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UNIVERSIDADE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL
Apostila de
Decio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Luís Paulo Carvalho dos Santos
Luiz Fernando Almeida Fontenele
Pedro André
Apostila de MATLAB 7.
Página
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL
Apostila de
ecio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Luís Paulo Carvalho dos Santos
Luiz Fernando Almeida Fontenele
Pedro André Martins Bezerra
Fortaleza – CE
Maio / 2009
Apostila de MATLAB 7.
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
SUMÁRIO
Apostila de MATLAB 7.
1. PREFÁCIO
Esta apostila foi desenvolvida por alunos do Programa de Educação
Tutorial (PET) do curso de Engenharia Elétrica da Universidade Federal do
Ceará (UFC) para a realização do Curso de MATLAB.
Com o intuito de promover uma introdução ao MATLAB que viesse a
facilitar o desempenho dos estudantes da graduação na realização de seus
trabalhos e na sua vida profissional, o PET elaborou este Curso de MATLAB
que está atualmente na quarta edição, sendo as três primeiras realizadas
durante o ano letivo de 2008 e a última em 2009. Durante as quatro edições
foram contemplados aproximadamente 250 estudantes dos mais variados
cursos de Engenharia do Centro de Tecnologia da UFC.
Devido à sua boa repercussão, o Curso de MATLAB foi premiado no
XVII Encontro de Iniciação à Docência nos Encontros Universitários de 2008.
2. APRESENTAÇÃO
O MATLAB (MATrix LABoratory) é uma linguagem de alto desempenho
para computação técnica. Integra computação, visualização e programação em
um ambiente de fácil uso onde problemas e soluções são expressos em
linguagem matemática. Usos típicos:
Ø Matemática e computação;
Ø Desenvolvimento de algoritmos;
Ø Aquisição de dados;
Ø Modelagem, simulação e prototipagem;
Ø Análise de dados, exploração e visualização;
Ø Construção de interface visual do usuário.
2.1. Utilizando o HELP
Indubitavelmente, a melhor apostila tutorial sobre o MATLAB que possa
existir é o HELP do próprio MATLAB. Todas as informações possíveis há no
Apostila de MATLAB 7.
Apostila de MATLAB 7.
HELP, principalmente sobre as toolboxes , sobre funções, SIMULINK e entre
outros.
O HELP pode ser aberto de várias formas. A primeira é através da
barra de menu, como mostrado na Figura 1 :
Figura 1 – HELP do MATLAB sendo acessado pela barra de menu.
Outra forma é pela tecla de atalho F1. Uma terceira forma é pelo botão
START , posicionado logo abaixo do COMMAND HISTORY, de acordo com a
Figura 2.
Figura 2 – HELP do MATLAB sendo acessado pelo botão START****.
Dando continuidade, quando se deseja obter informações sobre uma
dada função, é possível consultar diretamente no HELP ou pelo COMMAND
WINDOW. Para isso, basta digitar help e em seguida a função requerida, de
acordo com o exemplo abaixo:
help dirac
DIRAC Delta function.
DIRAC(X) is zero for all X, except X == 0 where it is
Apostila de MATLAB 7.
3. FORMATAÇÃO
No MATLAB não há necessidade de declarar o tipo das variáveis
utilizadas no programa, mas o usuário pode escolher qual o formato que vai ser
utilizado. São usados os comandos mostrados na Tabela 1 :
Tabela 1 - Formato das variáveis
Comando MATLAB Variável Descrição
Format long 3.141592653589793 Com 16 dígitos
Format short 3.1416 Com 5 dígitos
Format short e 3.1416e+
Com 5 dígitos – notação
científica
Format long e 3.141592653589793e+
Com 16 dígitos em
notação científica
Format + +
Retorna “+” para valores
positivos e “-” para
valores negativos
Format rat 355/113 Aproximação racional
Format hex 400921fb54442d18 Formato hexadecimal
4. MATRIZES
4.1. Declaração
A declaração de matrizes é feita da seguinte maneira:
a = [1:10] %cria o vetor linha [1 2 3 4 5 6 7 8 9
10]
b = [0:0.5:3] %cria o vetor [0 0.5 1 1.5 2 2.5 3]
A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1]
A =
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
Apostila de MATLAB 7.
