Controle de Processos, Notas de aula de Controle de Processo

Baixe Controle de Processos e outras Notas de aula em PDF para Controle de Processo, somente na Docsity!

CONTROLE LINEAR I

Parte A – Sistemas Contínuos no Tempo

PROF. DR. EDVALDO ASSUNÇÃO

PROF. DR. MARCELO C. M. TEIXEIRA

AGRADECIMENTOS

Os autores desejam agradecer ao aluno Pierre Goebel, que em uma tarde de verão decidiu digitar toda apostila de forma voluntária e com o prazer de proporcionar uma leitura agradável aos demais alunos.

Muito obrigado Pierre!

6- Modelo em Diagrama de Fluxo de Sinal 79. 7- Estabilidade de Sistemas Dinâmicos 85. 7.1- O Conceito de Estabilidade 85. 7.2- O Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 95. 7.3- Estabilidade Relativa 103. 7.4- Exemplos Completos de Projeto 105.

8- Resposta Transitória de Sistemas de 1a^ e 2a^ ordem 113. 8.1- Introdução 113. 8.2- Resposta Transitória de Sistema de 1a ordem (devido a entrada degrau) 113. 8.2.1- Exemplo 113. 8.2.2- Caso Genérico 115. 8.3- Resposta Transitória de sistemas de 2a ordem (devido a uma entrada degrau)

. 117. 8.3.1- Exemplo 117. 8.3.2- Caso Genérico 119.

Variação de P.O. em função de  124.

8.3.3- Resposta Transitória X Localização dos Polos no Plano s 126. 8.3.4- Resposta ao Degrau de Sistemas de Ordem Superior 131. 8.4- Resposta Transitório Usando o MATLAB 134. 8.5- Índices de Desempenho ITA, ISE, IAE 136.

9- Erros de Regime (regime permanente) 139. 9.1- Introdução 139. 9.2- Exemplos de Erro de Regime 139. 9.3- Erros de Regime 141. Tabela de Erros de Regime 146.

10- Sensibilidade de Sistemas de Controle a Variação de Parâmetros 150. 10.1- Introdução 150. 10.2- Generalização 152.

11- Sinais de Perturbação (ou ruído) em Sistemas de Controle 155.

12-Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) 162.

APÊNDICE A – Laboratório 1 – Curso e Lista de Exercícios do MATLAB 206.

APÊNDICE B – Laboratório 2 – Introdução à Robótica 222.

APÊNDICE C – Laboratório 3 – Controle de Motor CC 226.

APÊNDICE D – Laboratório 4 – Resposta Transitória de Sistemas Dinâmicos e Erros de Regime Permanente 230.

APÊNDICE E – Bibliografia Básica e Critério de Avaliação 238.

APÊNDICE F – Alguns Artigos Científicos Publicados pelos Professores Marcelo C. M. Teixeira e Edvaldo Assunção 239.

deslocamento, ii)uma caldeira cujas entradas são ar e combustível e a saída é a temperatura da água, iii) um automóvel cuja entrada é o ângulo do acelerador e a saída é a velocidade do automóvel, iv) o rastreador solar cuja entrada é a posição relativa do sol e a saída é a posição angular das placas conversoras de energia solar. O modelo matemático de um sistema é muito importante (fundamental) para o projeto de controle automático. O modelo de um sistema é a relação entre a entrada u(t) e a saída y(t) do sistema. O modelo pode ser obtido usando-se leis físicas, por exemplo, leis de Newton, leis de Kirchoff, etc. Ou então usando-se metodologias experimentais, com por exemplo respostas transitórias, respostas em frequência etc. Controle de um sistema significa como agir sobre um sistema de modo a obter um resultado arbitrariamente especificado. Um fundamento básico da teoria de controle é o uso da realimentação. Através de exemplos, iremos introduzir o conceito de realimentação.

1 o^ Exemplo: Considere o seguinte problema no qual o homem deseja aquecer o interior de um prédio, tendo em vista que a temperatura externa é 0ºC. Para isto ele dispõe de um aquecedor e um termômetro para leitura da temperatura interna da sala. O objetivo de controle é manter a temperatura da sala em Ts=22ºC, mesmo na ocorrência de alguns eventos: abrir a porta, desligar o fogão etc. E que ele possa dormir.

