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Contrução dos numeros naturais inteiros...
Tipologia: Notas de aula
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Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática
Autora: Gabriela Maria Machado
Orientador: Luiz Hartmann
Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso
Curso: Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Sadao Massago Vera Lúcia Carbone
São Carlos, 13 de Março de 2014.
À vida e ao amor.
Agradeço,
À minha família (minha mãe Maria José, meu pai Geraldo, meus irmãos, Cristina, Ricardo e Arenildo e meu a lhado Arthur), pela devoção e suporte desde sempre.
À XDani, por toda dedicação, companheirismo, paciência e estímulo que tornaram possível esta realização.
Aos meus amados amigos, pela partilha de toda e qualquer emoção.
À todos os professores, pela contribuição à minha formação.
Em especial, ao Professor Hartmann, pela con ança, oportunidade de aprendizado e exce- lente forma de ndar meu curso e à Professora Liane, que muito contribuiu e ajudou durante todo o trabalho.
A noção de número e suas generalizações estão intimamente ligadas à história da humani- dade. E a própria vida está impregnada de matemática. Grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus lhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.
O primeiro estudo esquemático dos números como abstração é comumente atribuído aos lósofos gregos Pitágoras e Arquimedes. Entretanto, estudos independentes também ocorreram por volta do mesmo período na Índia, China, e Mesoamérica.
Os números naturais e as frações têm sua origem das atividades de contagem e medida, o que talvez tenha levado os membros da escola pitagórica a postularem que na natureza tudo é número devido acreditarem que tudo podia ser contado, logo atribuído um número, e que a qualquer medida também se poderia atribuir um número ou uma razão entre números.
Iniciamos o trabalho fazendo uma abordagem ao conceito de relação de equivalência, dado que foi bastante usado no decorrer dos estudos. Para isto, introduzimos os conceitos de partes de um conjunto, de nição de par ordenado, produto cartesiano, de nição de operação, assim como conceito de relação.
Fizemos a formalização no conjunto dos naturais através dos Axiomas de Peano, conside- rando o zero como um número natural. Assumimos que existe um conjunto satisfazendo tais axiomas e fomalizamos todas as propriedade, demonstrando-as através dos Axiomas. Após isto, denotamos este conjunto por N e chamamos de Naturais. O que zemos, foi formalizar e demonstrar rigorosamente o que já sabíamos intuitivamente desde o Ensino Básico, seguindo a construção consistente que foi desenvolvida no século XIX por Giuseppe Peano.
Richard Dedekind (1831-1916) estabeleceu uma relação de equivalência entre pares ordena- dos de números naturais e fez referência da subtração como inversa da adição: a − b = c − d, logo a + d = b + d. Dedekind demonstrou que esta relação é de equivalência, e que o conjunto das classes de equivalência é o conjunto dos números inteiros. Na construção dos inteiros que zemos neste trabalho, utilizamos esta construção, de forma que, de nimos um inteiro como uma classe de equivalência e o conjunto dos números inteiros como o conjunto dessas classes de equivalência. A construção dos racionais é feita a partir do mesmo raciocínio que os inteiros, utilizando o
No decorrer deste trabalho lidaremos diretamente com o conceito de relação de equivalência, por isso faremos uma abordagem tratando desta questão. Trabalharemos com conceitos prévios e com a noção intuitiva de conjuntos durante todo o trabalho e, em particular neste capítulo, trabalharemos intuitivamente com os conjunto numéricos e as propriedades básicas de suas operações, lembrando que estudaremos o conceito rigoroso desses conjuntos numéricos nos capítulos seguintes. Utilizaremos, usualmente, N, Z, Q, R e C para representar os conjuntos dos números natu- rais, inteiros, racionais, reais e complexos, respectivamente.
De nição 1.1.1. Dado um conjunto A qualquer, o conjunto das partes de A, ou conjunto potência de A, denotado por P(A), é o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
Seguem alguns exemplos:
Exemplo 1.1.2.
