curso de básico TeoriaN, Exercícios de Matemática

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M´odulo de Potencia¸c˜ao e D´ızimas Peri´odicas

Potencia¸c˜ao

Oitavo Ano

M´odulo de Potencia¸c˜ao e D´ızimas Peri´odicas Potencia¸c˜ao

1 Exerc´ıcios Introdut´orios

Exerc´ıcio 1. Calcule o valor das express˜oes:

a) 35.

b) 22 + 3^2.

c) 54.

d) 23 + 3^3.

e)

Exerc´ıcio 2. Calcule o valor das express˜oes:

a) (0, 01)^3.

b) 100 ·

c) 80 ·

d)

· (0, 3)^2.

e) 200 · (0, 04)^4.

Exerc´ıcio 3. Se a = 2 e b = 3, calcule o valor das ex- press˜oes:

a)

a^3 b b^2

b) ab.

c) a^3 b^2.

d) (ab^2 )^2.

e) (b + a)^2 − a^2.

Exerc´ıcio 4. Escreva como um ´unica potˆencia:

a)

b)

c) (−32)^3

2 .

d)

105 · 10 −^3 · 10

10 −^7 · 104

e) 83 : 2−^5.

Exerc´ıcio 5. Determine quais das seguintes senten¸cas s˜ao verdadeiras e quais s˜ao falsas. Em cada item falso, indique um contraexemplo para a afirma¸c˜ao.

a) anbn^ = (a · b)n.

b) a−n^ = −an.

c)

( (^) a b

)n = (a − b)n.

d) (an)m^ = anm.

e) (an)m^ = a(n

m) . Exerc´ıcio 6. Determine quais das seguintes senten¸cas s˜ao verdadeiras e quais s˜ao falsas. Em cada item falso, indique um contraexemplo para a afirma¸c˜ao.

a)

( (^) a b

)−n

b a

)n .

b) (a + b)n^ = an^ + bn.

c) an+m^ = an^ + am.

d) (an)−n^ = a^0.

e) Se a 6 = 0 ent˜ao a^0 = 1.

2 Exerc´ıcios de Fixa¸c˜ao

Exerc´ıcio 7. Calcule as potˆencias: a) (0, 3)^2.

b) (0, 3)−^2.

c) (− 0 , 02)^3.

d) (−3)−^2.

e) (1, 2)^3 Exerc´ıcio 8. Escreva cada um dos seguintes n´umeros como uma potˆencia de 2 : a) (− 0 , 5)−^4.

b) [(− 0 , 25)^2 ]−^6.

c) 162 : (0, 25)−^4.

d) 32 −^2 : (0, 25)−^4.

e) 0 , 16 · 102. Exerc´ıcio 9. Determine, em cada item, qual dos n´umeros ´e o maior.

a) 21 /^2 ou 21 /^3.

b)

ou

c) 31 /^5 ou 51 /^3.

Exerc´ıcio 10. Dividindo-se o n´umero 44

2 por 44 obtemos o n´umero: (a) 2 (b) 43 (c) 44 (d) 48 (e) 412.

1 Exerc´ıcios Introdut´orios

a) 243.

b) 4 + 9 = 13.

c) 625.

d) 8 + 27 = 35.

e) 24 −^1 · 3 = 24.

a) 0 , 000001.

b) 4.

c) 80 ·

d)

e) 200 ·

a)

b) 8.

c) 72.

d) 324.

e) 52 − 22 = 21.

a)

b) 26

c) − 245.

d) 106.

e) 214.

a) Verdadeiro.

b) Falso. Por exemplo, 2 −^1 =

c) Falso. Por exemplo,

= 4 6 = (2 − 1)^2 = 1.

d) Verdadeiro.

e) Falso. Por exemplo, (2^2 )^3 = 64 6 = 256 = 2(

(^3) ) .

a) Verdadeiro.

b) Falso. Por exemplo, (1 + 2)^3 = 27 6 = 9 = 1^3 + 2^3.

c) Falso. Por exemplo, 2 2+1^ = 8 6 = 5 = 2^2 + 2^1.

d) Falso. Por exemplo, (2^2 )−^2 =

= 1 = 2^0.

e) Verdadeiro.

2 Exerc´ıcios de Fixa¸c˜ao

a) 0 , 09.

b)

c) − 0 , 000008.

d)

e) 1 , 728.

a) 24 = 16.

b) 224.

c) 1.

d) 2 −^18.

e) 24.

a) Como 23 > 22 , segue que

21 /^2 = (2^3 )^1 /^6 > (2^2 )^1 /^6 = 2^1 /^3.

b) Pelo item anterior, 21 /^2 > 21 /^3 e consequentemente 1 21 /^2

21 /^3

c) Como 33 < 55 , segue que 31 /^5 = (3^3 )^1 /^15 < (5^5 )^1 /^15 = 51 /^3.

