Curso de Álgebra Linear, Trabalhos de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Curso de Álgebra Linear

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Cópias são autorizadas e b em vindas: divulgue nosso trabalho!

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Este trabalho muito provavelmente será li en iado sob uma Li ença Atribuição-Uso Não-Comer ial-Compartilhamento p ela mesma Li ença 2.5 Brasil. Para ver uma ópia desta li ença, visite http:// reative ommons.org/ li e nses /by- n -s a/2. 5/br / ou envie uma arta para Creative Commons, 171 Se ond Street, Suite 300, San Fran is o, California 94105, USA.

Fi ha Catalográ a Cabral, Mar o A. P. e Goldfeld, Paulo Curso de Álgebra Linear / Mar o Cabral e Paulo Goldfeld - Rio de Janeiro: Instituto de Matemáti a, 2008.

1. Álgebra Linear I. Título CDD: 512. 516.

ISBN XX-XXXX-XXX-X

Sobre os Autores

Mar o Cabral fez o Ba harelado em Informáti a na UFRJ, o Mestrado em Matemáti a Apli- ada na UFRJ e o doutorado em Matemáti a na Indiana University (Blo ogminton, EUA). É professor no Instituto de Matemáti a na UFRJ. Sua área de interesse é equaçõ es diferen iais par iais (EDP).

Paulo Goldfeld fez Ba harelado em Enhenharia Me âni a na UFRJ, o Mestrado em Mate- máti a Apli ada na UFRJ e o doutorado em Matemáti a no Courant Institute (Nova Iorque, EUA). É professor no Instituto de Matemáti a na UFRJ. Sua área de interesse é méto dos numéri os em equaçõ es diferen iais par iais (EDP).

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Agrade imentos

Primeiro aos programas (e programadores) que p ermitiram a pro dução deste material. Este pro duto é herdeiro da ultura GPL (Gnu Publi Li ense), que p ermite o reuso de ó digo fonte. Agrade emos em primeiro lugar a Douglas Knuth p elo TEX (e Leslie Lamp ort p elo LATEX), software que p ermite que este material seja tão b onito; Linus Torvalds (e milhares de outras p essoas) p elo sistema op era ional Linux, Bram Mo olenaar p elo vim (editor de texto), Till Tantau p elo Beamer (slides do urso) e p elo TikZ e PGF (guras do texto), Ri hard Stallman (resp onsável p elo projeto GNU) e milhares de p essoas p or dezenas de softwares utilizados: tar ( ompa tação de arquivos), make (geren iador de programa), grep, find, ghostview, xpdf,... Agrade emos tamb ém a Jim Heeron, ujo livro Linear Algebra, em

li ença. ajudou a inspirar este trabalho. Ajudaram na preparação deste trabalho: Beatriz Malajovi h ( om gabarito dos exer í ios), Prof. Felip e A ker da UFRJ (sugestão de morsmo). Esp eramos em breve a res entar seu nome aqui.

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vi AGRADECIMENTOS

viii PREFÁCIO

Como foi es olhido o material?

Determinamos os tópi os tomando p or base o urso usualmente ministrado na UFRJ. Além disso o omp onente estéti o foi fundamental: os alunos devem p er eb er a b eleza da Mate- máti a. Algumas es olhas imp ortantes foram feitas:

• Capítulo ini ial apresenta onteúdo prin ipal do urso sem grande formalismo: vetores e op eraçõ es no Rn, espaços gerados (retas e planos), dep endên ia e indep endên ia li- near, bases e o ordenadas. Estes temas são retomados no apítulo de Espaços Vetoriais, mas a reditamos que é imp ortante uma exp osição, logo no iní io, destes on eitos.
• A solução de sistemas lineares é feita através da eliminação de Gauss. A regra de Cramer é uma seção op ional do apítulo de Determinantes.
• Espaços vetoriais de p olinmios e funçõ es não são meros exemplos, são entrais para a formação de engenheiros, matemáti os e físi os. Algumas apli açõ es imp ortantes são: equaçõ es diferen iais, aproximação de funçõ es p or p olinmios e méto dos numé- ri os omo elementos nitos. Intro duzimos a visualização deste espaço apresentando, além das setinhas, outra representação geométri a para vetores do Rn. Apresentamos morsmo de imagens omo exemplo de reta em espaço vetorial de funçõ es.
• Matriz apare e, ini ialmente, somente omo forma onveniente de resolver sistemas. Mais tarde, ap ós apresentar transformaçõ es lineares (TLs) e op eraçõ es de soma e om- p osição de TLs, apresentamos op eraçõ es entre matrizes. Desta forma, ao invés de apresentar, p or exemplo, o pro duto de matrizes de forma arti ial, motivamos sua de- nição. Fi a laro que o pro duto de matrizes não é omutativa p ois a omp osição de função não omutativa. A matriz inversa é al ulada p or es alonamento, e sua fórmula explí ita é uma seção op ional do apítulo de Determinantes.
• Determinante é apresentado desde o iní io rela ionado om área (volume) om sinal, para dep ois ser apresentado omo função multilinear (alternada). Optamos p or fo ar no algoritmo de ál ulo utilizando op eraçõ es elementares p or ser mais e iente e ligada diretamente aos on eitos. Apresentamos a onexão om mudança de variáveis na integração múltipla.
• Enfatizamos ao longo do texto ( apítulos de Sistemas Lineares, Matrizes, Determinante, Autovalores e Autovetores) a visão mo derna de uma matriz p or blo os, fundamental para a omputação ientí a. Apresentamos duas interpretaçõ es (e onseqüên ias) do pro duto matriz-vetor e três interpretaçõ es do pro duto matriz-matriz.
• No apítulo de pro duto interno, fo amos em projeçõ es e no méto do de mínimos quadrados. Apresentamos projeção ortogonal de funçõ es omo forma de aproximá-las, preparando o aluno para méto dos numéri os em engenharia.
• O es alonamento é o algoritmo prin ipal do urso, p ois através dele: resolvemos sistema, determinamos se vetores são linearmente dep endentes, determinamos o or- denadas de vetores, mudamos de base, invertemos matriz, al ulamos determinante, en ontramos autovetores, al ulamos solução de mínimos quadrados, al ulamos proje- ção ortogonal. Assim estão em seçõ es op ionais as fórmulas para: resolver sistema (regra de Cramer), al ular inversa, al ular determinante (Leibiniz ou Lapla e), ortogonalizar base (Gram- S hmidt).

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Alguns números deste livro: são er a de 270 exemplos, 60 observaçõ es, 100 deniçõ es, 20 teoremas, 15 orolários, 50 lemas e 420 exer í ios, sendo que 80 deles de xação de leitura do texto (para serem feitos mentalmente) e 120 de problemas que esp eramos que to do o aluno resolva.