AR FRIO

TEMPERATURA AMBIENTE

AQUECEDOR

SALA

CHAVE

TERMÔMETRO

110V

AR QUENTE

T TEMPERATURA DA SALA

T = 0° CA

S

1 a^ estratégia: o homem fecha a chave e então vai dormir. O sistema de controle pode ser esquematizado no seguinte diagrama:

Neste caso temos que o sistema de controle é uma conexão série de três outros sistemas: HOMEM-CHAVE-AQUECEDOR. Esta configuração é chamada de sistema de malha aberta. O resultado é que a temperatura da sala irá crescer indefinidamente se o aquecedor estiver superdimensionado e Ts>>22ºC. Essa estratégia falhou. Neste caso:

2 a^ estratégia: o homem lê o termômetro e usa a seguinte tática: Se Ts22ºC ele liga a chave Se Ts>22ºC ele desliga a chave Neste caso teremos:

Neste caso o homem não terá altas temperaturas, esta estratégia é melhor que a 1º porém, o homem não dormirá. O diagrama de blocos deste sistema de controle é:

fechada. O esquema genérico de um sistema de malha fechada é:

2 oExemplo: sistema de controle biológico, consistindo de um ser humano que tenta apanhar um objeto.

O sistema de malha aberta tem as seguintes vantagens: i.) Simples construção; ii.) Mais barato que a malha fechada; iii.) Conveniente quando a saída é de difícil acesso ou economicamente não disponível.

E ter as seguintes desvantagens: i.) Distúrbios e variações na calibração acarretam erros e a saída pode ser diferente da desejada; ii.) Para manter a qualidade na saída é necessária uma recalibração periódica; iii.) Inviável para sistemas instáveis

2-Classificação e Linearização de Sistemas As equações diferenciais dos movimentos dos principais processos utilizados em sistemas de controle são não lineares. Tanto análise quanto projeto de sistemas de controle são mais simples para sistemas lineares do que para sistemas não lineares. Linearização é o processo de encontrar um modelo linear que seja uma boa aproximação do sistema não linear em questão. A mais de 100 anos, Lyapunov provou que se o modelo linear, obtido através de processo de linearização de um modelo não linear, é válido em uma região em torno do ponto de operação e se é estável, então existe uma região contendo o ponto de operação na qual o sistema não linear é estável. Então, para projetar um sistema de controle para um sistema não linear, pode-se seguramente obter uma aproximação linear deste modelo, em torno do ponto de operação, e então projetar um controlador usando a teoria de controle linear, e usá-lo para controlar o sistema não linear que se obterá um sistema estável nas vizinhanças do ponto de equilíbrio (ou ponto de operação). Técnicas modernas de projeto de controladores Fuzzy usando LMIs para sistemas não lineares permitem que o sistema trabalhe em torno de vários pontos de operação e ainda garante-se não apenas a estabilidade do sistema não linear controlado mas também o seu desempenho temporal. Antes de apresentar o processo de linearização, se faz necessário estudar o princípio da superposição útil na classificação de um sistema, verifica-se se um sistema é ou não sistema linear. 2.1-Sistemas Lineares Seja o sistema abaixo, com condições iniciais nulas, I.C.=0, em um sistema físico isto equivale a dizer que o sistema não possui energia armazenada em t=0 ( o sistema estará em repouso).

Suponha que a entrada u(t)= u 1 (t) gera a saída y(t)=y 1 (t) e que a entrada u(t)=u 2 (t) gera a saída y(t)=y 2 (t), ou seja:

seguinte combinação linear: u(t)= u 1 (t)+u 2 (t), no sistema y(t)=au(t):

Para u 1 (t) tem-se y 1 (t)=a u 1 (t) (1) Para u 2 (t) tem-se y 2 (t)=a u 2 (t) (2) Para u(t)= u 1 (t)+u 2 (t) tem-se y(t)=a[u 1 (t)+u 2 (t)] Ainda, y(t)= au 1 (t)+au 2 (t) (3) Substituindo (1) e (2) em (3) tem-se: y(t)= y 1 (t)+ y 2 (t)

Portanto o princípio da superposição foi respeitado, logo o sistema em questão é linear. Exemplo 2 : verifique se o sistema dado por y(t)= a u(t)+b é linear ou não.

Graficamente:

Sol.:

, a0 e b 0

u 1 (t)  y 1 (t)= a u 1 (t)+b então (^) u (^) 1   t (^)  y^1   t a  b (1)

u 2 (t)  y 2 (t)= a u 2 (t)+b então u (^) 2   t  y^2   t a  b (2)

se u (t)= u 1 (t)+u 2 (t)  y(t)=a[u 1 (t)+u 2 (t)]+b (3) Substituindo (1) e (2) em (3) tem-se:     b a

y t b a y t a y t b  

( ) ^ ^1 () ^ ^2 ()

ainda, y(t)= y 1 (t)+ y 2 (t)+b(1--) (4) (4) será igual a y(t)= y 1 (t)+ y 2 (t) se e somente se b=0 ou (1--)=0  =1- Mas no enunciado foi suposto que b0. A expressão =1- restringe os valores de  e  e para que seja linear é necessário que

y(t)= y 1 (t)+ y 2 (t),   e   , portanto não é linear. Resumo: dos exemplos 1 e 2 conclui-se que:

Exemplo 3 : Mostre que o sistema chamado integrador eletrônico é linear.