1. 44

2 : 4^4 = 4^4

(^2) − 4 = 4^12. Resposta E.

3 Exerc´ıcios de Aprofundamento e

de Exames

Resposta E.

1. Como 2 ∗ x = 2x^ + x^2 e x ´e inteiro, devemos ter x^2 ∈ { 12 , 22 ,... , 102 }. Dentre os elementos listados, o unico poss´´ ıvel para o qual 100 − x^2 ´e uma potˆencia de 2 ´e x^2 = 36 pois nesse caso x = 6 e 100 − x^2 = 64 = 2^6. Consequentemente (4x)^4 = 256x^4 = 256 · 1296 = 331776. Resposta E.

156 · 285 · 557 = (3^6 · 56 ) · (2^10 · 75 ) · (5^7 · 117 ) = 36 · 117 · 53 · 1010

Logo, o n´umero termina em 10 zeros. Resposta A.

1. Representemos os d´ıgitos desconhecidos de 2 n^ e 5 n com asteriscos. Se k e l s˜ao as quantidades de algarismos de cada um deles, temos:

d · 10 k^ < d ∗ ∗ ∗... ∗ = 2 n^ < (d + 1) · 10 k d · 10 l^ < d ∗ ∗ ∗... ∗ = 5 n^ < (d + 1) · 10 l

Multiplicando ambas as inequa¸c˜oes, obtemos 10 k+l^ · d^2 < 10 n^ < 10 k+l^ · (d + 1)^2. Cancelando 10 k+l^ em ambos os lados, conclu´ımos que existe uma potˆencia de 10 en- tre d^2 e (d + 1)^2. Analisando os quadrados dos d´ıgitos de 1 at´e 9 , percebemos que isso ocorre apenas para d = 3( 32 < 10 < 42 ).

1. a = 2^40 = 16^10 , b = 3^20 = 9^10 e c = 7^10. Como 16 > 9 > 7 , temos a > b > c. Resposta A.

2. Os quadrados dos n´umeros s˜ao respectivamente: 99 , 112 , 125 , 108 e 98. Destes, apenas o primeiro e o ´ultimo s˜ao menores que o quadrado de 10 que ´e 100. Assim, os trˆes n´umeros do meio s˜ao maiores que 10. Resposta C.

1212 = 12^6 = (2^2 · 3)^6 = 2^12 · 36. Resposta C.

64 = 2(2^2 x) − 4 x = 2 · 22 x^ − 22 x = 22 x.

Como 64 = 2^6 , temos 2 x = 6. Resposta E.

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1 Exerc´ıcios Introdut´orios

Exerc´ıcio 1. Escreva os seguintes n´umeros na nota¸c˜ao ci- ent´ıfica:

a) 45673.

b) 0 , 0012345.

c) − 555.

d) 0 , 09

Exerc´ıcio 2. Escreva o per´ıodo dos decimais peri´odicos:

a) 0 , 342342342.. ..

b) 58 , 6777.. ..

c) 456 , 989898.. ..

Exerc´ıcio 3. Encontre a fra¸c˜ao geratriz de:

a) 0 , 333.. ..

b) 0 , 121212...

c) 6 , 5.

d) − 0 , 666.. ..

Exerc´ıcio 4. Obtenha as geratrizes das seguintes d´ızimas peri´odicas:

a) 4 , 7222.. ..

b) 1 , 8999.. ..

c) 1 , 2010101.. ..

2 Exerc´ıcios de Fixa¸c˜ao

Exerc´ıcio 5. Sem efetuar a divis˜ao, determine se a fra¸c˜ao corresponde a um decimal exato ou a uma d´ızima peri´odica.

a)

b)

c)

d)

Exerc´ıcio 6. Dizemos que um inteiro positivo x est´a escrito na nota¸c˜ao cient´ıfica se ´e da forma x = m · 10 k onde k ´e um inteiro e m satisfaz:

a) m ´e inteiro.

b) 1 ≤ |m| < 10.

c) m < 1. d) 1 ≤ m < 10.

e) 0 < m < 1. Exerc´ıcio 7. Assinale qual o maior dentre os n´umeros se- guintes: a) 1 , 01. b) 1 , 012. c) 1 , 0102. d) 1 , 01125.

e) 1 , 011.

