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CÁLCULO I
ENGENHARIA CIVIL
CONJUNTOS NUMÉRICOS
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Prof. Sidney Leal da Silva PRIMEIROS TEMPOS
Já nos primeiros tempos da raça humana, noções primitivas relacionadas aos conceitos de números, grandezas e forma já faziam parte da vida diária do homem. Se há validade no princípio biológico da "sobrevivência dos mais aptos", a persistência da raça humana provavelmente tem relação com o desenvolvimento de conceitos matemáticos.
Os egípcios, cerca de 5000 anos atrás, começaram a utilizar a matemática através da astronomia para observar que a inundação anual do rio Nilo tinha lugar pouco depois que Sirius, a estrela do cão, levantava-se a leste, logo antes do sol. Dado que esses surgimentos helíacos de Sirius, o anunciador da inundação, eram separados por 365 dias, os egípcios estabeleceram um bom calendário solar feito de doze meses de trinta dias cada um e mais cinco dias de festa, que é a base de nosso calendário atual. Este calendário foi fundamental para a agricultura dos povos que
viviam à beira do rio Nilo. Além da astronomia, os egípcios nos deixaram grandes escritos sobre construção civil,
arquitetura, arte, etc., todos fundamentados em conceitos matemáticos.
As civilizações babilônicas da Mesopotâmia, que viveram por volta de 2000 a 600 a. C, foram consideradas de alto nível por terem apresentado notável progresso cultural. Os sumérios, por exemplo, construíram casas e templos decorados com cerâmicas e mosaicos artísticos em desenhos geométricos. Governantes poderosos uniram os principados locais num império que realizou vastas obras públicas, como por exemplo, o sistema de cavas, que irrigava a terra e controlava as inundações, tudo a partir de princípios matemáticos.
PERÍODO ÁUREO (600 a.C. a 600 d.C.)
A partir de 600 a.C. a civilização grega assumiu a hegemonia cultural. No período helênico, que se estende aproximadamente de 600 a 323 a. C, destacam-se Tales de Mileto, Pitágoras de Samos, entre outros. Segundo a escola Pitagórica "Tudo é número", ou seja, o mundo pode ser explicado pela matemática. Pitágoras foi o responsável por tornar a matemática literal e Platão tornou-a parte da educação dos homens de estado, fato que contribuiu para o desenvolvimento das ciências políticas e econômicas.
O início do desenvolvimento formal da aritmética e geometria data deste período. Isto foi fundamental para as ciências astronômicas e, mais tarde, para a física. O fim deste período aconteceu com as mortes do Imperador Alexandre, o Grande, e Aristóteles (discípulo de Platão), considerado o maior erudito de todos os tempos e precursor da lógica.
A fase seguinte deu início a uma nova era da matemática, chamada Idade Áurea da Matemática Grega, Período Helenístico, ou ainda período Alexandrino e se estendeu de aproximadamente 324 a.C a 600 d.C. Alguns destaques deste período são Euclides, Arquimedes, Apolônio, Aristarco, entre outros.
Arquimedes, também conhecido como pai da física, com as leis da alavanca, trouxe uma grande contribuição para a construção civil, mas seu maior feito está relacionado aos princípios da hidrostática, utilizados até os dias de hoje como base para a construção de navios, submarinos, etc. Nesta fase houve também um grande desenvolvimento da geometria e trigonometria. O fim do período Alexandrino deu-se com a morte de Boécio, filósofo, matemático e homem de Estado, em 524 ou 525. A partir desta data, o homem passou um grande período voltado ao estudo do espírito e na busca pela salvação.
A IDADE DAS TREVAS
Com a queda de Roma em 476, iniciou-se um período designado "Idade Média" que durou até a queda de
Constantinopla em 1453. Para a história da matemática, este intervalo de tempo vai do ano 529, quando Justiniano, imperador do oriente, fechou as escolas filosóficas pagãs de Atenas, até 1436, com a morte do matemático Al- Kash. Durante a Idade Média, o mundo ocidental esteve concentrado na salvação do homem e os estudos voltaram- se ao espírito, deixando de lado a evolução das idéias sobre a razão. Este período foi classificado como "A idade das trevas". A esse respeito, Roger Bacon disse:
"O abandono da matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que a ignora não pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo".