4 15 14 1
A(1,2); %Elemento de linha 1 e coluna 2
A(:,3); %Elementos da coluna 3
A(1,:); %Elementos da linha 1
O MATLAB também aceita a concatenação de matrizes, por exemplo:
a=[ 4 1 ; 3 4];
b= [ 2 3; 4 5];
c=[a b];
c =
4 1 2 3
3 4 4 5
Obs.: É bom lembrar que o MATLAB tem como primeiro índice do vetor
o número 1, diferente de outras linguagens que usam o primeiro índice como 0.
4.2. Soma
A soma de todos os elementos de uma matriz com um número é feita
da seguinte maneira:
c =
4 1 2 3
3 4 4 5
c+
ans =
5 2 3 4
4 5 5 6
A soma de matrizes é feita da maneira tradicional:
d=[ 1 2 7 8 ; 4 7 5 8] ;
e=[ 5 - 4 7 0; 3 - 1 6 - 4];
d+e
ans =
6 - 2 14 8
Apostila de MATLAB 7.
Exercício 1- Declare as matrizes A, B e C abaixo:
[ ]
A = 1 2 3 4 5 6 7
[ ]
B = 3 6 9 12 15 18 21
C
é ù
ê ú
ë û
Através das matrizes acima, determine as matrizes a seguir utilizando
os comandos já mencionados.
[ ]
[ ]
D
E
F
G
é ù
ê ú
ë û
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
H
I
J
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
é ù
ê ú
ë û
é ù
ê ú
ë û
K
L
M
é ù
ê ú
ë û
é ù
ê ú
ë û
é ù
ê ú
ë û
4.4. Matrizes Pré-Definidas
· ones
Definição: Esta função gera uma matriz cujos valores são unitários.
Sintaxe:
ones(n) à Gera uma matriz quadrada de ordem n cujos termos são
unitários.
ones(m,n) à Gera ma matriz m x n cujos termos são unitários.
ones(2)
ans =
1 1
1 1
· zeros
Definição: Esta função gera uma matriz cujos valores são nulos.
Sintaxe:
zeros(n) à Gera uma matriz quadrada
nulos.
zeros(m,n) à Gera ma matriz
zeros(2)
ans =
0 0
0 0
· eye
Definição: Gera uma matriz identidade
Sintaxe:
eye(n) à Gera uma matriz identidade
eye(m,n) à Gera uma matriz de ordem
possuem i = j são unitários.
eye(2)
ans =
1 0
0 1
· vander
Definição: Calcula a matriz de Vandermonde a partir de um vetor
dado.
Sintaxe:
vander(A) à Calcula a matriz de Vandermonde a partir de
A=[1 2 3 4];
vander(A)
ans =
1 1 1 1
8 4 2 1
27 9 3 1
64 16 4 1
Apostila de MATLAB 7.
Gera uma matriz quadrada de ordem n cujos termos são
Gera ma matriz m x n cujos termos são nulos.
Gera uma matriz identidade.
Gera uma matriz identidade n x n.
era uma matriz de ordem m x n cujos termos que
Calcula a matriz de Vandermonde a partir de um vetor
Calcula a matriz de Vandermonde a partir de A.
1 1 1 1
8 4 2 1
27 9 3 1
64 16 4 1
Apostila de MATLAB 7.
cujos termos são
cujos termos que
Calcula a matriz de Vandermonde a partir de um vetor
· trace
Definição: Retorna um vetor com a soma dos elementos da diagonal
principal de uma matriz.
Sintaxe:
trace(A) à Retorna a soma dos ele
matriz A.
A =
1 4
2 1
trace(A)
ans =
2
· inv
Definição: Determina a matriz inversa dada.
Sintaxe:
inv(A) à Retorna a matriz inversa
A = [5 8; 4 9]
A =
5 8
4 9
inv(A)
ans =
0.6923 - 0.
· eig
Definição: Calcula os autovalores e autovetores de uma matriz
Sintaxe:
eig(A) à Retorna os autovalores de uma matriz quadrada
[a, b] = eig(A) à Retorna em
b, uma matriz com os autovalores
A=[1 - 1; 4 1]
Apostila de MATLAB 7.
Retorna um vetor com a soma dos elementos da diagonal
Retorna a soma dos elementos da diagonal principal da
Determina a matriz inversa dada.
matriz inversa da matriz A.
0.3077 0.
Calcula os autovalores e autovetores de uma matriz.