3 Exerc´ıcios de Aprofundamento e

de Exames

Exerc´ıcio 8. Considere o n´umero X = 1, 01001000100001.... (O padr˜ao se mant´em, ou seja, a quantidade de zeros en- tre n´umeros uns consecutivos sempre aumenta exatamente uma unidade). a) Qual ´e a sua 25 a^ casa decimal ap´os a v´ırgula?

b) Qual ´e a sua 500 a^ casa decimal ap´os a v´ırgula? c) O n´umero X ´e racional ou irracional? Exerc´ıcio 9. Qual ´e o primeiro d´ıgito n˜ao nulo ap´os a v´ırgula na representa¸c˜ao decimal da fra¸c˜ao

(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 5 (e) 7. Exerc´ıcio 10. O valor da express˜ao

 

−

´e igual a:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Exerc´ıcio 11. Observe as multiplica¸c˜oes: 142857 · 1 = 142857 142857 · 2 = 285714 142857 · 3 = 428571 142857 · 4 = 571428 142857 · 5 = 714285 142857 · 6 = 857142 142857 · 7 = 999999

Da ´ultima multiplica¸c˜ao, podemos concluir que

= 0 , 142857. Veja que as seis primeiras mul-

tiplica¸c˜oes produzem n´umeros com os mesmos d´ıgitos de 142857 e este ´e exatamente o per´ıodo da representa¸c˜ao de-

cimal de

. Vocˆe consegue descobrir um n´umero primo p

maior que 7 tal que o per´ıodo da d´ızima que representa

p possui p − 1 casas decimais?

Exerc´ıcio 12. Considere um primo p que divide 10 n^ + 1 para algum n inteiro positivo. Por exemplo, p = 7 divide 103 + 1. Analisando o per´ıodo da representa¸c˜ao decimal de 1 p , verifique que o n´umero de vezes que o d´ıgito i aparece

´e igual ao n´umero de vezes que o d´ıgito 9 − i aparece para cada i ∈ { 0 , 1 , 2 ,... , 9 }.

Exerc´ıcio 13. Considere um n´umero primo p que n˜ao di- vide 10 e suponha que o per´ıodo da representa¸c˜ao decimal

de

p

seja 2 k. E sempre poss´´ ıvel decompormos o per´ıodo em

dois blocos de d´ıgitos consecutivos que somam 10 k^ − 1? Por

exemplo, o per´ıodo de

tem tamanho 6 = 2k pois ´e igual

`a 142857. Veja que 142 + 857 = 999 = 10^3 − 1 = 10k^ − 1.

b) Um grupo de k zeros ´e separado de um grupo seguinte de k + 1 zeros por exatamente um n´umero 1. Assim, contando at´e o d´ıgito 1 que sucede um grupo de k zeros, temos:

1 + 2 + 3 + ︸ ︷︷... + k︸ algarismos zeros

• (^) ︸︷︷︸k algarismos uns

k(k + 3) 2

Se k = 30, j´a teremos

= 495. Consequente- mente a 500 a^ casa decimal vale zero pois est´a no grupo com 31 zeros.

c) O n´umero X n˜ao ´e racional porque sua representa¸c˜ao decimal n˜ao ´e peri´odica uma vez que a quantidade de algarismos zeros entre dois 1 ’s consecutivos sempre est´a aumentando.

1 512

Como 212 = 4096 , o primeiro d´ıgito n˜ao nulo ap´os a v´ırgula ´e 4. Resposta C.

1. Veja que √( 1 6

Al´em disso, √( 2 3

Assim, o valor da express˜ao procurada ´e:

[ 1 18

]− 1 / 2

[

]− 1 / 2

Resposta E

1. Um valor poss´ıvel para p ´e 17 pois:

1 17

Todos os primos menores que 100 que satisfazem essa pro- priedade s˜ao:

7 , 17 , 19 , 23 , 29 , 47 , 59 , 61 , 97.

Coment´ario para professores: Seja p um n´umero primo que n˜ao divide 10 e seja n um inteiro com 0 < n < p. Se d ´e o menor inteiro positivo tal que 10 d^ − 1 ´e m´ultiplo de p, ´e poss´ıvel mostrar que o per´ıodo da representa¸c˜ao decimal de n p

´e exatamente d. No exemplo anterior, como 7 n˜ao divide 101 − 1 , 102 − 1 ,... , 105 − 1 e divide 106 − 1 , temos d = 6.