De nição 1.1.3. Seja A um conjunto não vazio com a, b ∈ A. De nimos o par ordenado (a, b) como sendo o conjunto {{a}, {a, b}}. Observação: (a, b) ⊂ P(A).
Desde o Ensino Fundamental consideramos um par ordenado como um par de objetos onde a ordem tem importância. A de nição acima formaliza matematicamente esta ideia intuitiva. O teorema seguinte mostra que um par ordenado é exatamente o que idealizamos intuitivamente.
Teorema 1.1.4. Seja A um conjunto onde a, b, c, d ∈ A. Temos que:
De nição 1.1.9. Dado um conjunto A não vazio, uma operação em A é uma função ∗ : A × A −→ A. A imagem ∗((x, y)) de um par ordenado (x, y) pela função ∗ é usualmente denotada por x ∗ y.
Levando em conta o nosso conceito intuitivo de conjuntos numéricos e de suas operações aritméticas, podemos ver que, das quatro operações, apenas a soma e o produto são de fato operações, no sentido da de nição acima, no conjunto dos números naturais.
De nição 1.1.10. Uma relação binária R num conjunto A é qualquer subconjunto do produto cartesiano A × A, isto é, R ⊂ A × A.
Exemplo 1.1.11. Se A = {a, b, c}, então R = {(a, a), (b, a), (c, b), (c, a)} é uma relação binária, dado que é um subconjunto de
A × A = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}. No contexto deste trabalho, diremos que a está relacionado com b (escreve-se aRb) se R é uma relação binária em A e se (a, b) ∈ R, isto é, (a, b) ∈ R ⇔ aRb. Uma relação binária será chamada apenas de relação. No exemplo 1.1.11, temos bRa, mas não aRb.
De nição 1.1.12. Seja dado um conjunto A e uma relação R sobre ele. Diz-se que R é uma relação de equivalência se possuir as seguintes propriedades:
Exemplo 1.1.13. Seja A = { 1 , 2 , 3 } R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} é uma relação de equivalêcia, pois:
Exemplo 1.1.14. Seja a, b ∈ Z com a 6 = 0. Diremos que a divide b se existir c ∈ Z, tal que b = ac. Escrevemos a|b para simbolizar que a divide b. Esta relação de divisibilidade em Z não é uma relação de equivalência, pois, apesar de ser re exiva e transitiva, ela não é simétrica:
Exemplo 1.1.15. Seja A um conjunto. Temos que A × A = {(x, y) | x, y ∈ A} é uma relação de equivalência em A. De fato,
Exemplo 1.1.16. R = {(x, x) | x ∈ A} é uma relação de equivalência em A. Esta relação se chama igualdade em A (ou identidade de A), e se denota por “ = ”. Logo (x, x) ∈ R para todo x ∈ A, que escrevemos usalmente como x = x, ∀ x ∈ A. Mostremos que esta relação, de fato, é de equivalência em A.
Exemplo 1.1.17. Qualquer relação de equivalência em A está compreendida entre os dois exemplos anteriores, ou seja, “ = ” ⊂ R ⊂ A × A. De fato, seja A um conjunto e R uma relação de equivalência qualquer sobre A. Obviamente R ⊂ A × A, por de nição de relação. Temos que “ = ” = {(x, x) | x ∈ A}. Tomemenos (x, x) ∈ “ = ” para um x pertencente a A qualquer. Claramente, (x, x) ∈ R (pela propriedade re exiva, que nos garante que, para todo x em A, xRx). Logo, “ = ” ⊂ R. Dessa forma “ = ” ⊂ R ⊂ A × A, como queríamos.
De nição 1.1.18. Sejam R uma relação de equivalência em A e a ∈ A um elemento xado arbitrariamente. O conjunto a = {x ∈ A | xRa} chama-se classe de equivalência de a pela relação R. Ou seja, a é o conjunto constituído dos elementos de A que se relacionam com a.