O único centro de estudos da razão estava concentrado no que restava do império Romano. No entanto, o mundo oriental deu continuidade ao desenvolvimento da matemática. A China, Índia, Arábia e Império Bizantino tornaram-se os novos centros de estudos. Muito se fez, como a expansão dos numerais Indo-Arábicos, estudo das seqüências (como a de Finobacci), soluções de equações críticas, a cinemática medieval, séries infinitas, etc. Os
Durante o século XVIII e XIX, a lógica tomou uma importância efetiva. Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a
representação gráfica das relações entre sentenças ou proposições - mais tarde ampliada por John Venn (1834-1923), E. W. Veitch (1952) e M. Karnaugh (1953). Outros destaques deste período são Augustus De Morgan (1806-1923), que escreveu um tratado sobre a lógica formal, George Boole (1815-1864), que desenvolveu a álgebra booleana, entre outros.
Após este período, a matemática seguiu por um caminho de desenvolvimento, sempre aliada a ciências como a física, química, biologia, ciências econômicas, etc. Durante o século XX, os avanços tecnológicos começavam a apontar para uma era onde a matemática passaria a ter mais importância ainda do que já figurava na história da humanidade.
1 CONJUNTOS
O conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da matemática. Intuitivamente, um conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos bem definidos. Os objetos em um conjunto, como veremos nos exemplos, podem ser qualquer coisa:
- números, pessoas, letras, rios, etc.
Esses objetos são chamados os elementos ou membros de um conjunto.
Exemplo:
1- Os números 1, 3, 7 e 10;
2- As soluções da equação 1- As vogais do alfabeto a, e, i, o, u. 2- Os países da Europa.
1.2 NOTAÇÃO DE CONJUNTOS E ELEMENTOS
Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição, isto é, são consideradas noções primitivas:
(a) conjunto (b) elemento (c) pertinência entre elemento e conjunto
A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem comum, ou seja, chamamos de conjunto uma coleção bem-definida de objetos (ou coisas).
Exemplos:
(a) conjunto das vogais (b) conjunto dos números primos positivos (c) conjunto dos planetas do sistema solar (d) conjunto dos números ímpares e positivos (e) conjunto dos nomes dos meses de 31 dias.
Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado elemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos:
(a) a, e, i, o, u (b) 2, 3, 5, 7, ... (c) Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, ... (d) 1, 3, 5, 7, 9, ... (e) janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro.
Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome, etc. É importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Por exemplo, o conjunto das seleções que disputam um campeonato mundial de futebol é um conjunto formado por equipes que, por sua vez, são conjuntos de jogadores.
- REPRESENTAÇÃO
Os conjuntos serão designados em geral por letras maiúsculas:
NOTACÃO: A, B, X, Y, ....
Os elementos dos conjuntos serão geralmente representados por letras minúsculas:
NOTACÃO: a, b, x, y, .....
Exemplo de um determinado conjunto e seus elementos: A = { a, b, c, d }
3. COMO REPRESENTAR UM CONJUNTO
1- FORMA TABULAR OU POR EXTENSÃO
Quando um conjunto é dado pela enumeração (ou enumeração parcial) de seus elementos, ou seja, quando os elementos são separados por vírgulas e compreendidos entre chaves { }.
Exemplos:
(a) conjunto das vogais: A = {a, e, i, o, u}
NOTAÇÃO: A = B
Por exemplo, se A = { x/ x é vogal do alfabeto} e B = { a, e, i, o, u }, então A = B.
Se AB (A é diferente de B), então uns desses conjuntos possui pelo menos um elemento que não pertence ao outro.
1.6 CONJUNTO VAZIO
O conjunto vazio não possui elementos.