1. Podemos escrever 10 n^ + 1 = p · a onde a ´e um n´umero com n˜ao mais que n d´ıgitos na base 10 , digamos a = a 1 a 2... an. Queremos dizer com isso que cada n´umero ai ´e um dos d´ıgitos de a. Mesmo que ele possua estrita- mente menos que n d´ıgitos, podemos colocar alguns ai’s da esquerda como sendo 0. Temos 1 p

a a · p =

a 10 n^ + 1

=

a(10n^ − 1) 102 n^ − 1

=

[10n(a − 1) + (10n^ − 1) − (a − 1)] 102 n^ − 1

O n´umero 10 n^ − 1 ´e constituido por n n´umeros iguais a 9 e a diferen¸ca (10n^ − 1) − (a − 1) reduz cada um desses d´ıgitos 9 por um d´ıgito de a. Assim, a representa¸c˜ao decimal do numerador ´e:

a 1 a 2... an− 1 (an −1)(9−a 1 )(9−a 2 )... (9−an− 1 )(10−an).

O numero anterior representa o per´ıodo da representa¸c˜ao de

p

e cada d´ıgito i pode ser pareado com um outro d´ıgito da forma 9 − i. Assim, as quantidades de apari¸c˜oes de tais d´ıgitos s˜ao iguais. No exemplo do enunciado, o per´ıodo de 1 / 7 ´e 142857 e temos os seguintes pareamentos:

1 → 8 4 → 5 2 → 7

1. Como 102 k^ − 1 = (10k^ − 1)(10k^ + 1) e p ´e primo, um dentre 10 k^ − 1 e 10 k^ + 1 ´e m´ultiplo de p. N˜ao podemos ter 10 k^ − 1 m´ultiplo de p pois caso contr´ario poder´ıamos escr- ever

p

(10k^ − 1)/p 10 k^ − 1

e obter´ıamos uma d´ızima peri´odica com per´ıodo menor do que 2 k. Sendo assim, p divide

10 k^ + 1 e podemos usar repetir a solu¸c˜ao anterior para concluir que o per´ıodo da representa¸c˜ao decimal de 1 /p ´e da forma:

a 1 a 2... ak− 1 (ak − 1)(9 − a 1 )(9 − a 2 )... (9 − ak− 1 )(10 − ak).

Somando o n´umero formado pelos k primeiros d´ıgitos com o n´umero formado pelos k ´ultimos, obtemos (^99) ︸ ︷︷... 9 ︸ k vezes

10 k^ − 1.

1 Exerc´ıcios Introdut´orios

Exerc´ıcio 1. No quadro abaixo, determine quais n´umeros s˜ao irracionais.

23 5 , 345

Exerc´ıcio 2. Quais das seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadei- ras?

a) N ⊂ Q.

b) Z ⊂ Q.

c) 1 ∈ Q − Z.

d) r ∈ Q ⇒ −r ∈ Q.

e)

∈ Q − Z.

Exerc´ıcio 3. Represente em uma reta orientada os seguin- tes n´umeros:

3 , 5 −

Exerc´ıcio 4. Utilizando a calculadora podemos obter que

√ 2 = 1, 4142135623730950488016887242097...

Agora, tamb´em utilizando uma calculadora, calcule os va- lores abaixo, fa¸ca os registro e observe como o resultado se aproxima cada vez mais do n´umero 2.

a) 1 , 42 =

b) 1 , 412 =

c) 1 , 4142 =

d) 1 , 41422 =

Exerc´ıcio 5. Com base no exerc´ıcio anterior, utilizando a calculadora, calcule

1. Fa¸ca o mesmo procedimento do item anterior, ou seja, calcule o o quadrado do n´umero en- contrado apenas com uma casa decimal, depois com duas casas, depois com trˆes e finalmente com quatro casas. Re- gistre os resultados e observe como eles se aproximam cada vez mais de

2 Exerc´ıcios de Fixa¸c˜ao

Exerc´ıcio 6. Compare as ra´ızes abaixo preenchendo os espa¸cos pontilhadas com os s´ımbolos > ou <.

a)

b)

c)

4 100......

16

d)

e)

n......

n + 1 com n n´umero real n˜ao negativo. Exerc´ıcio 7. Sem utilizar a calculadora, estime, com uma casa decimal, a melhor aproxima¸c˜ao para

Exerc´ıcio 8. Sem utilizar a calculadora, estime, com duas casas decimais, uma boa aproxima¸c˜ao para

Exerc´ıcio 9. Quantos n´umeros inteiros positivos existem entre

8 e

Exerc´ıcio 10. Quantos n´umeros inteiros positivos existem entre

37 e

Exerc´ıcio 11. Quantos dos n´umeros abaixo s˜ao maiores que 10? 3

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5.