Sumário

Sobre os Autores iii

Agrade imentos v

• 1 Intro dução à Álgebra Linear Prefá io vii
  • 1.1 Vetores e Op eraçõ es Bási as
    • 1.1.1 Vetores do Rn
    • 1.1.2 Op eraçõ es em Rn
  • 1.2 Espaços Gerados
    • 1.2.1 Deniçõ es
    • 1.2.2 Espaço Gerado p or 1 Vetor
    • 1.2.3 Espaço Gerado p or 2 Vetores
    • 1.2.4 Espaço Gerado p or 3 ou Mais Vetores
  • 1.3 Bases
  • 1.4 Exer í ios de Intro dução à Álgebra Linear
    • 1.4.1 Exer í ios de Fixação
    • 1.4.2 Problemas
    • 1.4.3 Extras
• 2 Sistemas Lineares
  • 2.1 Apli açõ es de Sistemas Lineares
  • 2.2 Interpretação Geométri a
    • 2.2.1 Na Reta (R)
    • 2.2.2 No Plano (R^2 )
  • 2.3 Op eraçõ es Elementares
  • 2.4 Es alonamento
  • 2.5 Resolvendo Sistema ap ós Es alonamento
  • 2.6 Pro duto Matriz-Vetor e Sistemas Lineares
  • 2.7 Casos Esp e iais
    • 2.7.1 Sistemas Homogêneos, Solução Geral e Parti ular
    • 2.7.2 Mesma Matriz de Co e ientes
  • 2.8 Exer í ios de Sistemas Lineares
    • 2.8.1 Exer í ios de Fixação
    • 2.8.2 Problemas
    • 2.8.3 Desaos
    • 2.8.4 Extras
• 3 Espaços Vetoriais xii SUMÁRIO
  • 3.1 Denição e Exemplos
  • 3.2 Combinação Linear e Espaço Gerado
  • 3.3 Dep endên ia e Indep endên ia Linear
  • 3.4 Base e Co ordenadas
  • 3.5 Dimensão
  • 3.6 Exer í ios de Espaços Vetoriais
    • 3.6.1 Exer í ios de Fixação
    • 3.6.2 Problemas
    • 3.6.3 Desaos
    • 3.6.4 Extras
• 4 Transformaçõ es Lineares
  • 4.1 Fundamentos
  • 4.2 Nú leo e Imagem
  • 4.3 Comp osição e Inversa
  • 4.4 Exer í ios de Transformaçõ es Lineares
    • 4.4.1 Exer í ios de Fixação
    • 4.4.2 Problemas
    • 4.4.3 Desaos
    • 4.4.4 Extras
• 5 Matrizes
  • 5.1 Deniçõ es e Op eraçõ es Bási as
  • 5.2 Nú leo e Imagem
  • 5.3 Pro duto e Inversa
  • 5.4 Matriz em Blo os
  • 5.5 Transformaçõ es Geométri as
  • 5.6 Mudança de Base
  • 5.7 Exer í ios de Matrizes
    • 5.7.1 Exer í ios de Fixação
    • 5.7.2 Problemas
    • 5.7.3 Desaos
    • 5.7.4 Extras
• 6 Determinante
  • 6.1 Motivação Geométri a
    • 6.1.1 R
    • 6.1.2 R
  • 6.2 Denição e Propriedades Bási as
  • 6.3 Como Cal ular
  • 6.4 Mais Propriedades
  • 6.5 Apli açõ es
    • 6.5.1 Transformaçõ es Lineares
    • 6.5.2 Mudança de Área
  • 6.6 ⋆Sinal do Determinante em R^2 e R
  • 6.7 ⋆Fórmula de Lapla e
  • 6.8 ⋆Regra de Cramer e Matriz Inversa
  • 6.9 Exer í ios de Determinantes
    • 6.9.1 Exer í ios de Fixação SUMÁRIO xiii
    • 6.9.2 Problemas
    • 6.9.3 Desaos
    • 6.9.4 Extras
• 7 Autovalores, Autovetores e Diagonalização
  • 7.1 Autovalores e Autovetores
  • 7.2 Diagonalização
  • 7.3 Exemplos Geométri os em 2D e 3D
  • 7.4 Apli açõ es
  • 7.5 ⋆Multipli idade Algébri a e Geométri a
  • 7.6 Exer í ios de Autovalores, Autovetores e Diagonalização
    • 7.6.1 Exer í ios de Fixação
    • 7.6.2 Problemas
    • 7.6.3 Desaos
    • 7.6.4 Extras
• 8 Pro duto Interno
  • 8.1 Pro duto Interno em Rn
  • 8.2 Pro duto Interno em Espaços Vetoriais
  • 8.3 Ortogonalidade
    • 8.3.1 Deniçõ es
    • 8.3.2 Projeçõ es Ortogonais
  • 8.4 Mínimos Quadrados
  • 8.5 ⋆Cau hy-S hwarz e Ângulo
  • 8.6 ⋆Pro esso de Ortogonalização de Gram-S hmidt
  • 8.7 Pro duto Interno
    • 8.7.1 Exer í ios de Fixação
    • 8.7.2 Problemas
    • 8.7.3 Desaos
    • 8.7.4 Extras
• A Notação
  • A.1 Bási a
  • A.2 Espaços
  • A.3 Bases e Co ordenadas
  • A.4 Matrizes
  • A.5 Pro duto Interno e Norma
• B Resp ostas dos Exer í ios
  • B.1 Intro dução à Álgebra Linear
    • B.1.1 Exer í ios de Fixação
    • B.1.2 Problemas
    • B.1.3 Extras
  • B.2 Sistemas Lineares
    • B.2.1 Exer í ios de Fixação
    • B.2.2 Problemas
    • B.2.3 Desaos
    • B.2.4 Extras
  • B.3 Espaços Vetoriais xiv SUMÁRIO
    • B.3.1 Exer í ios de Fixação
    • B.3.2 Problemas
    • B.3.3 Desaos
    • B.3.4 Extras
  • B.4 Transformaçõ es Lineares
    • B.4.1 Exer í ios de Fixação
    • B.4.2 Problemas
    • B.4.3 Desaos
    • B.4.4 Extras
  • B.5 Matrizes
    • B.5.1 Exer í ios de Fixação
    • B.5.2 Problemas
    • B.5.3 Desaos
    • B.5.4 Extras
  • B.6 Determinantes
    • B.6.1 Exer í ios de Fixação
    • B.6.2 Problemas
    • B.6.3 Desaos
    • B.6.4 Extras
  • B.7 Autovalores, Autovetores e Diagonalização
    • B.7.1 Exer í ios de Fixação
    • B.7.2 Problemas
    • B.7.3 Desaos
    • B.7.4 Extras
  • B.8 Pro duto Interno
    • B.8.1 Exer í ios de Fixação
    • B.8.2 Problemas
    • B.8.3 Desaos
    • B.8.4 Extras
• Referên ias Bibliográ as
• Índi e Remissivo