NOTAÇÃO : F 0C 6 ou {^ }
EXEMPLO
A = { x/ e x é impar}
A é um conjunto vazio.
1.7 CONJUNTO UNITÁRIO
O conjunto unitário é formado por um único elemento. Por exemplo, o conjunto Q = { x | x é número natural par e primo}, Logo Q = { 2 }.
1.8 CONJUNTO UNIVERSO
O conjunto universo é formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado assunto.
NOTAÇÃO: U
2 SUBCONJUNTOS
Se cada elemento do conjunto A é também um membro do conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. Mais especificamente,
- A um subconjunto de B se implica em.
Neste caso dizemos que “ A está contido em B”.
NOTAÇÃO:
Relação de Inclusão
A relação A F 0C C B chama-se relação de inclusão. São alguns casos particulares de inclusão:
- A F 0C C A, pois qualquer elemento de A, pertence a A.
- F 0C 6^ F 0C C A, para qualquer conjunto A, ou seja, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
- Se A F 0C C B e B F 0C C A, então A = B.
Se existe algum elemento de A que não está em B, então dizemos que “ A não está contido em B”.
NOTAÇÃO:
Exemplo : Considere os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Como cada elemento de A é membro do conjunto B, A é um subconjunto de B. Neste caso,.
Exemplo : Considere os conjuntos X = { 1, 2, 3, 4} e Y = {1, 2, 4 , 6, 8}.
Observe que o elemento 3 de X não é membro de Y. Neste caso.
OBSERVAÇÃO: De conjunto para conjunto, usamos sempre os símbolos ou.
O conjunto vazio é considerado como um subconjunto de qualquer conjunto, isto é, A, qualquer que seja A.
EM FORMA DE DIGRAMA DE VENN
B
A F 0C C B
OBS: A relação A F 0C C B também pode ser escrita como (B contém A). A relação A F 0C C B é do menor conjunto para o maior, enquanto a relação é do maior para o menor.
Por exemplo, sejam A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Assim, dizemos que:
OBS.: Os símbolos de pertinência F 0C E e F 0C F são utilizados para relacionarem somente elementos com conjuntos, enquanto que os símbolos F 0C C e são utilizados para relacionarem somente conjunto com conjunto.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1- Considere os conjuntos:
A = { 6, 8, 10, 12}
B = { 8, 9,10,11,12,13}
C = { 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
D = F 0C 6
Estabeleça as relações de
(a) 10 _ F 0C E _ A (c) C _ F 0C 9 A (e) {9, 10, 11} _ F 0C C _ B (g) D _ F 0C C _ A (b) 13 _ F 0C F _ C (d) {9, 11} _ F 0C B _A (f) C _ F 0C B _ A (h) D_ F 0C C _ F 0C 6
2 - Dados os conjuntos A, B, C e D, marque V (verdadeiro) ou F (Falso).
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = { 2, 4, 6}
C = { 1, 3, 5}
D = F 0C 6
I - BF 0C E A F 0E 8 F, pois B não é elemento. O correto seria F 0C C. II - 0 F 0C E DF 0E 8 F, pois D é o conjunto vazio, portanto não pode ter nenhum elemento, nem mesmo o zero. III - 5 F 0C C C^ F 0E 8 F, pois 5 é elemento. O correto seria o símbolo^ F 0C E. IV - D F 0C C B^ F 0E 8 V, pois o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
EXEMPLO: A = {0, 2} e B = {1, 3, 5}
A ∩ B = F 0C 6
OBSERVAÇÃO: Quando A ∩ B = Φ, os conjuntos A e B são chamados DISJUNTOS.
3.1 DIFERENÇA DE CONJUNTOS
A diferença de dois conjuntos A e B é um conjunto dos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.
NOTAÇÃO: A – B = { x / x F 0C E A e x B}
EXEMPLO: A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7}
Os elementos que estão em A, mas não estão em B são: 0, 2 e 4. Logo, A – B = {0, 2, 4}
O quadro abaixo resume todas as possibilidades para diferença de conjuntos. Toda a região colorida de cinza representa as diferença entre os conjuntos A e B.