3 Exerc´ıcios de Aprofundamento e

de Exames

Exerc´ıcio 12. Explique porque entre dois n´umeros racio- nais sempre podemos encontrar um terceiro n´umero racio- nal. Exerc´ıcio 13. Dados dois reais positivos, 3

3 e 4

4 , deter- mine o maior. Exerc´ıcio 14. O n´umero

16 est´a situado en- tre

n e

n + 2, onde n ´e inteiro positivo. Determine n. Exerc´ıcio 15. Prove que n˜ao ´e poss´ıvel escrever

2 como uma fra¸c˜ao de inteiros. Ou seja, prove que

2 ∈/ Q.

Exerc´ıcio 16. Prove que n˜ao ´e poss´ıvel escrever: i

√^3 como uma fra¸c˜ao de inteiros.^ Ou seja, prove que 3 ∈/ Q.

ii

√^5 como uma fra¸c˜ao de inteiros.^ Ou seja, prove que 5 ∈/ Q. iii

p como uma fra¸c˜ao de inteiros, sendo p um n´umero primo. Ou seja, prove que

p /∈ Q.

Exerc´ıcio 17. E verdade que existem n´´ umeros irracionais A e B tais que AB^ ´e racional? Exerc´ıcio 18. A sequˆencia Fn de Farey ´e uma sequˆencia de conjuntos formados pelas fra¸c˜oes irredut´ıveis

a b

com 0 ≤ a ≤ b ≤ n arranjados em ordem crescente. Exibimos abaixo os quatro primeiros termos da sequˆencia de Farey. F 1 = { 0 / 1 , 1 / 1 } F 2 = { 0 / 1 , 1 / 2 , 1 / 1 } F 3 = { 0 / 1 , 1 / 3 , 1 / 2 , 2 / 3 , 1 / 1 } F 4 = { 0 / 1 , 1 / 4 , 1 / 3 , 1 / 2 , 2 / 3 , 3 / 4 , 1 / 1 } Qual deve ser o conjunto F 5?

Exerc´ıcio 19. E poss´´ ıvel mostrar que se duas fra¸c˜oes

a b

e c d

s˜ao vizinhas na sequˆencia de Farey Fn (veja o exerc´ıcio

anterior) ent˜ao ad−bc = ± 1. Sabendo disso, vocˆe consegue

determinar que fra¸c˜ao

a b

est´a imediatamente `a esquerda de 5 7

em F 7 sem calcular todos os seus elementos?

Exerc´ıcio 20. Considere dois tambores de capacidade sufi- cientemente grande.

a) Determine se ´e poss´ıvel colocar exatamente um litro do l´ıquido de um dos tambores no outro usando dois baldes, um com capacidade de 5 e o outro com capacidade de 7 litros.

b) Determine se ´e poss´ıvel colocar exatamente um litro do l´ıquido de um dos tambores no outro usando dois baldes, um com capacidade de 2 −

2 e o outro com capacidade de

2 litros.

Exerc´ıcio 21. Achar o menor inteiro positivo n tal que as 73 fra¸c˜oes

19 n + 21

n + 22

n + 23

n + 93

sejam todas irredut´ıveis.

Assim, podemos concluir que o primeiro inteiro positivo maior que

√^37 ´e^7 e o ´ultimo inteiro positivo menor que 1226 ´e o 35. Logo, teremos: 35 − 7 + 1 = 29 inteiros positivos compreendidos entre os n´umeros do problema, a saber: { 7 , 8 , 9 ,... , 34 , 35 }.

1. Os quadrados dos n´umeros s˜ao respectivamente: 99 , 112 , 125 , 108 e 98. Destes, apenas o primeiro e o ´ultimo s˜ao menores que o quadrado de 10 que ´e 100. Assim, os trˆes n´umeros do meio s˜ao maiores que 10. Resposta C.

3 Exerc´ıcios de Aprofundamento e

de Exames

1. Dados dois racionais a e b, somando a aos dois lados da desigualdade, temos:

a < b a + a < b + a 2 a < a + b a <

a + b 2

Repetindo o procedimento, agora com b, temos:

a < b a + b < b + b a + b < 2 b a + b 2

< b

O que resulta em: a <

a + b 2 < b Como

a + b 2 tamb´em ´e

um racional, isso mostra que existe um racional entre a e b. Coment´ario para professores: E bom enfatizar que se a´

constru¸c˜ao acima for reiterada com os racionais a e

a + b 2

(ou com a + b 2

e b) o aluno poder´a mostrar que existe uma

infinidade de racionais entre a e b. Outros coment´arios coment´arios que poderiam instigar os alunos sobre a dis- tribui¸c˜ao dos racionais e dos irracionais na reta seria ques- tion´a-los se qualquer intervalo cont´em n´umeros racionais e irracionais.

