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Controle de posição de Motor CC por realimentação de
estados
- Introdução Baseado no tutorial “Control Tutorials for Matlab e Simulink”, originalmente desenvolvido pelo Prof. Bill Messner do Department of Mechanical Engineering da Tufts University (Carnegie Mellon University) e Prof. Dawn Tilbury do Department of Mechanical Engineering and Applied Mechanics da University of Michigan.
- Modelo do motor (J) moment of inertia of the rotor 3.2284E- 6 kg.m^ (b) motor viscous friction constant 3.5077E- 6 N.m.s (Kb) electromotive force constant 0.0274 V/rad/sec (Kt) motor torque constant 0.0274 N.m/Amp (R) electric resistance 4 Ohm (L) electric inductance 2.75E-6H
- Código do modelo no Matlab
J = 3.2284E-6; b = 3.5077E-6; K = 0.0274; R = 4; L = 2.75E-6; s = tf('s'); P_motor = K/(s((Js+b)(Ls+R)+K^2)) Transfer function:
8.878e-012 s^3 + 1.291e-005 s^2 + 0.0007648 s Ou, na representação por espaço de estados:
A = [0 1 0 0 - b/J K/J 0 - K/L - R/L]; B = [0 ; 0 ; 1/L]; C = [1 0 0]; D = [0]; A = 1.0e+006 * 0 0.000001000000000 0 0 - 0.000001086513443 0. 0 - 0.009963636363636 - 1. B = 1.0e+005 * 0 0
- Projeto por realimentação de estados Considerando-se a representação do sistema original:
A = [0 1 0 0 - b/J K/J 0 - K/L - R/L]; B = [0 ; 0 ; 1/L]; C = [1 0 0]; D = [0]; A = 1.0e+006 * 0 0.000001000000000 0 0 - 0.000001086513443 0. 0 - 0.009963636363636 - 1. B = 1.0e+005 * 0 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0. 0
1
Step Response Time (seconds) Amplitude
>> C
C = 1 0 0
D = 0
Estabelecendo como objetivo de projeto as raízes da equação característica em - 200, - 100+100j e - 100 - 100j (proposto pelo site).
K = acker(A,B,[- 200 - 100+100j - 100 - 100j]) K = 0.001296072992701 - 0.027380699342675 - 3. A respota do sistema compensado será: step(A-BK,B,C,D) O sistema realimentado, comparado com o sistema original em malha fechada, apresenta um tempo de acomodação significativamente menor e um sobre sinal também menor. Contudo, o valor em regime apresenta uma grande diferença em relação ao sistema original. Isto pode ser corrigido com um ganho de ajuste em B: step(A-BK,B/771,C,D) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Step Response Time (seconds) Amplitude
den = 1.0e+007 * 0.000000100000000 0.145454654105890 8.614352169916566 0 A função de transferência associada a posição:
tf(num(1,:),den) Transfer function: 1.164e-009 s^2 + 0.0002979 s + 3.086e
s^3 + 1.455e006 s^2 + 8.614e007 s A função de transferência associada a velocidade:
tf(num(2,:),den) Transfer function: 2.328e-010 s^2 + 3.086e009 s
s^3 + 1.455e006 s^2 + 8.614e007 s A função de transferência associada a corrente de armadura:
tf(num(3,:),den) Transfer function: 3.636e005 s^2 + 3.951e005 s
s^3 + 1.455e006 s^2 + 8.614e007 s
De outra maneira: No projeto por realimentação de estados, já com o ganho de correção:
Velocidade Angular: Corrente de Armadura:
- Alternativa de projeto Na tentativa de melhorar o comportamento em regime é possível adicionar um integrador com ganho ajustável.
No simulink fica: Para o ganho do integrador em 0.035, observa-se a posição angular:
- Representação canônica controlável Dada a função de transferência do motor é possível a seguinte representação: Transfer function:
8.878e-012 s^3 + 1.291e-005 s^2 + 0.0007648 s Colocando no formato padrão (s3 multiplicado por 1):
[num,den]= tfdata(P_motor, 'v') num = 0 0 0 0. den = 1.0e-003 * 0.0000 0.0129 0.7648 0 num/den(1) ans = 1.0e+009 * 0 0 0 3.
den/den(1) ans = 1.0e+007 * 0.0000 0.1455 8.6144 0 Assim: A = [0 1 0; 0 0 1; - den(4)/den(1) - den(3)/den(1) - den(2)/den(1)] A = 1.0e+007 * 0 0.000000100000000 0 0 0 0.0 00000100000000 0 - 8.614352169946272 - 0.145454654105890>> B = [0; 0; 1]; C = [(num(4)/den(1)) 0 0] C = 1.0e+009 * 3.086245930998750 0 0 Repare que: [num,den] = ss2tf(A,B,C,0);step(feedback(tf(num,den),1)) Gera a mesma respota em malha fechada do sistema original: Ou seja, a representação canônica controlável gera novas matrizes A,B,C e D, com uma nova proposta de variáveis de estado. As variáveis de estado não são mais as variáveis de estado do sistema original. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0. 0
1
Step Response Time (seconds) Amplitude