Se B F 0C C A, então B – A é conjunto vazio, pois todo elemento de B pertence a A.
3.2 CONUNTO COMPLEMENTAR
Se A e B são conjuntos tais que B F 0C C A, então o complementar de B em relação a A é a diferença A – B, ou seja, o complementar de B em relação a A é formado pelos elementos de A que não estão em B.
NOTAÇÃO: = A - B
EXEMPLO: Se A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2}, então = A – B = {0, 3, 4, 5}.
3.3 CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO OU CONJUNTO DE POTÊNCIAS
Dado o conjunto A, o conjunto das partes de A, é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.
NOTAÇÃO: P(A)
OBS.: Se A possui n elementos, então o número de subconjuntos de A (partes de A) é dado por.
EXEMPLOS:
1 - Seja A = {a, b}
Como o conjunto A tem dois elementos, n = 2. Logo, subconjuntos. São eles: F 0C 6 , {a}, {b} e {a, b}, ou seja,
P(A) = {F 0C 6 , {a}, {b}, {a, b}}
OBS.: Conjunto vazio e o próprio conjunto A sempre farão parte do conjunto das partes P(A).
2 - Seja B = {1, 2, 3}
Como o conjunto B tem 3 elementos, n = 3. Logo, subconjuntos. São eles:
F 0 C 6 , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} e {1, 2, 3}, ou seja,
P(A) = {F 0C 6 , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
4 CONJUNTO DE NÚMEROS
4.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
Uma exposição sistemática dos conjuntos numéricos, utilizados na Matemática, pode ser feita a partir dos números usados para contar, chamados de números naturais. Estes números são conhecidos há tantos milênios que o famoso matemático Kronecker disse:
“Deus criou os números naturais, todo o resto é obra do homem.”
A idéia do número zero só apareceu mais tarde, tendo sido introduzido pelos hindus. Uma notação para o mesmo surgiu a partir do século XI quando foi difundido e adotado o sistema de numeração decimal hindu. Este fato foi extremamente importante para a universalização da Matemática na sua forma escrita, uma vez que os seus símbolos são hoje lidos e compreendidos em quase toda parte do mundo. Apesar de historicamente o zero não ser um número “natural” (no sentido de usado para contar), incluir ou não o zero como número natural é uma questão de preferência pessoal ou então, de conveniência.
O conjunto dos números naturais é representado pela letra. São os números positivos inteiros
= {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
O conjunto dos números naturais não-nulos (sem o elemento zero) , é representado por*.
Os números naturais foram o primeiro sistema de números desenvolvidos e foram usados primitivamente, para contagem.
4.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
A subtração nem sempre é possível no conjunto dos naturais. Por exemplo, não existe número natural que represente a diferença 3 - 5. Por isso, foi criado o conjunto dos números inteiros. Nesse conjunto a diferença 3 – 5 é representada por -2.
Indica-se por o conjunto dos números inteiros e por
- O conjunto dos números não-nulos, isto é, o zero não faz parte do conjunto:
={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Podemos ver que todo número natural é inteiro. Por isso, escrevemos(lê-se “está contido em ou é subconjunto de").
Os irracionais são números que não podem ser escritos na forma.
4.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Qualquer número racional ou irracional é chamado de número real. Podemos dizer, portanto que um número real é todo número decimal, finito ou infinito. Indica-se por o conjunto dos números reais e * o conjunto dos números reais não-nulos, isto é:
As relações entre os conjuntos numéricos até agora apresentados podem ser feitos em um diagrama:
Pelo diagrama,.
Veja a seguir as notações para representar alguns subconjuntos especiais de :
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE
A cada ponto de uma reta, podemos associar um único número real, e a cada número real podemos associar um
único ponto na reta.
Dizemos que o conjunto é denso, pois entre dois números reais existem infinitos números reais (ou seja, na reta, entre dois pontos associados a dois números reais, existem infinitos pontos).