1. (Extra´ıdo da UNICAMP) Uma boa estrat´egia se- ria eliminar os radicais elevando ambos n´umeros a uma potˆencia m´ultipla de 3 e 4. Veja que:

(

3)^12 = 34

4)^12

Portanto, como ( 3

3)^12 > ( 4

4)^12 , segue que 3

3 ´e o maior.

1. (Extra´ıdo do Col´egio Naval) Fa¸camos uma primeira estimativa:

1 < 4 < 8 13 < 4 < 23 √ (^31) < √ (^34) < √ (^38)

1 < 3

Segunda estimativa:

8 < 16 < 27 23 < 16 < 33 √ (^38) < √ (^316) < √ (^327)

2 < 3

Finalmente, somando as duas ´ultimas desiguldades obti- das, temos:

3 < 3

√^16 <^6

√^6

Portanto, n = 4.

1. Vamos supor que ´e poss´ıvel termos uma fra¸c˜ao irre- dut´ıvel m n , m ∈ Z, n ∈ Z∗^ tal que

2 = m n. Neste caso, podemos escrever: √ 2 =

m n (

2)^2 =

( (^) m n

m^2 n^2 2 n^2 = m^2

Agora temos a seguinte situa¸c˜ao, o membro da esquerda ´e par, portanto o da direita tamb´em o ser´a. Contudo, n˜ao podemos ter m^2 par, se m tamb´em n˜ao for par. Sendo assim, m = 2k, para algum k ∈ Z, e

m = 2 k m^2 = 4 k^2

Agora, voltando `a equa¸c˜ao 2 n^2 = m^2 e substituindo o m^2 pelo 4 k^2 , e ficamos com:

2 n^2 = m^2 2 n^2 = 4 k^2 n^2 = 2 m^2.

Pelo argumento anterior, n ´e par, isso contradiz nossa su- posi¸c˜ao inicial pois t´ınhamos assumido que a fra¸c˜ao m n era

irredut´ıvel. Essa contradi¸c˜ao mostra que a suposi¸c˜ao ini- cial ´e falsa, ou seja,

2 n˜ao ´e racional. Coment´ario para professores: Este ´e um exemplo cl´assico de prova por absurdo. Quando mencionado em sala de aula, sugerimos que o professor comente exemplos cotidi- anos de afirma¸c˜oes que conduzem a absurdos para que os alunos se sintam mais confort´aveis com tal demonstra¸c˜ao.

1. Utilize o mesmo argumento da quest˜ao anterior.
2. Tome A = B =

1. Se o n´umero

√ 2 ´e racional, o

enunciado est´a satisfeito. Caso contr´ario, fa¸ca A =

√ 2

e B =

1. Assim, ab^ = (

√ 2 )

√ 2 = 2 servir´a como exemplo.

Coment´ario para professores: J´a existe uma demons-

tra¸c˜ao de que

√ 2 ´e de fato irracional. Um exemplo mais construtivo usando fatos que n˜ao s˜ao estudados no oitavo ano seria escolher A =

10 e B = log 10 4. Da´ı, AB^ = 2 ´e um racional.

F 5 = { 0 / 1 , 1 / 5 , 1 / 4 , 1 / 3 , 2 / 5 , 1 / 2 , 3 / 5 , 2 / 3 , 3 / 4 , 4 / 5 , 1 / 1 }.

1. Usando a propriedade dada no enunciado, temos 7 a − 5 b = ± 1. Veja que 7 a deve deixar resto 1 ou 6 na divis˜ao por 5. Dentre os valores poss´ıveis de a no conjunto { 0 , 1 , 2 ,... , 7 }, apenas 2 e 3 satisfazem tal condi¸c˜ao. Se a = 2, temos b = 3. Se a = 3, teremos b = 4. Entretanto,

como

, a fra¸c˜ao procurada ´e

1. a) Basta usar trˆes vezes o balde de 5 litros e, em seguida, retirar duas vezes l´ıquido do tambor usando o balde de 7 litros. Dessa forma, transportamos 3 × 5 − 2 × 7 = 1 litro.

b) A quantidade a que podemos transportar de um tambor para o outro ´e da forma k(2 −

1. • l(

1. litros onde k e l s˜ao inteiros indicando quantas vezes tiramos ou colocamos l´ıquidos usando cada um dos baldes. Se l − k 6 = 0, podemos escrever:

a = k(2 −

1. • l

a − 2 k =

2(l − k) a − 2 k l − k

Assim, o n´umero

2 seria o quociente de dois inteiros o que resultaria em um n´umero racional. Sabemos que isso n˜ao pode acontecer porque

2 ´e irracional. Falta analisarmos o que acontece quando l = k. A equa¸c˜ao se transforma em:

a = k(2 −

1. • l

= k(2 −

1. • k

= 2 k.