Retorna os autovalores de uma matriz quadrada A.
Retorna em a , uma matriz com os autovetores e
uma matriz com os autovalores associados.
Apostila de MATLAB 7.
Retorna um vetor com a soma dos elementos da diagonal
mentos da diagonal principal da
matriz com os autovetores e, em
A =
1 - 1
4 1
[a,b]=eig(A)
a =
0 - 0.4472i 0 + 0.4472i
b =
1.0000 + 2.0000i 0
0 1.
Exercício 2- Resolva o seguinte sistema de equações lineares:
1 2 3
1 2 3
2 3
x x x
x x x
x x
ì + + =
ï
í
ï
î
4.6. Trabalhando com matrizes
· size
Definição: Retorna as dimensões de uma matriz
Sintaxe:
[m,n] = size(A) à Retorna
número de colunas da matriz
A=[1 1; 2 3];
[m,n]=size(A)
m =
2
n =
2
· find
Definição: Procura os elementos em uma matriz de tal modo a
respeitar a lógica fornecida, retornando os índices que descrevem estes
elementos.
Sintaxe:
Apostila de MATLAB 7.
0.4472i 0 + 0.4472i
0.8944 - 0.
1.0000 + 2.0000i 0
0 1.0000 - 2.0000i
Resolva o seguinte sistema de equações lineares:
Trabalhando com matrizes
Retorna as dimensões de uma matriz.
Retorna, em m , o número de linhas e, em
da matriz A.
Procura os elementos em uma matriz de tal modo a
respeitar a lógica fornecida, retornando os índices que descrevem estes
Apostila de MATLAB 7.
em n , o
Procura os elementos em uma matriz de tal modo a
respeitar a lógica fornecida, retornando os índices que descrevem estes
sort(A,mode) à Retorna os elementos das colunas da matriz
ordem crescente ( mode = ‘ascend’
‘descend’ ).
sort(A)
ans =
1 1
2 4
· fliplr
Definição: Espelha as colunas de uma matriz
Sintaxe:
fliplr(A) à Espelha as colunas da matriz
A=[1 2;3 4]
A =
1 2
3 4
fliplr(A)
ans =
2 1
4 3
· flipud
Definição: Espelha as linhas
Sintaxe:
flipud(A) à Espelha as linhas da matriz
A=[1 2;3 4]
A =
1 2
3 4
flipud(A)
ans =
3 4
1 2
Apostila de MATLAB 7.
Retorna os elementos das colunas da matriz
mode = ‘ascend’ ) ou em ordem decrescente ( mode =
Espelha as colunas de uma matriz.
Espelha as colunas da matriz A.
Espelha as linhas de uma matriz.
Espelha as linhas da matriz A.
Apostila de MATLAB 7.
Retorna os elementos das colunas da matriz A em
mode =
Exercício 3- Crie um vetor A
partir deste, outro vetor B obedecendo aos seguintes critérios:
a. Conter somente os elementos de
b. Os elementos devem de
Exercício 4- Realize as seguintes operações no MATLAB, a partir das
matrizes dadas, e interprete o resultado.
A B C D
æ ö é ù æ ö
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø ë û è ø
a)
E = det A - l I com l= - 6
b)
1
F A B
c) G = A \ B
Exemplo 1- Dado o circuito da
Figura
1 1
1
i v
R
i G v
G i G G v
v G i
= ×
= ×
æ ö
æ ö
ç ÷
ç ÷
= ç ÷×
ç ÷
ç ÷
ç ÷ è ø
è ø
× = × ×
= ×
V
10Vdc
R
1
0
Apostila de MATLAB 7.
A de 50 elementos aleatórios e em seguida crie a
obedecendo aos seguintes critérios:
Conter somente os elementos de A maiores que 0.5;
Os elementos devem de B estar em ordem decrescente.
Realize as seguintes operações no MATLAB, a partir das
matrizes dadas, e interprete o resultado.
[ ]
A B C D
æ ö é ù æ ö
ç ÷ ê ú ç ÷
ç ÷ ç ÷ ê ú
ç ÷ ç ÷
ê ú
è ø ë û è ø
= det - l l= - 6
d) A F ×
e)
T
B × C
f) D B ×
da Figura 4 , calcule as tensões nos nós 1 e 2:
Figura 4 – Exemplo de circuito elétrico.
