Em aula apresentamos alguns conceitos simples, que vocˆes j´a conhecem de cursos anteriores, mas de uma forma que talvez vocˆe n˜ao tenha visto antes. Nesta nota complementamos o livro, explicando a conven¸c˜ao de Einstein, os tensores de Levi-Civita e Kronecker, e algumas de suas propriedades elementares. Como vimos, o produto escalar de dois vetores ~a e ~b ´e dado por

~a · ~b ≡ a 1 b 1 + a 2 + b 2 + a 3 b 3 =

∑^3

i=

aibi = ab cos θ (1)

onde a e b s˜ao os comprimentos de ~a e ~b, e θ ´e o ˆangulo entre esses dois vetores. Aqui podemos introduzir o tensor de Kronecker δij^ , definido da seguinte maneira

δij^ =

{ 1 se i = j 0 se i 6 = j

Depois explicaremos o que quer dizer que ´e um tensor, no momento n˜ao se preocupe com isso. Assim a soma que define o produto escalar pode ser reescrita assim

∑^3 i=

aibi =

∑ i,j

δij^ aibj (3)

onde est´a impl´ıcito que a soma nos ´ındices i e j vai de 1 a 3. A partir da maneira que definimos o delta de Kronecker, fica claro que sempre i 6 = j o termo n˜ao contribui, restando apenas os termos i = j, o que fornece a express˜ao do produto escalar. Vamos introduzir a conven¸c˜ao de Einstein da soma, segundo a qual sempre estar´a impl´ıcita uma soma sempre que houver ´ındices repetidos. Neste caso, temos

∑^3

i=

aibi =

∑

i,j

δij^ aibj = δij^ aibj (4)

Parece que complicamos as coisas, em vez de simplificar. Mas vocˆe ver´a no decorrer do curso que o tensor de Kronecker ´e muito ´util. Ao introduzir o produto vetorial de dois vetores, fomos levados naturalmente a conisderar um objeto de trˆes ´ındices, ijk, que possui as seguites propriedades: ^123 = 1, e ijk^ = −jik^ = −ikj^. Assim, utilizando a conven¸c˜ao de Einstein, temos para o produto vetorial

(~a × ~b)i^ = ijkaj bk (5)

Calculemos o comprimento deste vetor. Sabemos que |~c|^2 = ~c · ~c, ou seja

~c · ~c = δij^ cj cj = ijkaj bkimnambn (6)

A express˜ao parece complicada, mas podemos simplificar ijkimn. Em primeiro lugar, note que para um dado valor de i, os ´ındices j e k devem ser diferentes dele. Por exemplo, se i = 1, ent˜ao j e k devem ser 2 e 3, ou 3 e 2. O mesmo vale para o par m, n, o que implica em {j, k} ser o igual a {m, n}. Qualquer outro caso implica imediatamente em ijkimn^ = 0. Suponhamos que (j, k) = (m, n) = (2, 3). Assim, temos

i^23 i^23 = ^123 ^123 = 1.1 = 1 (7)

No caso em que (j, k) = (n, m) = (2, 3), temos

i^23 i^32 = ^123 ^132 = 1.(−1) = − 1 (8)

ou seja, se os pares est˜ao na mesma ordem, o resultado ´e 1, caso contr´ario ´e −1. Podemos combinar essas informa¸c˜oes de uma forma compacta, usando o delta de Kronecker: considere T jknm^ = δjmδkn^ − δjnδkm. Note que se o par {j, k} for diferente do par {m, n}, ent˜ao T jknm^ = 0. Verifique agora que as duas propriedades que apresentamos antes s˜ao satisfeitas por T jknm. Isso significa que

ijkimn^ = δjmδkn^ − δjnδkm^ (9)

Essa f´ormula ´e muito ´util, e vale a pena vocˆe se esfor¸car para entendˆe-la. Vamos aplic´a-la no c´alculo do comprimento do vetor ~c. Temos

~c · ~c = δij^ cj cj = ijkaj bkimnambn = (δjmδkn^ − δjnδkm)aj bkambn = |~a|^2 |~b|^2 − (~a · ~b)^2 = a^2 b^2 (1 − cos^2 θ) = a^2 b^2 sin^2 θ (10)

Antes de terminarmos, devemos explicar por que chamamos esses objetos de tensores. Como vocˆe pode ter visto em algum outro curso (m´etodos matem´aticos ou relatividade), um tensor ´e um objeto matem´atico, cujas componentes se transformam de uma certa maneira. E f´´ acil mostrar que, de fato, os tensores de Levi-Civita e Kronecker se transformam como tensores sob o grupo de rota¸c˜oes. Mas isso n˜ao ´e algo importante neste ponto do curso, e se n˜ao faz muit o sentido agora, n˜ao se preocupe.