Veja que 2 k ´e par e assim n˜ao podemos levar um valor ´ımpar como a = 1. Em qualquer caso, n˜ao ´e poss´ıvel colocar exatamente 1 litro usando os baldes com as ca- pacidades dadas neste item.

1. (Extra´ıdo da prova da Cone Sul publicada na Revista Eureka n´umero 5) A fra¸c˜ao a b ´e irredut´ıvel se e s´o se (^) b−aa ´e irredut´ıvel ( se a e b tem um fator comum, ent˜ao a e b − a tˆem um fator comum, e reciprocamente). O problema se transforma em achar o menor valor de n tal que as fra¸c˜oes sejam todas irredut´ıveis. Observe que as fra¸c˜oes anteirores possuem a forma

a n + a + 2 e pelo crit´erio anterior basta-

ria que a n + 2

fosse irredut´ıvel. Tendo isso em mente, se n+2 ´e um primo maior que 91 , todas as fra¸c˜oes ser˜ao irre- dut´ıveis. Assim, um valor poss´ıvel de n ´e 95 pois n+2 = 97 ´e um n´umero primo. Verifiquemos que ´e o menor poss´ıvel.

1. Se n + 2 < 97 e n + 2 ´e par, ent˜ao n ´e par e h´a fra¸c˜oes redut´ıveis como, por exemplo, (^) n^20 +.
2. Se 19 ≤ n + 2 ≤ 91 , obviamente h´a uma fra¸c˜ao re- dut´ıvel.
3. Se n + 2 < 19 , ent˜ao n + 2 tem um m´ultiplo entre 19 e 91 e, portanto, h´a uma fra¸c˜ao redut´ıvel.
4. Se n + 2 = 93 = 3. 31 , ent˜ao (^) n^31 +2 ´e redut´ıvel.
5. Se n + 2 = 95 = 5. 19 , ent˜ao (^) n^19 +2 ´e redut´ıvel.

Logo, o valor m´ınimo de n + 2 ´e 97 , que corresponde a n = 95.

1 Exerc´ıcios Introdut´orios

Exerc´ıcio 1. Siga o modelo e fatore as express˜oes:

3 a + ba = a(3 + b)

a) 5 a + ba.

b) am + an.

c) xa + xb + xc.

d) ax + a.

e) ab + bc + abc.

Exerc´ıcio 2. Simplifique as fra¸c˜oes fatorando o denomina- dor e o numerador.

a)

3 a + 5b 6 a + 10b

b)

3 x + 3y 8 x + 8y

c) 3 a^2 + 5a 6 a + 10

d) a(x + y) + b(x + y) (a − b)x + (a − b)y

e)

x^4 + x^3 x^2 + x

Exerc´ıcio 3. Fatore por agrupamento as seguintes ex- press˜oes:

a) a^2 + ab + ac + bc.

b) ax − bx + ay − by.

c) 2 ab + 2a + b + 1.

d) ax − bx + 2a − 2 b

e) 10 ab − 2 b + 15a − 3

Exerc´ıcio 4. Fatore o numerador e o denominador e sim- plifique a express˜ao dada:

a)

m^4 + m^2 m^2 + 1

b)

x^3 + x^2 + x + 1 x^3 + x^2

c)

m^4 + 3m^3 + 2m + 6 (m + 3)^2

Exerc´ıcio 5. Fatore as express˜oes abaixo usando a dife- ren¸ca de quadrados:

a) a^2 − 25 b^2.

b) 4 x^2 − 1.

c) 7 − x^2.

d) a^2 x^2 − b^2 y^2.

e) a^4 − b^4

Exerc´ıcio 6. Para cada um dos itens abaixo, decida se a express˜ao dada ´e o quadrado de um binˆomio, isto ´e, se pode ser escrita na forma:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

ou como (a − b)^2 = a^2 − 2 ab + b^2.

a) x^2 − 4 x + 3.

b) x^2 + x +

c) y^2 + 6y + 18.

d) 4 z^2 − 12 zy + 9y^2.

e) 3 z^2 + 6z + 3.

Em caso afirmativo, escreva o binˆomio.

Exerc´ıcio 7. Fatore completamente as express˜oes abaixo:

a) x^4 − 2 x^2 + 1.

b) 5 a^2 − 10 a + 5.

c) a^2 − b^2 − 2 bc − c^2.