1
2
v
v
æ ö
ç ÷
æ ö
= ç ÷ ×
ç ÷
ç ÷ è ø
ç ÷
è ø
R
2
V
R
10
R
1
R
5
I
2Adc
V
Apostila de MATLAB 7.
eatórios e em seguida crie a
Realize as seguintes operações no MATLAB, a partir das
]
, calcule as tensões nos nós 1 e 2:
5. VETORES
5.1. Declaração
É possível trabalhar com vetores no MATLAB
feita baseando-se numa matriz linha. Por exemplo, para obter o vetor
basta iniciarmos com:
R=[1 3 8]
R =
1 3 8
Portanto, todas as operações se tornam possíveis a partir do uso de
funções apropriadas. É importante salientar que certas funções exigem a
declaração de vetores por matriz coluna, entretanto, nada que uma consulta no
help para ajudar.
Uma operação básica com vetores é na determinação do número de
elementos, a partir da função
usando a função norm , ambas definidas abaixo. Logo depois, serão dadas
algumas funções que trabalham com vetores.
· length
Definição: Retorna o número de elementos que compõem
Sintaxe:
length (A) à Calcula o numero de termos do vetor
A=[8 9 5 7 ];
length(A)
ans =
4
· norm
Definição: Retorna o módulo do vetor.
Sintaxe:
norm(A) à Calcula o módulo do
Apostila de MATLAB 7.
É possível trabalhar com vetores no MATLAB, cuja representação é
se numa matriz linha. Por exemplo, para obter o vetor
1 3 8
Portanto, todas as operações se tornam possíveis a partir do uso de
portante salientar que certas funções exigem a
declaração de vetores por matriz coluna, entretanto, nada que uma consulta no
Uma operação básica com vetores é na determinação do número de
elementos, a partir da função length , assim como no cálculo do seu módulo,
, ambas definidas abaixo. Logo depois, serão dadas
algumas funções que trabalham com vetores.
Retorna o número de elementos que compõem o vetor
Calcula o numero de termos do vetor A.
Retorna o módulo do vetor.
Calcula o módulo do vetor A.
Apostila de MATLAB 7.
, cuja representação é
se numa matriz linha. Por exemplo, para obter o vetor (1,3,8) ,
Portanto, todas as operações se tornam possíveis a partir do uso de
portante salientar que certas funções exigem a
declaração de vetores por matriz coluna, entretanto, nada que uma consulta no
Uma operação básica com vetores é na determinação do número de
no cálculo do seu módulo,
, ambas definidas abaixo. Logo depois, serão dadas
o vetor.
x = [0 5 1 7];
sqrt(0+25+1+49) % Forma Euclidiana
ans =
norm(x) % Usando norm
ans =
5.2. Operações
Quando se deseja calcular o produto
utiliza-se a função cross, apresentada a seguir:
· cross
Definição: Calcula o produto vetorial entre
Sintaxe:
C = cross(A,B) à Retorna, em
A e B.
De modo análogo, define
produto escalar de dois vetores dados, conforme definição a seguir.
· dot
Definição: Determina o produto escalar entre dois
Sintaxe:
C = dot(A,B) à Retorna, em C
e B.
a = [1 7 3];
b = [5 8 6];
c = cross(a,b)
d = dot(a,b)
Além disso, qualquer outra operação é possível, como soma e
subtração, mas se deve atentar
possuir a mesma dimensão.
Apostila de MATLAB 7.
sqrt(0+25+1+49) % Forma Euclidiana
norm(x) % Usando norm
Quando se deseja calcular o produto vetorial (ou cruzado) de vetores,
apresentada a seguir:
Calcula o produto vetorial entre A e B.
Retorna, em C , o produto vetorial dos vetores tridimensionais
De modo análogo, define-se a função dot como a responsável pelo
produto escalar de dois vetores dados, conforme definição a seguir.
Determina o produto escalar entre dois vetores.
C , o produto escalar dos vetores n-dimensionais
, qualquer outra operação é possível, como soma e
entar-se ao fato de que ambos os vetores devem
Apostila de MATLAB 7.
vetorial (ou cruzado) de vetores,
, o produto vetorial dos vetores tridimensionais
como a responsável pelo
dimensionais A
, qualquer outra operação é possível, como soma e
se ao fato de que ambos os vetores devem