Exemplo 1.1.19. As classes de equivalência dadas pela relação R do exemplo 1.1.13 são 1 = { 1 , 2 }, 2 = { 2 , 1 } e 3 = { 3 }
Observe, neste exemplo, que 1 = 2, isso se deve ao fato de que 1 R 2. O seguinte teorema mostra isso de forma generalizada.
Usando esta relação de equivalência, temos os seguintes exemplos:
1 = {... , − 3 , − 1 , 1 , 3 ,.. .} = 3 = 7 = − 5
2 = {... , − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 ,.. .} = 0 = 4 = − 2
Sabemos ainda que todo número inteiro é classi cado como ímpar ou par, onde o par pode ser escrito da forma a = 2n e o ímpar da forma a = 2n + 1. Sendo assim, quando dividimos um número par por 2 , obetemos a = 2n+0, ou seja, o resto da divisão é 0. Já quando dividimos um número ímpar por 2 , obtemos a = 2n + 1, ou seja, resto 1. Dessa forma, a divisão de qualquer inteiro por 2 nos fornece restos 1 ou 0. Portanto, só existem duas classes de equivalência distintas para esta relação de equivalência. Mais precisamente, tem-se a = 0 para a par e a = 1 para a ímpar.
De nição 1.1.22. Seja R uma relação de equivalência num conjunto A. O conjunto constituído das classes de equivalência em A pela relação R é denotado por A/R e denominado conjunto quociente de A por R. Assim, A/R = {a | a ∈ A}
Veja os exemplos que seguem:
Exemplo 1.1.23.
A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}.
Dessa forma, temos as classes de equivalência 1 = {x ∈ A | xR 1 } = { 1 , 2 , 3 }, 2 = {y ∈ A | yR 2 } = { 1 , 2 , 3 } e 3 = {z ∈ A | zR 3 } = { 1 , 2 , 3 }, assim 1 = 2 = 3. Como A/A×A = {a | a ∈ A}, então A/A×A = { 1 , 2 , 3 }, ou apenas A/A×A = { 1 } = { 2 } = { 3 }
Exemplo 1.1.24. Seja ∼ uma relação em Z, de nida como segue: x ∼ y quando os restos das divisões de x e y por 3 forem iguais. Esta é uma relação de equivalência. Com efeito,
O resto da divisão de um número x ∈ Z por 3 , é sempre 0 , 1 , ou 2 , portanto, as clas- ses de equivalência são 0 = {... , − 6 , − 3 , 0 , 3 , 6 ,.. .}, 1 = {... , − 7 , − 4 , − 1 , 1 , 4 , 7 ,.. .} e 2 = {... , − 8 , − 5 , − 2 , 2 , 5 , 8 ,.. .}. Sendo assim, temos que o conjunto quociente Z/ ∼ = { 0 , 1 , 2 }.
Exemplo 1.1.25. Seja A o conjunto de todas as pessoas e R a relação em A dada por: xRy quando x for mãe de y. Esta relação não é de equivalência. De fato,
Exemplo 1.1.26. Seja A o conjunto de todas as pessoas e R a relação em A dada por: xRy quando x for irmão de y, ou quando x e y forem a mesma pessoa (diremos aqui que x e y são irmãos quando são lhos biológicos dos mesmos pais). Esta é uma relação de equivalência, pois:
Observe que, se a relação fosse de nida apenas como “xRy quando x for irmão de y”, não teríamos uma relação de equivalência pois não valeria a re exiva (xRx).
Exemplo 1.1.27. Seja A um conjunto e A = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3... ∪ An uma partição nita de A, isto é, uma decomposição de A como união nita de uma família de subconjuntos de A que são dois a dois disjuntos e não vazios. Para x e y ∈ A, de nimos a seguinte relação: xRy quando x e y pertencem ao mesmo elemento da partição, isto é, xRy ⇔ existe i ∈ { 1 ,... , n} tal que x, y ∈ Ai. Esta é uma relação de equivalência. De fato,
