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• CONJUNTOS
1. Conceito
É um agrupamento de elementos que colocamos separados aleatoriamente ou por uma propriedade especial.
2. Representação dos Conjuntos
Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas e os elementos por letras minúsculas. Os conjuntos podem ser representados de três formas:
1ª) Por extenso: enumeramos um a um os elementos do conjunto.
Exemplos
• Conjunto dos números naturais pares
• Conjunto dos dias da semana
• Conjunto dos números inteiros múltiplos de três:
2ª) Por propriedade: utiliza-se uma característica ou propriedade que englobe todos os elementos.
Exemplos
- Conjunto dos números pares:
- Conjunto dos dias da semana:
- Conjunto dos números inteiros múltiplos de três:
3ª) Pelo diagrama de Venn: é a representação gráfica.
Exemplo
Conjunto dos números naturais pares menores que 15
3. Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuírem exatamente os mesmos elementos, independente da ordem.
Exemplos
e e
OBSERVAÇÃO
• Se os conjuntos apresentarem ao menos um elemento que não seja
comum aos dois eles não serão iguais. Caso isso ocorra usamos o símbolo de diferença.
4. Conjunto Vazio
É aquele conjunto que não possui nenhum elemento. É representado por ou.
Exemplos
5. Relações entre elementos e conjuntos
Utilizamos dois sinais matemáticos. Se o elemento estiver presente em dizemos que , caso contrário, dizemos que.
Exemplo
Exercício de Aula
1) Seja o conjunto. Julgue a veracidade dos itens que se seguem.
6. Relações entre conjuntos
Utilizamos dois sinais matemáticos.
Quando todos os elementos de um conjunto pertencerem a um conjunto , dizemos que ( está contido em ). Caso contrário, dizemos que ( não está contido em ).
OBSERVAÇÃO
7. Subconjuntos
Se , dizemos que é SUBCONJUNTO de.
Exercícios de Aula
2) Considerando o conjunto , escreva TODOS os subconjuntos de.
3) Quantos conjuntos satisfazem à condição?
OBSERVAÇÕES
• O número de elementos de um conjunto é representado por.
• O número de subconjuntos , de um conjunto , é dado pela fórmula.
8. Conjunto das partes de A ou conjunto dos subconjuntos
O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é chamado conjunto das partes de A, P(A), ou conjunto dos subconjuntos de A.
Exemplo
P(A)={F 0 C 6; {a}; {b}; {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c}},
E terá elementos.
9. União de conjuntos
O conjunto união entre os conjuntos A e B é formado pelos elementos que fazem parte de A ou de B. A B
Exemplo
e
OBSERVAÇÕES
• e.
• qualquer que seja o conjunto.
• qualquer que seja.
• Se , então.
10. Intersecção de conjuntos
O conjunto intersecção entre os conjuntos A e B é formado pelos elementos que fazem parte de A e de B.
A B
Exemplo
e
OBSERVAÇÕES
• e
• , qualquer que seja o conjunto.
• , qualquer que seja o conjunto.
• Se , então.
• Quando , os conjuntos são chamados disjuntos (sem elementos em
comum).
11. Diferença de conjuntos
Sejam dois conjuntos A e B, o conjunto diferença A – B é formado pelos elementos que FAZEM parte de A e NÃO FAZEM parte de B.
A B
Exemplo
e
OBSERVAÇÕES
• Se , a diferença denomina-se complementar de em relação à e
indica-se:
Exemplo
e
• Dado um conjunto A, não-vazio, define-se como sendo o
complementar de A em relação ao conjunto Universo. Podemos também simbolizar como sendo.
Assim, se e ainda.
4) (UFMG - Adaptada) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos
estes dados:
I. 40% dos entrevistados lêem o jornal A.
II. 55% dos entrevistados lêem o jornal B.
III. 35% dos entrevistados lêem o jornal C.
IV. 12% dos entrevistados lêem os jornais A e B.
V. 15% dos entrevistados lêem os jornais A e C.
VI. 19% dos entrevistados lêem os jornais B e C.
VII. 7% dos entrevistados lêem os três jornais.
VIII. 135 entrevistados não lêem nenhum dos três
jornais.