Veja a representação na reta de :
5 INTERVALOS REAIS
Usaremos as seguintes notações para representar tipos especiais de subconjuntos reais chamados intervalos****. Logo abaixo cada conjunto tem sua representação na reta real.
TIPOS DE
INTERVALOS
REPRESENTAÇÃO GRÁFICO OBSERVAÇÃO
Fechado [a,b] = {x R; a ≤ x ≤ b} Inclui os limites a e b.
Fechado à esquerda (a, b] = {x R; a < x ≤ b} Exclui a e inclui b.
Fechado à direita [a, b) = {x R; a ≤ x < b} Inclui a e exclui b.
Aberto (a, b) = {x R; a < x < b} Exclui os limites a e b. Semi-fechado (− ∞, b] = {x R; x ≤ b} Valores menores ou iguais a b.
Semi-aberto (−∞, b) = {x R; x < b} Valores menores que b. Semi-fechado [a,+∞) = {x R; x ≥ a} Valores maiores ou iguais a a. Semi-aberto (a,+∞) = {x R; x > a} Valores maiores que a. Reais (− ∞,+ ∞) = R 0 Todos os valores, inclusive a e b.
Exemplos
(a) [2; 8] 2 8
(b) (2; 8] 2 8
(c) [2; 8) 2 8
(d) (2; 8) 2 8
(e) (− ∞, 8] 8
(f) (− ∞, 8)
8 (g) [2,+∞) 2
(h) (2,+∞) 2
6 VALOR ABSOLUTO
Definição – O valor absoluto de a , denotado por , é definido como
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Geometricamente o valor absoluto de a , também chamado módulo de a, representa a distância entre a e 0. Escreve- se então
PROPRIEADES
I.
II.
III. Se a e b R, então
IV. Se a e b R e b 0, então
V. DESIGUALDADE TRIANGULAR
- (^) Subtração Lê-se como "menos" Ex: 5 - 3 = 2, significa que se subtrairmos 3 de 5, o resultado é 2.
O sinal - também denota um número negativo. Por exemplo:
(-6) + 2 = -4. Significa que se somarmos 2 em -6, o resultado é -4. / (^) Divisão Lê-se como "dividido" Ex: 6/2 = 3, significa que se dividirmos 6 por 2, o resultado é 3. *** ou x** (^) Multiplicação Lê-se como "multiplicado"
Ex: 8 * 2 = 16, significa que se multiplicarmos 8 por 2, o resultado é
= (^) Igualdade Lê-se como "igual a" Ex: x = y, significa que x e y possuem o mesmo valor.
< e > Comparação É menor que, é maior que
- (^) x < y significa que x é menor que y
- x > y significa que x é maior que y e Comparação É menor ou igual a, é maior ou igual a
- (^) x y significa: x é menor ou igual a y ;
- x y significa: x é maior ou igual a y. { , } (^) Chaves O conjunto de... Ex: { a , b , c^ } representa o conjunto composto por^ a ,^ b^ e^ c. { } ou (^) conjunto vazio Significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio.
Ex: A={1,2,3} e B={4,5,6} A B = Para todo Significa "Para todo" ou "Para qualquer que seja". Ex: x > 0, x é positivo. Significa que para qualquer x maior que 0, x é positivo. Pertence Indica relação de pertinência. Ex: 5 N. Significa que o 5 é um número natural. não pertence Não pertence. Ex: -1 N. Significa que o número -1 não é u número natural. Existe Indica existência. Ex: x Z | x > 3 Significa que existe um x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x é maior que 3. não existe Indica a não existência. Ex: x N | x < 0 Significa que não existe um x pertencente ao conjunto dos números naturais tal que x é menor que 0. está contido Ex: N Z, ou seja, o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. não está contido Ex: R N, ou seja, o conjunto dos números reais não está contido no conjunto dos números naturais. Contém Ex: Z N, ou seja, o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais. se...então • se...então
- p: José vai ao mercado q: José vai fazer compras pq Se José vai ao mercado então ele vai fazer compras. se e somente se • se e somente se
- p: Maria vai para a praia q: Maria vai tirar notas boas pq Maria vai para a praia se e somente se ela tirar notas boas.