Exerc´ıcio 8. Efetue as multiplica¸c˜oes e divis˜oes indicadas como no exemplo:

2 ab 3 ax

5 xy 7 by

(^2)
a
b (^3)
a
x

5 x

y (^7)
b
y

a) 4 a b

5 b a

b) x^3 + x 3 y

÷

x^2 + 1 y^2

c)

yx + x (x + 1)^2

xy + y (y + 1)^2

Exerc´ıcio 9. Se xy = 6 e x+y = 7, quanto vale x^2 y +y^2 x?

2 Exerc´ıcios de Fixa¸c˜ao

Exerc´ıcio 10. Se, ao adicionarmos x ao numerador e sub-

trairmos x do denominador da fra¸c˜ao

a b

, com a e b reais,

obtemos a fra¸c˜ao

c d

, com c e d reais e c 6 = −d, qual o valor

de x?

Exerc´ıcio 11. Fatore as express˜oes:

a) a^2 b − b^3.

b) x^2 − 2 xy + y^2 − 9.

c) a^4 − 32 a^2 + 256.

Exerc´ıcio 12. Verifique que:

x^3 − y^3 = (x − y)(x^2 + xy + y^2 ).

Em seguida, fatore x^3 − 8.

Exerc´ıcio 13. No exerc´ıcio anterior, o que acontece se tro- carmos y por −z?

Exerc´ıcio 14. A soma de dois n´umeros ´e 4 e seu produto ´e 1. Encontre a soma dos cubos desses n´umeros.

Exerc´ıcio 15. Se xy = x + y = 3, calcule x^3 + y^3.

Exerc´ıcio 16. Seja x um n´umero real tal que x +

x

calcule x^2 +

x^2

Exerc´ıcio 17. Qual a forma mais simplificada da express˜ao (a − b)^2 + (−a + b)^2 + 2(a − b)(b − a)?

Exerc´ıcio 18. Simplifique a express˜ao

(

Exerc´ıcio 19. Fatore completamente x^4 + 4.

Exerc´ıcio 20. Verifique que

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n(n + 3) + 1)^2

Exerc´ıcio 21. Calcule o valor de:

√ (2014)(2015)(2016)(2017) + 1

Exerc´ıcio 22. Fatore p^4 − 1.

Exerc´ıcio 23. Se x =

8 , mostre que x ´e um inteiro negativo.

3 Exerc´ıcios de Aprofundamento e

de Exames

Exerc´ıcio 24. Fatore n^5 + n^4 + 1. Exerc´√ ıcio 25. Qual ´e o menor inteior positivo n tal que n −

n − 1 < 0 , 01 Exerc´ıcio 26. Encontre o quociente da divis˜ao de a^32 − b^32 por (a^16 + b^16 )(a^8 + b^8 )(a^4 + b^4 )(a^2 + b^2 ) Exerc´ıcio 27. Verifique que (2^3 − 1)(3^3 − 1)... (100^3 − 1) (2^3 + 1)(3^3 + 1)... (100^3 + 1)

Assim, o valor da express˜ao ´e: 2 100 · 101

Exerc´ıcio 28. A sequˆencia de Fibonacci ´e definida recursi- vamente por Fn+2 = Fn+1 + Fn para n ∈ Z e F 1 = F 2 = 1. Determine o valor de: ( 1 −

F 22

F 32

F 32

F 42

F 20132

F 20142

(a)

F 2016

F 20132

(b)

F 2014

F 2013

(c)

F 20152

F 20132

(d)

F 2015

(e)

F 2015

2 F 2013 F 2014

Exerc´ıcio 29. Define-se o conjunto de 100 n´umeros { 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , ..., 1 / 100 }. Eliminamos dois elementos quais- quer a e b deste conjunto e se inclui, no conjunto, o n´umero a + b + ab ficando assim um conjunto com um elemento a menos. Depois de 99 destas opera¸c˜oes, ficamos s´o com um n´umero. Que valores pode ter esse n´umero? Exerc´ıcio 30. Verifique que

(x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x + y)(x + z)(y + z).

Exerc´ıcio 31. Se x + y + z = 0, verifique que: x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz.

Exerc´ıcio 32. Fatore a express˜ao

(b − c)^3 + (c − a)^3 + (a − b)^3.

Exerc´ıcio 33. Verifique que:

(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz Exerc´ıcio 34. Sejam a, b, c, x, y, z reais distintos tais que ax + by + cz = 0. Verifique que ax^2 + by^2 + cz^2 bc(y − z)^2 + ca(z − x)^2 + ab(x − y)^2 n˜ao depende de x, nem de y, nem de z.