Obs.: O circuito eletrônico que implementa o integrador utiliza um amplificador operacional (A.O.) é dado abaixo:

(a saída é igual à integral da entrada)

    tfut dt dt y t ut dut 30 () () 10 () 22 () Ele é linear? Exemplo 4 : Os sistemas dinâmicos de interesse neste curso podem ser expressos por equações diferenciais da forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 0 0

   



n

i

j

m

j

j

i ai t y t b t u t

Demonstrar para integrador: ( ) 1 ( )

. y t  RC^  u t

sendo que: yi(t) denota a i-éssima derivada de y(t) uj(t) denota a j-éssima derivada de u(t) Demonstre que este sistema é linear. Sol.: Suponha que para a entrada u(t)= u 1 (t) a solução de (1) proporciona y(t)=y 1 (t) e que para u(t)= u 2 (t)  y(t)= y 2 (t), assim tem-se:

u 1 (t)     

n i

m j

ai t yi t bj t uj t

0 1 0 1

u 2 (t)    

n i

m j

ai t yi t bj tuj t

0 2 0 2

Para u(t)= u 1 (t)+u 2 (t), como  e  são constantes então uj(t)= u 1 j(t)+u 2 j(t), então:

( ) () ()[ () 2 ()]

0 0 1

a t y t b t u t uj t

n i

m j  (^) i i  j  j ^    ou ainda,

0 0 1 0

a t y t b tu t b tuj t

m j j

n i

m j  (^) i i  (^) j j    



n i

ai t yi t

0 2  () () 

n i

ai t yi t

0 1

logo

0 0 1 0

a t y t a t y t a t yj t

m j i

n i

m j  i i  i j    

 

ou

( ) () ()[ () 2 ()]

0 0 1

a t y t a t y t yj t

n i

m j  i i  i  j ^    de onde conclui-se que yi(t)= y 1 i(t)+ y 2 i(t) logo o sistema é linear. Obs.: Se ai(t) e bj(t), em (1), são constantes, para i=1, 2, ..., n e j=1, 2, ..., m; então o sistema é dito linear e invariante no tempo (SLIT). Se ai(t) e bj(t), em (1), variam com o tempo, i=1, 2, ..., m; então o sistema é dito linear variante no tempo (SLVT). Exemplos:

1. SLIT: considere a esfera de um levitador magnético, cuja ação da força da gravidade tenha sido quase compensada pela força magnética oriunda de uma bobina principal. Neste caso tem- se:

Sendo F a força resultante: força magnética menos força da gravidade.

Adotando u(t)=F(t), de (1) tem-se

 

n i

l j

ai t yi t bj tuj t

0 0

para n=2 e l=0 temos

Portanto este é um SLIT.

y ( t ) m^1 u ( t )

 

ponto de equilíbrio, e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do equilíbrio. Entretanto, se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e se os sinais envolvidos forem pequenos, então é possível aproximar o sistema não linear por um sistema linear. Este sistema linear é equivalente ao sistema não linear considerado dentro de um conjunto limitado de operações. O processo de linearização apresentado a seguir tem como base o desenvolvimento da função não linear em uma série de Taylor em torno de um ponto de operação e a retenção somente do termo linear. A linearização de um sistema não linear supõe que o sistema operará próximo de um ponto de operação (P.O.), também chamado de ponto de equilíbrio. Considere que o sistema:

opera próximo ao ponto de operação (P.O.):

Expandindo y=f(x) em uma série de Taylor em torno deste ponto, teremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )^2

..

2

2

....

o PO

o P O PO

x x

x

x x f x

x

y f x f x f x

sendo: P.O.=(xo,yo), que é o ponto de operação do sistema.

A suposição de que o sistema não linear irá operar em torno do P.O., implica que x ficará próximo de xo, logo (x-xo) será pequeno e quando elevado a 2, 3, ... será menor ainda, portanto:

2 3

x  xo  x  xo   

Substituindo (2) em (1) tem-se:

( ) ( ) ( )

.... o P O PO x x x

y f x f x  

 

ou

Interpretação geométrica

Se tivermos uma função de várias variáveis: y ( t ) f ( x 1 , x 2 , , xn ) e P. O .( x 10 , x 20 ,, xno , yo )

a expansão em série de Taylor desprezando-se potências maiores que 1 é dada por:

ou ainda,

 y  m 1  x 1  m 2  x 2  mn  xn

que é um sistema linear (vide exemplo 1)

que é um sistema linear