A B (^) união de conjuntos Lê-se como "A união B" Ex: A={5,7,10} e B={3,6,7,8} A B = {3,5,6,7,8,10} A B (^) interseção de conjuntos Lê-se como "A intersecção B" Ex:
A={1,3,5,7,8,10} e B={2,3,6,7,8} A B = {3,7,8} A - B (^) diferença de conjuntos Lê-se como "diferença de A com B". É o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Ex: A - B = {X | x A e x B} Implica A: São Paulo é capital de um estado brasileiro B: São Paulo é uma cidade brasileira A B Ex: sendo verdadeira a afirmação que está antes dele, então também será verdadeira a afirmação à sua direita. Por exemplo, “São Paulo é capital de um estado brasileiro” implica que “São Paulo é uma cidade brasileira”. | (^) tal que Ex: R+ = {x R | x ³ 0} significa que R+ é o conjuntos dos números pertencentes aos reais TAL QUE esses números sejam maiores ou iguais a zero. n! (^) n fatorial A definição de n fatorial é a seguinte: n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.
Ex: Para n = 6, teríamos: n! = 65432* número pi O número é definido como sendo a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Mas este número tem outras personalidades. É também um número irracional e um número transcendente. = 3,141592653... Infinito O "oito deitado" representa o infinito. Este símbolo foi criado pelo matemático Inglês John Wallis (1616-1703) para representar a " aritmética Infinitorum ". Somatório A k-ésima soma parcial da série é Sk = a1 + a2 + ... + ak.
LISTA DE EXERCÍCIOS
1- Dado o conjunto P = {0, 2, 4, 6, 8 , 10, ...} dos números pares, N, Z, Q e R os conjuntos dos números naturais,
inteiros, racionais e reais respectivamente, estabeleça as relações de , continência ou convenientes:
a) P____N d) 1____ P g) Z____Q
b) P____Z e) 200____ P h) R____N
c) P____R f) Q ____P i) N____R
2- Seja U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A={1, 3, 5, 7, 9}, B={0, 2, 4, 6}, e C={9, 10}. Obtenha os seguintes conjuntos:
a) A F 0C 7 B^ b) (A^ F 0C 7 B)^ F 0C 7 C^ c) B^ F 0C 8 C^ d) (AF 0C 8 B)^ F 0C 7 (AF 0C 8 C)^ e) A^ F 0C 7 C
f) B F 0C 7 C g) A F 0C 8^ F 0C 6 h) (A F 0C 8 C) F 0C 7 B
3 - Considere os seguintes conjuntos: A ={1,2}; B ={2,3}; C ={1,3,4} e D ={1,2,3,4}. Associe V ou
14- Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Represente graficamente na reta real o conjunto determinado por cada uma das seguintes condições:
(a) –6 < x < 0 (b) x F 0A 3 0 (c) -1 F 0A 3 x < 4
(d) x F 0B 3 2 (e) 6 x + 4 > x – 6 (f) 6 + 2 x > 1 – x (g) x + 7 < 0 (h) x - 8 > 0 (i) x - 5 < 2 x – 4 (j) 3+7 x < 8 x + 9 (k) ( x + 5).( x – 3) > 0 (l) 3 – x < 5 + 3 x (m)2 > -3 – 3 x F 0B 3 -
(n) (o)
15 - Resolver as equações em R.
(a) (b) (c) (d)
(e) (f) (g)
16 – Resolver as inequações em R.
(a) (b) (c) (d)
(e) (Dica: aplique a propriedade modular IV na página 18. Multiplique cruzado e depois eleve ao quadrado)
(f) (Dica: aplique a propriedade modular IV na página 18. Multiplique cruzado e depois eleve ao quadrado)