Capítulo 1

Intro dução à Álgebra Linear

Este apítulo apresenta, de forma rápida e direta, on eitos entrais da Álgebra Linear que serão retomados em apítulos seguintes. Cone tamos estes on eitos om assuntos do ensino médio: geometria analíti a bási a no plano e espaço, matrizes e solução de sistemas lineares. O aluno deve retornar a este apítulo ao longo do urso até dominá-lo ompletamente. Emb ora não seja esp erado que o aluno aprenda tudo deste apítulo em uma semana de estudo, é útil exp -lo imediatamente à to dos estes on eitos. São objetivos deste apítulo intro duzir:

(a) vetores e op eraçõ es bási as no Rn: soma e multipli ação p or es alar (pro duto es alar- vetor);

(b) ombinação linear, espaço gerado, dep endên ia e indep endên ia linear;

( ) espaços gerados p or 1, 2, 3 ou mais vetores, asso iando-os om p ontos, retas, planos e generalizaçõ es;

(d) base e dimensão; outras bases e a o ordenadas de um vetor numa base;

Até o nal do apítulo apresentaremos os seguintes termos té ni os fundamentais da Álgebra Linear:

• vetores e es alares do Rn;
• espaço vetorial;
• ombinação linear;
• espaço gerado (span); (sub)espaço am;
• dep endên ia e indep endên ia linear;
• dimensão, base, base anni a;
• o ordenadas de um vetor numa base;

Estes termos serão reapli ados (no Capítulo Espaço Vetorial) em ontextos onde os vetores p o derão ser p olinmios ou, de forma mais geral funçõ es, matrizes, ou elementos abstratos. O aluno p er eb erá, ao longo deste apítulo, que, emb ora sistemas lineares apareçam diversas vezes na hora de apli ar os on eitos, o urso de Álgebra Linear não é ex lusivamente

(^0) Versão 11.jul.2008 16h

1.1. VETORES E OPERAÇÕES BÁSICAS 3

Note que um vetor é uma lista ordenada de números e não um onjunto om números, onde a ordem não imp orta. Portanto os vetores (− 1 , 2) e (− 2 , 1) são distintos; ou ainda, são distintos entre si os vetores (1, 2 , 3), (2, 3 , 1), (3, 1 , 2),... Observação 2 Porque Rn^ om n > 3? Entes geométri os usuais omo quadrados e ír ulos são generalizados para dimensõ es maiores. Assim uma esfera, generalização de um ír ulo, é denido omo o lugar geométri o de p ontos (x, y, z) ∈ R^3 tais que x^2 + y^2 + z^2 = 1. Dene-se então a hip eresfera o sub onjunto do R^4 dos p ontos (x, y, z, w) ∈ R^4 tais que x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1. De forma análoga, o ub o generaliza o quadrado e p o de-se denir o hip er ub o em R^4. Mais sobre isto p o de ser visto (entre inúmeros outros livros) em O que é Matemáti a?; R. Courant., H. Robbins; Editora Ciên ia Mo derna. Emb ora nossa (humana) p er ep ção esteja restrita a três dimensõ es, a teoria geral da relatividade de Einstein admite 4 dimensõ es para expli ar os fenmenos físi os. Na Físi a mo derna, segundo últimos b oatos, onsidera-se 11 dimensõ es para expli ar os fenmenos físi os. De to do mo do a imp ortân ia de dimensõ es maiores (1000 ou mesmo 10 mil) está nas simulaçõ es omputa ionais de diversos mo delos. Para se entender as forças atuantes na estrutura de um prédio ou uma p eça me âni a e se fazer um b om projeto, a p eça é dividida p elo omputador em blo quinhos. Cada blo quinho é uma variável de um sistema linear. Quanto maior o número de blo quinhos mais pre isa será a simulação. Um outro exemplo é uma tomograa, onde ada blo quinho esta asso iado a uma variável que determina a densidade do te ido, que será transformada numa es ala de inza para dep ois ser impressa e interpretada p or um médi o. Esta é uma das reais ne essidade do estudo de Álgebra Linear em engenharia, o entendimento e resolução de sistemas om milhares ou dezenas de milhares de variáveis.

1.1.2 Op eraçõ es em Rn

O espaço vetorial Rn^ p ossui uma op eração b em denida hamada de soma de vetores, uja entrada são dois vetores e a saída é um outro vetor.

