundo a eclipse:
X² + y² = 1, z = k A² (1 + k²) b² (1 + k²) c² c²
Os eixos da elipse aumentam à medida que k cresce. O plano y = k intercepta o hiperbolóide de uma folha seguindo uma curva cuja equação é: X² - Z² = 1 – k² , y = k A² C² B² Se (K/B) é diferente de 1, então a interseção é um hiperbolóide e se (K/B) = 1, então a interseção é um par de retas concorrentes. O plano x = k possui considerações semelhantes a esta.
a² b²
Em que a; b e c são números reais, sendo a e b positivos. O parabolóide elíptico é simétrico em relação aos planos xz e yz. Pois, se (x, y, z) satisfaz a equação, então (-x, y, z) e (x, -y, z) também satisfazem. Ele também é simétrico em relação ao eixo z, pois se (x, y, z) satisfaz a equação, então (-x, -y, z) também satisfaz.
A interseção do parabolóide elíptico com o plano z = k, para k tal que ck > 0, é a elipse: x² + y² = 1, z = k cka² ckb² A interseção do parabolóide elíptico com o plano x = k é a parábola:
Z = k² + y² , x = k ca² cb²
A interseção do parabolóide elíptico com plano y = k também é uma parábola.
Parabolóide hiperbólico
Um parabolóide hiperbólico é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfaz a equação:
cz = x² - y² , a² b²
Em que a; b e c são números reais, sendo a e b positivos. O parabolóide é simétrico em relação aos planos xz e yz. Pois se (x, y, z) satisfaz a equação, então (x, -y, z) e (-x, y, z) também satisfazem. Ele também é simétrico em relação ao eixo z, pois se (x, y, z) satisfaz a equação, então (-x, -y, z) também satisfaz. A interseção do plano z = k com o parabolóide hiperbólico é dada por:
x² - y² = k, z = k ca² cb²
Que representa uma hipérbole, se k for diferente de 0 e um par de retas, se k= A interseção do plano x = k com o parabolóide hiperbólico é a parábola:
Z = - y² + k² , x = k cb² ca²
Que tem concavidade voltada para cima se c > 0 e concavidade para baixo se c < 0. A interseção do plano y = k com o hiperbolóide hiperbólico é a parábola:
Z = x² + k² , y = k ca² cb²
Que tem concavidade voltada para cima se c > 0 e concavidade para baixo se c < 0. O parabolóide hiperbólico é também chamado de sela.
Cone elíptico
Pontos de intersecção com os eixos coordenados: ; Seções paralelas ao plano XY: z =0 (0,0,0), caso contrário elipses;
Seções paralelas ao plano XZ: y =0, duas retas concorrentes caso contrário hipérboles; Seções paralelas ao plano YZ: x =0, duas retas concorrentes caso contrário hipérboles; Se a = b obtemos um cone de revolução.
Cilindros
situações, pelo que não é de estranhar que o interesse pelo seu estudo seja tão antigo.
Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem.
Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, então o feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cônica. Este fato acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna forma um cone, e também porque a parede funciona como um plano que corta o cone formado. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Certos candeiros de cabeceira, cujo quebra luz (abat-jour) é aberto segundo uma circunferência, desenham na parede uma hipérbole e no teto uma elipse.
Os Engenheiros da área da iluminação usam este fato, entre outros, para construírem candeiros, lanternas, etc...
O som emitido por um avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cônica. Assim, dependendo da inclinação do avião relativamente a Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hipérboles. A audiometria usa este fato, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a velocidade do som.
A superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica, sendo circular apenas no caso em que o copo está direito, isto é, está alinhado com o nível , na horizontal.
Se animarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio, a superfície do líquido nele inserido será a de um parabolóide. Esta técnica é freqüentemente usada para se obter este tipo de superfície.
Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas, as quais têm o sol num dos focos. Também os satélites
artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas. Mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao passarem perto de algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetória para outra hipérbole com um foco situado nesse planeta. Como a parábola é um caso de equilíbrio entre a elipse e a hipérbole (lembre-se que a excentricidade da parábola é igual a um), a probabilidade de existir algum satélite com órbita parabólica é quase nula. Mas isso não impede a existência de satélites com esta trajetória.
Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da força de gravidade, são parabólicas. Já no ambiente terrestre, onde existe a resistência do ar, essas trajetórias são elípticas, mais propriamente, arcos de elipses. No entanto, por vezes, as diferenças entre as trajetórias elípticas e as parabólicas são quase indiscerníveis, pelo que, pode-se facilmente verificar estes fatos tomando atenção ao jato de água de uma mangueira, cuja abertura está inclinada para cima. A balística ciência que estuda as trajetórias de projéteis faz uso deste fato para determinar o local da queda de um projétil.
No estudo dos átomos, um campo da Física e da Química, as órbitas dos elétrons em torno do núcleo são elípticas.
Fazendo uso da propriedade refletora da parábola, Arquimedes construiu espelhos parabólicos, os quais por refletirem a luz solar para um só ponto, foram usados para incendiar os barcos romanos quando das invasões de Siracusa. Lembre-se que a concentração de energia gera calor.
De fato, as propriedades refletoras das cônicas, e não somente as da parábola, tem contribuído para a construção de telescópios, antenas, radares, faróis, ópticas dos carros, lanternas, etc... Na verdade, alguns dos objetos mencionados também obedecem à propriedade refratora das cônicas. Esta propriedade está intimamente ligada à propriedade refletora, pelo que os seus estudos são muito idênticos. Só para dar uma amostra de objetos mais vulgares que usam a propriedade refratora das cônicas, mencionamos os seguintes: os óculos graduados, as lupas e os microscópios.
VENTURINI, Joacir J. Cônicas e Quádricas. Curitiba, Unificado Artes Gráficas e Editora, 2005.
WWW.yahoo.com.br Acessado em 08/05 às 13h56min.
WWW.google.com Acessado em 06/05 às 12h49min.