9. Decomposição em fatores primos
Decompor um número em fatores primos significa encontrar quais são os números primos que multiplicados formam o número em questão. Ex: 23100 = 2^2. 3. 5 2. 7. 11.
OBSERVAÇÃO
• Cada número tem uma única decomposição em fatores primos.
10. Número de divisores
Dado um número natural n escrito decomposto em seus fatores primos podemos dizer que o número de divisores naturais é dado pela fórmula: , onde o D(n) é o número de divisores naturais de n.
Exemplo
120 = 2^2 .3.5, ou seja D(120) = (2+1).(1+1).(1+1) = 3.2.2 = 12 divisores naturais.
OBSERVAÇÃO
• Caso se esteja procurando o número de divisores inteiros de um
número n basta multiplicar o número de divisores naturais por 2, pois devemos adicionar a esses números os seus opostos.
Exemplo
No caso de 120, o número de divisores inteiros será 12.2 = 24 divisores inteiros.
11. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC)
Teorema: O mínimo múltiplo comum (MMC) entre n e m é o menor valor inteiro que seja múltiplo simultaneamente de n e m.
Uma forma prática de encontrar esse valor é fatorar os dois números em seus fatores primos e o MMC será o produto dos fatores comuns, com maior expoente e não-comuns.
Exemplo
Calcular o MMC entre 120 e 2772. Escritos na forma fatorada temos que 120 = 2^3 .3.5 e 2772 = 2 2 .3^2 .7.11. Assim o MMC será o produto dos
fatores comuns com maior expoente (2^3 e 3 2 ) e os fatores não-comuns (5, 7 e 11).
Teorema: O máximo divisor comum (MDC) entre n e m é o maior valor inteiro que divida simultaneamente n e m.
Uma forma prática de encontrar esse valor é fatorar os dois números em seus fatores primos e o MDC será o produto dos fatores comuns com menor expoente.
Exemplo
Calcular o MDC entre 120 e 2772. Escritos na forma fatorada teremos que 120 = 2 3 .3.5 e 2772 = 2 2 .3^2 .7.11. Assim o MDC será o produto dos fatores comuns com menor expoente (2^2 e 3).
OBSERVAÇÕES
• O produto
• Todo MÚLTIPLO do é múltiplo comum de e
• Todo DIVISOR do é divisor comum de e. Assim para calcular o
número de divisores comuns entre dois números e devemos calcular quantos divisores possui o.
12. Primos entre si
Dois números são chamados de números primos entre si quando o MDC entre eles é igual a um (1), ou seja não existe nenhum número (a exceção do um) que divida de forma inteira os dois números ao mesmo tempo.
Exemplo
54 e 25 são primos entre si, pois 54 = 3 3 .2 e 25 = 5^2. Assim MDC(54,
- = 1.
13. Fração Geratriz
As dízimas periódicas são um dos elementos que fazem parte do conjunto dos números racionais e, portanto podem ser expressos em forma de fração. Essa fração que “gera” a dízima periódica é dita fração geratriz. Para calcularmos tais frações existe um dispositivo prático que consiste em observar a parte que se repete (período) e colocar esse número no numerador e quantos noves forem o número de algarismo desse período no denominador.
OBSERVAÇÕES
• As dízimas periódicas têm uma outra notação. ; ;
• As dízimas não-periódicas são números irracionais, logo, não podem
ser transformadas em frações.
Exercício de Aula
5) Calcule as frações geratrizes irredutíveis das dízimas periódicas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
14. Racionalização
Racionalizar uma expressão consiste em tornar o seu denominador um número racional. Vejamos os principais casos de racionalização.
1° caso) Expressões do tipo
Exemplo
6) Racionalize as expressões:
a)
b)
c)
2º caso) Expressões do tipo
Exemplo
7) Racionalize as expressões:
a)
b)
c)
3º caso) Expressões do tipo
Exercício de Aula
8) Racionalize as expressões:
a)
b)
c)