Denição 2 (Soma) Dados dois vetores u = (u 1 , u 2 ,... , un) e v = (v 1 , v 2 ,... , vn) em Rn, denimos o vetor soma de u e v, denotado p or u + v, p or

u + v = (u 1 + v 1 , u 2 + v 2 ,... , un + vn).

Assim para somar dois vetores basta somar as entradas orresp ondentes de ada vetor.

Exemplo 2 A soma dos vetores do R^4 (1, − 1 , 1 / 4 , − 2 /3) + (− 2 , 2 , 3 / 4 , 5 /3) = (1 − 2 , −1 + 2 , 1 /4 + 3/ 4 , − 2 /3 + 5/3) = (− 1 , 1 , 1 , 1).

Observação 3 Note que o sinal  + (mais) em  u + v e  (u 1 + v 1 ,... , un + vn) p ossui signi ado distinto em ada expressão: soma de vetores, num aso, e de soma de números reais (es alares) no outro.

Denição 3 (origem ou ou vetor nulo) Denimos omo origem ou vetor nulo, deno- tado p or 0 o vetor 0 = (0,... , 0)(to das as entradas são nulas). Note que este vetor é o elemento neutro da soma de vetores p ois v + 0 = 0 + v = v para qualquer v ∈ Rn.

4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ O À ÁLGEBRA LINEAR

O espaço vetorial Rn^ p ossui uma outra op eração b em denida hamada de multipli ação p or es alar ou pro duto es alar-vetor, ujas entradas são um vetor e um es alar (um número) e a saída é um outro vetor.

Denição 4 (multipli ação p or es alar ou pro duto es alar-vetor) Dados o vetor u = (u 1 , u 2 ,... , un) e o es alar k, denimos o vetor multipli ação de k p or u, denotado p or ku, p or ku = (ku 1 , ku 2 ,... , kun).

Assim para multipli ar um vetor p or um es alar k basta multipli ar ada entrada do vetor p elo es alar k.

Exemplo 3 Se u = (− 1 , 3 , 1 , − 2 , 3 /2), então 2 u = 2(− 1 , 3 , 1 , − 2 , 3 /2)= (− 2 , 6 , 2 , − 4 , 3). Considere w = (− 4 , 6 , 1 , −3). Então − 1 / 2 w = − 1 /2(− 4 , 6 , 1 , −3) = (2, − 3 , − 1 / 2 , 3 /2).

Observação 4 Na visão geométri a de vetores, a soma é denida p ela regra do parale- logramo. Fazer isto em dimensão maior que três não é intuitivo. Em ontraste, a denição a ima, feita de forma algébri a, não dep ende de visualização geométri a e é muito simples. Esta mesma observação vale para a multipli ação de um vetor p or um es alar. Ap esar disso é útil interpretar geometri amente os vetores e as op eraçõ es no plano e espaço.

Os vetores e op eraçõ es p o dem ser representados geometri amente para vetores em Rn^ om n ≤ 3. Isto é imp ortante em apli açõ es (Físi a p or exemplo) e para desenvolver a intuição e visualização interna para vetores em espaços de dimensõ es maiores. Para isto identi amos, da maneira usual, uma reta om R, um plano om R^2 e o espaço om R^3 utilizando o sistema de o ordenadas artesiana, om eixos ortogonais entre si^1. Representamos os vetores omo setinhas (daqui p or diante sem aspas e utilizado omo sinnimo de segmentos orientados) nas guras. Mostramos na Figura 1.1 os vetores (3, 2) ∈ R^2 e (1, 3 , 2) ∈ R^3.

(3, 2)

3

2

3

(^2) (1, 3 , 2)

1

Figura 1.1: Vetores no Plano e no Espaço

Duas setinhas u e v (p o dem ter p onto ini ial distinto) representam o mesmo vetor (te ni- amente são equip olentes, isto é, segmentos orientados equivalentes) se quando deslo armos paralelamente u e v para que os p ontos ini iais oin idam, o p onto nal (p onta da setinha) de u e v tamb ém oin ida. Por exemplo, to das as setinhas representadas na Figura 1. representam o mesmo vetor (3, 2) ∈ R^2. A soma de dois vetores no plano e no espaço p o de ser feita, geometri amente, através da regra do triângulo ou regra do paralelogramo. Considere a Figura 1.3, no lado esquerdo, onde dois vetores são representados om suas omp onentes no eixo-x e y. Pela regra do triângulo representamos o primeiro vetor om p onto ini ial na origem e o segundo om p onto

(^1) note que emb ora sejam úteis para a intuição, nada do que fazemos dep ende desta interpretação geométri a